从勾股定理到费尔马大定理

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从勾股定理到费尔马大定理

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中国科学院应用数学所 副所长 曹道民

　　提起歌德巴赫（Goldbach）猜想，很多三十多岁的人都听说过，因为我国的数学家曾对这猜想作出过杰出的贡献，特别是陈景润的结果到现在还是最好的。陈景润的事迹在八十年代曾在全国广泛流传，影响到当时很多的青年人，现在四十岁上下的从事数学研究的人，包括我自己，就是受到影响而走上科学研究之路的。

　　如果有人问起上世纪数学界中最重要的结果是什么，我相信很多人会说是费尔马（Fermat）大定理。这个悬置长达350多年的、比歌德巴赫猜想更著名的难题在1995年被英国数学家维尔斯(Wiles)彻底解决。1996年3月维尔斯因此荣膺沃尔夫（Wolf）奖。

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　　首先，让我们来介绍费尔马大定理。

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　　学过平面几何的人都知道，设a、b为直角三角形的直角的两条边长，则斜边的边长c跟a、b满足关系式c² = a² + b² 。中国人称它为《商高定理》，因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载古代数学家商高谈到这个关系式。更普遍也称为勾股定理，这是因为在《周髀算经》》中记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系，其后的著作中也有其他的勾股数。如《九章算术》中还有（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等7组数。在西方，上述公式称为毕达哥拉斯定理，这是因为西方的数学及科学来源于古希腊，古希腊流使下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上，要知道毕达哥拉斯被推崇为“数论的始祖”。

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　　如果勾股定理的公式c² = a² + b²中的 a ，b ，c未知数，是第一个不定方程（即未知数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

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　　法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学的是法律，从事的也是律师的职业，但他对数学却有浓厚的兴趣，在公余时间常读数学书，并自己从事一些数学研究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书中论述求解x² + y² = z² 的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数之和。更一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数的两个之和。我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白太小，写不下整个证明”。用数学语言来表达，费尔马的结论是：

　　当n≥3时, xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。

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　　人们不相信费尔马找到了这个结论的证明，或者正如成千上万的后来人一样，自以为证明出来而实际上搞错了，因为许多有名的数学家都试图证明它，但都以失败而告终。然而费尔马确实创造了无穷下降方法，证明了n = 4 的情况。n = 3 的情况是瑞士大数学家欧拉（Leonard Euler, 1707- 1783）在1753年给出的。19世纪初实际上只有n = 3，n = 4两种情况得到证明。而n = 5的情况则是在经历了半个多世纪，一直到1823年至1825年才首次完全证明。费尔马大定理对当时的数学家是一个最大的挑战。为了表示学术界对它的重视，1816年法国科学院首次为费尔马大定理设立了大奖。许多大数学家，其中包括当时顶尖的数学家，法国的高斯和法国的柯西都曾热衷于这个问题。

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　　在早期尝试解决费尔马大定理的英雄豪杰里有一位巾帼英雄，她是德国的苏菲·日尔曼（Sophie Germain, 1776-1831）。小时候她是一个很害羞、胆怯的女孩，靠自学阅读和研究数学。由于当时女姓在数学上受到歧视，她就用一个男性化名同一些大数学家通信，其中包括高斯和勒让德，她的才能使得这些一流的数学家大为惊讶。

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　　我们现在回过头来看看勾股定理

a² + b² = c²

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　　如果我们在方程两边同除以c²，我们得到

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　　设= x , = y, 则要找正整数a, b, c 满足a² + b² = c² 等价找有理数x, y, 使得（x, y）满足x² +y² = 1。 (x, y) 可以看成是平面上单位图上的一个点，x, y都为有理数的点(x, y)称为有理点。这样我们就把由勾股定理得到的方程是否有正整数解化为平面上的单位圆上是否有有理点。同样xⁿ + yⁿ = zⁿ是否有正整数解等价于平面上的曲线xⁿ + yⁿ =1上是否有有理点的问题。我们称由方程xⁿ + yⁿ =1定义的曲线为费尔马曲线。

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　　在中学数学里，我们对平面代数曲线有一些了解，在解析几何里，对二次曲线进行了完整的分类。平面上二次代数曲线有

