对哥德巴赫猜想论证的探索

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文通过对当代数学界论证哥德巴赫猜想的反思，列举数学论证的启示,对哥德巴赫猜想进行了探索,提出了新的证明思想。 + R9 _3 N7 O! f, u0 c

关键词哥德巴赫猜想陈氏定理论证命题素数筛法

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一、问题的提出

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1742年哥德巴赫在给欧拉的信中，提出了关于整数表素数之和的两个猜想，简略叙述为：

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(A)每个≥6的偶数，都是两个奇素数之和；(B)每个≥9的奇数，都可表为三个奇素数之和。

由于由(A)可以推出(B)，所以一般意义讲,解决哥德巴赫猜想的关键是证明猜想(A)。

陈景润先生以其惊人的毅力和献身精神证明了：“一个充分大的偶数都可表为一个素数和二个素数的乘积之和。”受到了人们的赞誉，他的精神永远值得学习。

如果用他所获得的知识和“高深的理论”继续论证下去，是否能够彻底解决哥德巴赫猜想呢？

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回答将是否定的，理由是：

(1)1973年陈景润先生就在《中国科学》上发表了他的“大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”的详细证明，直到1996年3月病逝的20多年时间里，对哥德巴赫这一猜想的证明并无进展，对此问题感兴趣的中外数学家也没有任何进展。陈景润先生的结果，仍然是世界上最好结果，到目前为止仍看不出能用现有方法解决此问题的任何迹象。

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(2)“陈氏定理”发表以后，国际上又连续发表了若干简化证明，我国数学家王元、潘承洞、丁夏畦都对“陈氏定理”给出过简化证明，数学家们对“哥德巴赫猜想”的进一步证明做了如下论述：

“我们还不能条件地证明(1.1)……因此我们深信，对进一步研究猜想(A),必须有一个全新的思想。”［1］──王元“总之，数学家们还想不出着手来对这两个猜想进行，哪怕是有条件的、极初步的、有意义的探讨。”［2］──潘承洞潘承彪“因为依作者看来，不仅现有的方法不适用来研究解决(1+1)，而且到目前为止还看不到可以沿着什么途径，利用什么方法来解决它。”［3］──潘承洞写过了以上两个理由以后，觉得就这样否定了用高深理论和现行方法解决哥德巴赫猜想的理由并不充分。也有如下理由来说明其不充分性：

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(1)“我国数学家陈景润在1966年就已经宣布他证明了命题(1+2)，但由于当时他没有发表详细的证明，所以在1973年以前的六年间，国际数学界仍然认为命题(1+3)是最好的。”［4］可以这样讲1966年陈景润的研究成果，并没有得到承认，也没有人认真去研究他发表的结论。“陈氏定理”在1973年发表了详细证明以后,振动了数学界，国际上才有若干简化证明。

试想如果在今后的某一个时期，有某一个数学工作者，对“陈氏定理”进行改进，而证明了“一个极充分大的偶数，都可表为一个素数和另一个素数之和”呢？这种情况是很可能存在的，没有发生的事情是很难预料的，这是理由一。

(2)陈景润先生病逝以后，“中国科学院数学所告诫广大业余数学爱好者，不明白哥德巴赫猜想难在何处，缺乏严格的数学证明和必要的理论基础，研究工具和研究手段是不可能解决‘哥德巴赫猜想’的”。

“陈氏定理”所用证明方法及发表的若干简化证明所用理论，不正是所具备的理论基础、研究工具和研究手段吗？按现在流行的说法，只要有能够站在巨人肩上的决心，应该能够解决哥德巴赫猜想才是。这是理由之二。

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看来以上理由都不十分充分，数学家们没有明确指出，怎样的思想才是“全新的思想”(全新的思想无法事先作出预测)，怎样的证明才是“有条件的、极初步的、有意义的探讨”；专家们也没有明确指出，怎样才算解决猜想所具备的“必要的理论基础，研究工具和研究手段”。

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本篇试着围绕解决哥德巴赫猜想的一些命题进行反思，指出当前解决这一猜想过程存在的问题，并对如何解决哥德巴赫猜想进行探索。

