【经典悖论漫游（上）】

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【经典悖论漫游（上）】

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论 6 Z8 a, w4 Z# O（一）由自指引发的悖论 以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。 ; z- I2 A4 _: r4 y) o3 o１－１ 谎言者悖论 * M- c" H! k7 F2 D 9 F; T# ^$ B" S: u. X, i公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 / V9 F# F" S8 n) L p《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。 D" N' U; l0 E5 c/ L% y% {人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是： + m' ~% X- r. f 5 \" l3 z6 { a& o2 x6 _. Y１－２ “我在说谎” 如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版： １－３ “这句话是错的” 3 K2 R0 \" |" g3 ~这类悖论的一个标准形式是：如果事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 ' P' |9 z" a* _+ z+ d* o哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上） 罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上） . ^/ a( [( m: U0 R: h: V 《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。 １－４ 理发师悖论 ! {) M9 o! a) s# r在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 ' E6 k- F: |% Y& x: Q 6 _: S% A# G1 |4 [* D$ U这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 6 F: z( A2 { }* E 因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 , C: q; ]! X, }/ k - m4 E3 a# ]& z2 T( u% z% c$ F１－５ 集合论悖论 ' _: H Y4 C1 ^3 X8 D- U“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。” 4 A$ P3 Z# f& S7 U; X" s 人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。 * p3 {. N! y2 X. ? & K$ R7 T% J' ^# Z% I继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（Kurt Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。 １－６ 书目悖论 一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？ ' _1 d. W& W: D$ O; u 1 N2 |. }/ A0 d8 [, X这个悖论与理发师悖论基本一致。 - c+ C$ X' b6 h/ u, |7 a1 | １－７ 苏格拉底悖论 |4 D. J4 _1 U3 h- L- K! b) N" X 有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。 4 X% |8 w0 y b' V- H5 f% ] 6 I+ {- ~9 A+ Z2 }1 v( t苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。” $ ^, Z6 S) e! H: t; {' h( n , q# Z8 n% }% @! Q- E& ~! u+ X, S3 s8 `这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子： : [1 V/ Y8 R# g! L5 {+ ?: a3 g 3 _5 A I5 ~' v- R8 s! y) {- M１－７ “言尽悖” - _5 D/ j% k- g& v6 ?! Y# Z! | ; n% c! `1 L! k: D5 p$ K1 a* m这是《庄子．齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说： & p' v4 _, |8 z( y１－７ “世界上没有绝对的真理” 7 X+ c9 W1 E) p$ F) x" H. d- w% B我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 0 f" d5 { f( b3 a１－８ “荒谬的真实” 有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。 7 d; t% }* B$ G6 q0 H $ U8 f9 w1 H) v0 y4 G* f' j% m# i这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。 6 @" V- s# G5 n3 m& F& \（二）引进无限带来的悖论 & `- m0 n# |' ^9 c《墨子．经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。 7 Y8 B* S( D6 f3 B, G2 C 0 y& C6 G6 b7 n7 c7 i２－１ 阿基里斯悖论 稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。 阿基里斯（Ａｃｈｉｌｌｅｓ）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。 " h& ?% X4 I' r% p0 n; Z6 Q方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为Ｓ，速度分别为Ｖ１和Ｖ２。当时间Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）时，阿基里斯就赶上了乌龟。 但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为Ｔ’。对于任何Ｔ’，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个Ｔ’无法度量Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）以后的时间。 ' S. C# i* `0 { h0 x$ t " r& [/ {' l$ p$ F& Z) ~8 p5 M* {+ f２－２ 二分法悖论 这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它必须首先到达距离Ｄ的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了Ｄ。 ' N/ k5 `0 Y6 y9 F2 A- i( U! M , N9 B4 d) j$ C0 Q; v这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。 / l9 e; \- k% [( F! n" x芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上了乌龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。 # _2 p/ b- Q- Z3 k9 i 他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬： ２－３ “飞矢不动” 在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如： : R$ S( E! \/ t , @- V2 B M% x) t( f8 s v; E２－４ “飞鸟之景，未尝动也” / K, e* x9 _$ a2 B/ R% A( f 这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。 4 J& k/ s! h% n: d6 D- t ( h. Z4 b! f' Q! z德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么“不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。 " Z- \) _! k6 D. x9 x9 m5 r) t8 a0 e 尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。 + {0 _3 X. u$ i- L% i换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析： # D! x' {; A. ]- I F 假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念！ 假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点！ " u1 T6 u! u7 }假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！ & }( |! j% q' R( a( K 2 P: w4 W8 |" W2 h8 ]& ~0 p# ^尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间，就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一性。 . Y! z5 H2 a% i' {9 I事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到了完美的解决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。 ( w4 k/ A1 \; Q+ W: b可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。 $ p @0 |+ r1 Z8 D" A % H7 q/ [. R8 {0 _7 i! {/ R２－５ “一尺之捶，日取其半，万世不竭” 这是《庄子．天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。 ' w& Y! Y5 q+ ~! k; ]0 m! y 战国名家宋国人惠施（约公元前３７０－前３１０）曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。 惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等，都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。 毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日，他同哲学工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分，电子也可分。”又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，万世不竭’，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭就没有科学了。” & k. B0 n" i6 P7 F$ Q% C0 P有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，一九六四年八月同周培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道，等等，都提到这句话。 % Z1 S+ ^3 j& b {' Q２－６ “１厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多” : C$ e# M' V% R, }2 X# D" F! t1 o多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔（１８４５－１９１８）六年以后向无穷宣战。他成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，１厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。 然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。此后，数学家们进行了不懈地探讨。 9 t, w. s1 o$ g. Y) u* k- E( y) N * q* e% a. } n) A" F" c5 o$ I例如，一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》，这本书以罗素的《数学原理》（１９０３）为蓝本的，试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的ＩＦ（Independence-Friendly First-Order Logic）逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集合论作为数学理论的适当框架，对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引 ) [/ V% V1 |; W, D" b9 L/ [; i起一场逻辑和数学基础的革命？我们还将拭目以待。