　　椭圆：；

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　　双曲线：，或；

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　　抛物线：

　　代数几何学在解决费尔马大定理起到了非常大的作用。代数几何学是解析几何的自然延续，在解析几何中，我们用坐标方法通过方程来表示曲线和曲面，通常只研究一次、二次曲线，即直线、椭圆、双曲线及抛物线。三次及三次以上的曲线一般就不再仔细研究了。

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　　代数几何与解析几何的一个主要不同点是，解析几何用次数来对曲线和曲面分类，而代数几何学则用一个双有理变换不变量-亏格来对代数曲线进行分类。通过亏格g ，所有代数曲线可分为三大类：

　　g=0: 直线、椭圆、圆锥曲线；

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　　g=1: 椭圆曲线；

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　　g其他曲线，特别是费尔马曲线。

　　费尔马曲线的亏格 所以对的费尔马方程，1929年英国数学家莫德尔（Lewis J. Mordell）提出著名的猜想：亏格的代数曲线上的有些点数目只有有限多个。1929年西格尔证明亏格的代数曲线上的整点（即坐标均为整数点）数目只有有限多个。

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　　当然，一般有理数的数目要比整点数目多得多。

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　　1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想。他的证明用到了多位数学家的成果。他的结果被认为是上世纪的一个伟大定理，他因此而获得1986年的菲尔兹（Fields）奖。从莫德尔猜想我们推出：如果xn + yn = zn有非平凡的互素的正整数解，那么解的个数只有有限多个。希斯-布朗利用莫德尔猜想，证明了对于几乎所有的素数，费尔马大定理成立。

　　由于莫德尔猜想的证明，数学家看出了一系列猜想最终可导致证明费尔马大定理。

　　1983年，史皮娄（Lucien Szpiro）提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出，对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。1985年，与塞尔（D.W.Masser）等人提出一系列等价猜想，其中一个称为abc猜想，由它可推出史皮娄猜想。1987年，史皮娄又提出一系列猜想，由它们也能推出史皮娄猜想。这些猜想似乎更容易下手，但至今一个也没有证明。

　　1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，称为塞尔强（弱）猜想。由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走通。

　　1971年，埃莱古阿计（Yres Hellegouarch），最早把椭圆曲线与费尔马大定理联系起来，然而，符莱（Gerhard Frdy）却是第一个把方向扭转到正确轨道上的人。1985年，符莱证明如果费尔马方程（为不少于5的素数）有非零解（即，则可设计一条椭圆曲线其中不妨假定为互素的非零整数，显然它是有理数域上的椭圆曲线。

　　日本数学家谷山丰（1927—1958）在1955年召开的会议上研究了椭圆曲线的参数化问题。一条曲线的参数化对于曲线表示和研究曲线的性质有很大帮助，这在中学学习解析几何时我们就已经看到了。椭圆曲线是三次曲线，它也可以用一些函数进行参数表示。但是，如果参数表示所用的函数能用模形式，（模函数是上半复平面上处处亚纯函数的一类，模形式是模函数的推广），则我们称之为模曲线。模曲线有很好的性质。我们希望任一椭圆曲线都是模曲线，这就是谷山一志村猜想。此后，数学家把证明费尔马大定理化为证明对某一类椭圆曲线，谷山一志村猜想成立。

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　　英国数学家维尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取得突破。最终在一九九五年完全证明费尔马大定理。

　　作为本文的结束，我想给数学爱好者提出一点自己的建议：数学中有一些看上去很简单的结论，如歌德巴赫猜想、费尔马大定理等要去证明却是非常困难的。许多数学爱好者认为只要有好的“灵感”就能用初等数学的方法或不多的数学工具就能解决世界难题，结果白白花费了许多宝贵的时间。最近经常从报上、网上看到某某解决了某某难题，一些媒体不负责任的报道可能会误导一些数学爱好者。让读者了解费尔马大定理的解决过程，从而希望数学爱好者不要盲目地作世界难题，这正是本文的初衷之一。如果你真的热爱数学，立志于攻克数学难题，那么应该先学习某一专业的基础知识，了解这一问题的国际研究动态，搞清楚前人的工作，然后再开展自己的研究。

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　　（本文的写作参考了胡作玄教授的《从毕达哥拉斯到费尔马》及《350年历程--从费尔马到维尔斯》，在此致谢。由于本人的专业不是数论，很可能在文中会有错误，望读者指正。想进一步了解的读者可以读一读胡作玄教授这两本书。）