二、当代数学界证明哥德巴赫猜想所用命题的综述

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本节只简略摘录了当代用筛法解决哥德巴赫猜想所用命题，及应用这些命题入手所得到的一些最好结果。欲详细了解这一方面的问题，请参阅王元教授所著《哥德巴赫猜想研究》和潘承洞教授所写《素数的分布与哥德巴赫猜想》等有关书籍和文献。

1.从命题(a+b)开始

命题(a+b)，也就是“每一个大偶数可以表示为一个素因子个数不超过a个数和一个素因子个数不超过b个数之和。”

1920年挪威数学家布朗在其开创性的论文中，第一个对古老的筛法，作了重大改进，证明了(9+9)是正确的，后经过许多数学家的不懈努力，尽量减少其中每个素因子的个数。直到1957年，才由王元教授证明了命题(2+3)。

" l1 V& @! J7 ?. G* D2.从命题(1+c)开始

“1948年匈牙利数学家兰恩易在其开创性的工作中，应用筛法和其它更为复杂的方法相结合。得到了一个有趣的结果，就是：每一个大偶数都是一个素数和一个素因子不超过c个的数之和，即证明了命题(1+c)。”开始，经过中外数学家的努力，直到1966年陈景润宣布证明了(1+2)，1973年用他提出的方法，发表了(1+2)的全部结果后，在世界上引起了强烈反响，后在国际上又连续发表了五个简化证明，这是到目前为止，用此方法得到的最好结果。

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3.从命题──“存在一整数C，而任一整数N一定可以表成不超过C 个素数的和。”

此问题是1912年第五届国际数学大会上，德国数学家兰道在他的演说中首先提出，1930年史尼尔曼引入了，关于自然数集合的正密率概念，证明了每一整数可以表成C个素数之和。沿着这一方法，当前最好结果是沃恩证明的S≤6。

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以上方法都经过了许多数学家的不懈努力，在各自的命题上，都获得了一些可喜成果，大大丰富了数学理论，但最终都未能解决哥德巴赫猜想。他们所做出的成绩是可嘉的，但他们所论证的命题，从一开始就出现了问题。

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以下分几个方面对走过的路进行一下反思。

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三、对数学论证的反思

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“实际上，科学行为的标志是甚至对自己最珍爱的理论也持某种怀疑态度。盲目虔信一个理论不是理智的美德，而是理智的罪过。”［5］

1、命题的论证与逻辑错误

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(1)所论命题与原命题不符

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哥德巴赫和欧拉的原命题是每一个大于等于6的偶数可表为两素数之和；不是表为一个素因子个数不超过a 和另一个素因子不超过b的二整数之和；也不是偶数表为一个素数和c个素数的乘积之和；更不是存在一整数c而任一整数N一定可以表成不超过c个素数的和。

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数学家的论证目的是哥德巴赫猜想，但他们所论证的是各自的命题，尽管理论是高深的，论证是严密的，但他们所得到的结果，都不能叫做哥德巴赫猜想。

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从论证命题开始在逻辑上就是不允许的。(在逻辑上叫做偷换命题)(2)部分不能代替全部

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假设有人证明了“充分大的偶数可以表为两素数之和。”也离原命题相差很远，因为原命题提出的是每一个≥6的偶数都可表为两素数之和；而不是充分大的偶数表为两素数之和。认为证明了充分大的偶数可表为两素数之和，就认定是解决了哥德巴赫猜想，也是不正确的，是以部分结果代替了全部，在逻辑上也是不允许的。

证明了充分大的偶数可表为两素数之和，只能说是部分地解决了哥德巴赫猜想。

2、所用筛法存在的问题

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(1)当今论证哥德巴赫猜想所用筛法，无论是布朗所创筛法，还是大筛法都不能确切求出素数个数，估计误差都很大，使得对哥德巴赫猜想的证明都不能很准确，只能在充分大或极大情况下，估计和考察偶数表两素数之和的存在情况。

(2)最古老的爱拉托斯詹尼斯(Eratosthenes)筛法，虽然能确切求出素数个数，但在具体应用时，有一定局限性，而不为数论专家所重视。

3、验证的论证

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关于验证的论证这一节，就用数学工作者的一段话做为讨论的论证：

