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一道较难的函数题急!

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wilsonlouis

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发表于 2009-5-17 10:54 |只看该作者 |倒序浏览

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题目：已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于
f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证:
(1)af[m/(m+1)]<0
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.

zan

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现实不是小说

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发表于 2009-5-17 13:35 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

证明：（1）af[m/(m+1)]=a*[a*m^2/(m+1)^2+b*m/(m+1)+c];
      有已知条件可得-a/(m+2)=b/(m+1)+c/m；
   代入得a^2*[m^2/(m+1)^2-1/(m+2)];
         通分化简可的结果，相信你也会。
   （2）af(0)=a*c;
               af(1)=a^2+a*b+a*c;
               讨论：
      1）如果ac=0,则c=0;
               af(1)=a^2*(1+b/a);
               已知条件可化为1/(m+2)+b/a*1/(m+1)=0;
               可得0>b/a>-1;
                  代入得af(1)>0;
                  结合（1）的结果可得方程f(x)=0在(0,1)内必有一零点；
      2）ac>0,自然得证；
      3）ac<0.
               a^2/(m+1)+a*b/(m+1)+a*c/m>0;
               得a^2+a*b>0;
               则(a^2+a*b+a*c)/m>0;
               因为m>0;
               a*f(1)>0;
               得证。
         如有其他方法请提出宝贵意见，比邻赐教！！！！

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wilsonlouis

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发表于 2009-5-18 23:45 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

这个题挺有意思的。
第一问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
此式两边同乘以m
得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0
∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2)
af[m/(m+1)]
=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]}
=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)]
=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)]
∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0
∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
而(a^2)(m^2)>0
∴af[m/(m+1)]<0

第二问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
两边同时乘以(m+1):
a(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0
b=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m
af(0)=ac
af(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m
此时要利用第一问的结论：af[m/(m+1)]<0……①
如果ac>0,即af(0)>0，与①式相乘
得：[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0
∴f(0)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解
如果ac<=0,那么-ac>=0
∴a^2/(m+2)-ac/m>0，即af(1)>0，与①式相乘
得：=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
∴f(1)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解
∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分
∴综上，方程f(x)=0在(0,1)内有解.
结论得证！