数学建模解决问题步骤

浅夏110

数学建模
数学建模实际上就是将一个我们遇到的实际问题，抽象成一个数学问题，通过对数学问题的求解，进而得到解决实际问题的方法
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使用数学建模解决问题的一般过程–五步法

$ O( F. P; w, _+ c* d. l# C五步法指的是解决问题的数学建模方法包括的五个步骤：
**1、提出问题
2、选择建模方法
/ W$ }  f, h# a0 L: ~3、推到模型的数学方法
4、求解模型
5、回答问题**

下面对这五个步骤进行分析
1、提出问题
可能会有人说为什么需要提出问题，问题不是实际上就存在的吗？
这就理解错了，因为我们使用是数学方法来解决问题，因此我们需要做的是将实际问题描述成数学问题，并且使用数学语言将问题表述出来
例如：如下实际问题：

% j7 d' N1 n' y+ x/ E+ ]
& D: S7 @- F' J( _! a; K在我们使用数学术语提出问题之前，我们需要定义所用的术语，首先列出整个问题所涉及的变量，包括恰当的党委，然后写出关于这些变量所做出的就射，列出我们已知或假设的这些变量之间的关系式，包括等式和不等式，这些工作做完之后我们而就可以做第一步提出问题了
5 v7 n" _7 ^" |! o; r5 C2 `也就是说提出问题是需要我们使用明确的数学语言写出这个问题的目标的表达式，再加上前面写出的变量、单位、等式、不等式以及所做的假设，就构成考虑完整的问题
. y: f/ ^/ ~6 b% c% G1 {! `  p

按照上面图片示例：我们考察第一步是否完整的方法就是检查P是否可以最终表示成变量t的函数，
关于如何构建这些变量和假设建议最好首先写出所有显而易见的部分（例如，对有些变量，只需要阅读对问题的说明，并找出其中的额名词，即可得到）
随着这个过程的进行，其他部分会逐渐补充完整：

至此，第一步提出问题我们已经完成
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' M* x2 o6 B& R4 ]% c2、选择建模方法
现在我们已将有了一个使用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方法来获得解，血多问题都可以表述成一个已有的有效的一般求解方法的标准形式

也就是说一般来说我们遇到的很多问题其实转换成数学问题之后，都可以和一些已有的有效的数学解决方法产生联系，而使用这些有效的数学方法就可以极大地提升我们解决问题的效率
0 l- I9 b) L) c. P6 G* m3 @  ?
例如：上面的养猪问题可以定义为数学中：单变量最优化问题或极大-极小化问题

3、推导模型的数学表达式
7 A$ A1 I) @+ e4 K; W4 A
6 F! V  c7 O9 l3 N其实这一步需要做的就是将第一步得到的问题应用到第二步，写成所选建模方法所需要的标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解，如果选择的建模方法通常采用一些特定的变量名，那么我们把问题中的变量名改换一下会比较方便：
8 Z/ C" n) J4 S; z9 z- k' F
到此为止，我们已经将我们实际遇到的问题转换成了某一个对应的数学模型的求解过程，一般来说只要我们能够解出这个数学模型的解，那么实际问题的解就呼之欲出了
因此这就引出了我们需要做的第四步-求解模型

% X& l: f3 N7 b0 H9 M) Z* ^* }2 e4、求解模型
5 P7 [3 y; m* i3 P" W$ `我们需要根据我们所学的数学知识将我们转换得到的数学模型的解求出

0 ~4 p( V. @& y% J3 ?; \$ r( y, o例如：对上面的数学模型，我们可以看出是一个二元一次方程，我们需要对这个方程求得最大值，我们可以计算出方程的斜率
7 x$ F; @4 f/ V$ J
我们可以知道当x为8的时候y的值最大
9 ?& A# P4 y: C$ z9 H5 Q' N
5、回答问题
+ d  ^& U' S3 J& T- P  x
& K; Y5 h  M$ K8 u最后一步就是回答第一步中提出的问题，由我们的模型得出的答案是8天之后，可以获得净收益
当然第五步里面我们需要做的有更多，我们需要有把得出的结论和其他人交流的能力，其中有些人可能并不了解那么多的数学知识
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以上就是数学建模的方法–五步法的举例验证过程

  V; m7 f5 p( {
4 w2 q6 ~* [; Y1 ]6 }; z' y3 {" M灵敏性分析
% ~5 D/ H1 W0 o: q( _9 Z通过上面的五步法我们通过数据建模得出了一个实际问题的解，现在我们需要分析我们得到的解的准确性，因为我们在建模的过程中很少能保证这些假设是完全正确的，因此我们需要考虑结果对每一条假设的敏感度
2 K0 @" ^5 N0 N. h) a! M! t. h5 F  [% [$ @
$ C" f% Y7 G: {) b* q进行灵敏性分析是非常有必要的，以上题为例：下图我们列出了在求解这个问题中所做的所有假设，但是我们可以发现，有些变量例如猪的重量，现在的价格，每天需要的饲养费都是比较确定的，但是价格的下降率则确定性更低，这些不确定的变量实际上可能会影响到我们得出的结果的正确性
4 j  U5 N% y! u. }) n

7 ^* f' T3 \0 }- [' ~$ l6 _灵敏性分析是指我们对数学模型中一些变量的可靠性进行分析进而判断出我们计算出来的结果的可靠性


灵敏性和可靠性
8 \( w/ y- r9 y5 T) r一个数学模型的可靠性是指这个模型是稳健的，即使这个模型不完全精确，由其导出的结果也是正确的，在实际问题汇总我们不可能得到绝对准确的信息，即使能够建立一个完美的精确模型，我们也可能采用比较简单和利于处理的近似方法，因此，在数学建模问题中关于稳健性的研究是很有必要的一部分。


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