“哥德巴赫猜想的提出是合理的，对于命题(A)，有人对33×10的6次方以下的每一个不小于6的偶数一一进行验算，都表明它是正确的。然而，验算还不能代替证明，一部分数还不能代替一切数，问题是这个猜想对于不小于6的一切偶数，是不是都成立，因此，这个看起来十分明显的问题，证明起来又是十分困难的。”［7]

4、数学家的思想对解决此问题的影响(1)1900年希尔伯特在第二届国际数学大会上的演说指出，要解决“猜想”必须依赖于黎曼猜想的解决。

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要解决整数论中的问题，却要到复变函数论中去解决，而且还要依赖于另一没有解决的猜想──黎曼猜想的解决，可想而知哥德巴赫猜想的解决，是多么艰难。如果当时希尔伯特想指出证明的艰难是无可指责的，但若指示证明方法，希尔伯特却是误指了方向，使得“哥德巴赫猜想”的解决，变得更复杂而困难了，即使用黎曼猜想证明了哥德巴赫猜想，在黎曼猜想没有解决以前仍然不能算是正确的。

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(2)同样，1912年德国数学家兰道在第五届国际数学大会上的演说中指出哥德巴赫问题是当代数学界所无法解决的，甚至解决下面的问题，也会感到异常困难：“存在一正整数C而任一正整数N一定可表成不超过C个质数的和。”(其实兰道所指出的是另一命题)给后来数学界指出了一条坎坷的道路。

由于是著名数学家所指出，都有后继的，许多优秀的数学家投入很大精力，寻求问题的解决都没有成功。

一种猜想提出以后，它的对与错，能够采用什么方法，都是一种推测，如果有谁能够指出证明的方法，那猜想决不会成为猜想。对未知理论的探讨，对数学家所指示解决问题的方法，在判断这些方法的可行性时，都要保持清醒的头脑，盲目相信数学家指示解决问题的方法，是不可取的。

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四、数学论证的启示

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采取怎样的思想和方法，才能彻底解决哥德巴赫猜想等历史遗留下来的问题，希望能在以下文中得到启示：

1.数学发展史的启示

数论虽然是一门古老的学科，创始却在十七世纪，后来逐步得到发展，十七世纪的欧洲也正是工业革命飞速发展时代。数论做为数学最基础的学科，也应该有一个发展和巩固的时期，但此时大批优秀人才，从事于工业革命各个领域和学科的研究和探索；大批优秀的数学家，对飞跃发展的数学中的各个领域，进行了适应于当时工业革命发展的研究。使数论这门古老的学科发展比较缓慢，落后于数学中其它领域的发展。

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自从欧拉开始将分析方法引入数论以后，数学家们丰富发展了用解析方法求解数论问题的历史，但过早的引入解析方法及其它一些高等方法研究数论，超过了数论产生发展的历史阶段，数论的基础不够完善，使得本应在数论的基础理论发展中解决的问题，得不到解决。因而在初等数论中留下了大量没有解决的问题，问题最多的是不定方程和素数的分布两章；最具有代表性的两大难题是费尔马大定理和哥德巴赫猜想。

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2.“外行”做出贡献的启示

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“阅读他人有关这一课题的文章会限制思想使读者也用同一方法去观察问题，从而使寻求新的有效方法更加困难。”“如若研究的是一个不再发展的学科，这一领域的问题业已解决，那么就需要一种新的革命方法，而这种方法更可能由一个外行提出，内行几乎总是对革新思想抱着怀疑态度。”［10］飞行器的发明，开始就受到当时科学家的反对，可以算做是其中一个例证。关于此点请参阅《“外行”独具慧眼》一文，此文刊登在1981年5期28—29页的《科学画报》上，由周昌忠编辑，文中的结尾“有益的启示”一节，正是我们要论述的重要内容，转抄如下：

“在自然科学中，类似发明飞行器这样的教训是不少的。它们给我们一个有益的启示，科学发展，人类文明的昌盛，固然需要有博闻广识的科学家，但是他们如若囿于已有的知识，那么，反而会成为科学发展的一种束缚。相反那些对某研究对象知之不多而又勇于探索和实践的人，倒会在他们从事的领域中取得成功。其道理也是极其简单的，因为凡是重大成就都将打破旧的科学观念，进而确立新的观念。因此，为了导致新的突破，决不能固守已有的专门知识，而必须另辟蹊径，大胆探索，勇于创新。”

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3.业余研究的启示

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“为现代自然科学的各个领域作出了奠基性贡献的第一批科学家，都不是专业的科学研究人员。他们都是业余研究者，可以毫不夸张的说，现代自然科学发祥于业余研究。”

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以上一段，摘自《科学画报》1981年6期第1页由张颖清先生著文，文题《业余研究出第一流人才》为说明问题，本文将该文最后一段转抄如下：

“科学总是在探索未知的东西。创造和发现──这一科学的最重要的发展形式，即使最伟大的成就，总是在未被开发的处女地上作出的。直到这些发现在一定程度上被人们认识以后才能形成学科和专业。创造在前，专业于后。科学总是革命的和非正统的，这是它的规律。这样，业余研究者就总是可能成为科学上新大陆的发现者。在很多情况下，自然科学往往把第一流科学发现的伟大荣誉给了业余研究者。而只是把第二流、第三流的发现留给专业研究者。因而爱因斯坦才说：‘只有不依赖科学谋生科学才是美好的。’所以支持业余科学研究者和专业人员的业余研究活动，是发展科学必不可少的明智做法。”

五、数学论证的探索

“所谓科学研究就是对新知识的探求，所以对有独创精神的人特别具有吸引力，他们所用的方法亦各不相同。甲所遵循的方法，对乙则未必合用，不同的学科也需要不同的方法。”［12］“对于确实开辟了新天地的发现，人们很难作出预见，因为这种发现常常不符合当时流行的看法。”［13］对于费尔马大定理，对于哥德巴赫猜想，如果有人能够指出证明方法──解析的或者数论的，高等或初等，那么，费尔马大定理、哥德巴赫猜想也决不会成为几百年来难以解决的问题。

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要想彻底解决哥德巴赫猜想，就要重新审查前人的知识来源及进展情况，对前人提出的论证和方法提出疑议。

本文在前面的论述中，对数学论证提出了反思，指出了当代在证明哥德巴赫猜想所用命题的逻辑错误，在以下文中，将对哥德巴赫猜想的论证进行探索。

1.筛选素数方法的探索

1919年布朗筛法建立在Eratosthenes筛法之上，那就要重新考察Eratosthenes筛法，以此建立起新的筛法，要比以布朗筛法为基础建立起的理论会更加有效、合理。

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重新对古老的Eratosthenes筛法进行考查得到更确切的筛选素数的方法更准确快速对素数进行筛选，是解决哥德巴赫猜想的基础和关键所在。

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2.论证命题的探索

当代在证明哥德巴赫猜想所用命题及最好结果，我们在前面已经论述。如果改变一下观察角度，先假定“哥德巴赫猜想”在某一偶数后并不成立，我们要问：“多大偶数可表为两素数之和？”

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放弃验证所得到的结果，先从2*2＜Ou＜3*3开始证起，偶数Ou可表为两素数之和，然后论证3*3＜Ou＜5*5……。要比观察极大偶数表为两素数之和要方便、简捷得多。通过用这种方法证明可以得到如下结论：每一个大于25的偶数最少可表一组（一对）两素数之和。这一结论就是所谓的哥德巴赫猜想，实际上：

每一个大于169(13*13)的偶数最少可表三组两素数之和；(即3个1+1)每一个大于529(23*23)的偶数最少可表五组两素数之和；(即5个1+1)…………

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一般的有，大偶数最少可表为C组两素数之和。(C个1+1)其实用Eratosthenes筛法就可证明2*2＜Ou＜3*3之间的偶数可表两素数之和，所用知识不超出中学数学范围，但数论专家们未必都能证明。

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不考察极大的偶数，而是从哥德巴赫猜想提出的最小偶数证起，不采用解析数论的方法，而是用初等数论的方法，证明了2*2＜Ou＜3*3之间的偶数可表为两素数之和，算不算新的思想？进行的是不是“有条件的、极初步的、有意义的探讨”？

比起考察极大偶数，只能证明命题(1+2)，证明了2*2＜Ou＜3*3之间的偶数，可表为两素数之和(1+1)的最初步结果所用知识，算不算是掌握了“必要的理论基础、研究工具和研究手段”？

六数学论证的问题和困难

“据说，一项对知识的创造性贡献，其接受过程可分为三步，在第一阶段，人们嘲笑它是假的，不可能的，或没有用的；到第二阶段，人们说其中可能有些道理，但永远派不上什么实际的用场；到第三步也是最后的阶段，新发现已获得了普遍的承认，这时，许多人说这个发现并不新鲜，早就有人想到了。”[14]同样，如果用“新的思想”证明了哥德巴赫猜想，也将受到冷落，因为它距离主宰素数堆垒的理论──解析数论太远，无法纳入当前证明这一问题所用知识的整体。因为“新思想”不是证明“充分大”的偶数可表为两素数之和，而是从“哥氏”猜想提出的最小偶数开始。即使证明了2*2＜Ou＜3*3之间的偶数可表为两素数之和，也会受到反对，甚而会指出2*2＜Ou＜3*3的偶数只有两个数：6和8。没有必要用几页，十几页稿纸去证明，不到一分钟就可得到6=3+3、8=5+3，验算即可。这实际上是否定了数学的证明，否定了大数学家欧拉，也否定了哥德巴赫，当时二位大数学家提出这一猜想时，大概还不知道6=3+3、8=5+3，否则欧拉为什么还要提出：“任何大于6的偶数都是两个奇素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑认为这是完全正确的定理”呢？按反对者的看法，其实二位大师只要提出，经验算后的最后值，提出大于某一个偶数后偶数表两素数之和的猜想即可，小于此偶数的所有偶数都可以认为是经过验证后得到了证明。

不知道数学界从什么时候开始，用验算代替了数学的证明。

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专家们否定了用初等方法解决哥德巴赫猜想的可能，认为是用锯子、刨子去造宇宙飞船。其实“哥德巴赫猜想”是否是宇宙飞船，到目前为止谁也不清楚。前面我们已经阐述，现在证明此问题所用命题都不能叫做哥德巴赫猜想。而有人用初等方法证明了2*2＜Ou＜3*3的偶数可表两素数之和，虽然只证明了6和8两个偶数，但却符合哥氏原命题，可以称证明了哥德巴赫猜想在2*2＜Ou＜3*3之间成立。

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数学家们否定了用初等方法解决哥德巴赫猜想的可能，实际上否定了数学论证的多样性否定了人们思维方法的多元化。

“如若新设想过于革命，也就是说，距离主宰理论太远，无法纳入当时知识的整体，那就不会被接受。如若新发现的作出不到时机，则十之八九或被置之不理，或招致强烈得无法抵抗的反对。所以一般来说，还不如不发现。”［15］这也是舍身投入到这一问题，而获得初步结果者的最大困难。当然，数学家的否定有其社会原因，也有的是由于新理论发现者“不谙人情世故”得不到支持和帮助有关。

“部分是由于这种对新设想的抗拒心理，部分是冒犯了权威，侵犯了精神和物质上的即得利益。有时，发现者不谙人情事故也使事态恶化。对新发现的抵制势力必将使许多发现扼杀在襁褓之中。”［16］

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[注] 本文用n*n表示n的平方

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参考文献

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[1]王元哥德巴赫猜想研究(黑龙江教育出版社1987年11月21)[2]潘承洞潘承彪哥德巴赫猜想(科学出版社1981年)[4][3]潘承洞素数分布与哥德巴赫猜想(山东科学技术出版社1979年12月6~7)[5][6][英]伊卡托斯科学研究纲领方法论(上海译文出版社1987年4月1~2)

[7]王连笑从哥德巴赫猜想谈起(天津人民出版社1978年12月63)[8]沈石山业余数学大师费尔马(科学画报上海科技出版社1980年12月)

[9][11]王健真论费尔马大定理(中国统计出版社1989年7月86、7)[10][12][13][14][15][16] W.I.B 贝费里奇科学研究的艺术(科学出版社1979年2月)