控制系统的数学模型

血染干戈马

控制系统的数学模型www.madio.h控制系统的数学模型1 SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式:

a0dndtnxc(t)+a1dn−1dtn−1xc(t)+...+an−1ddtxc(t)+anxc(t)a0dndtnxc(t)+a1dn−1dtn−1xc(t)+...+an−1ddtxc(t)+anxc(t)

=b0dndtnxr(t)+b1dn−1dtn−1xr(t)+...+bn−1ddtxr(t)+bnxr(t)=b0dndtnxr(t)+b1dn−1dtn−1xr(t)+...+bn−1ddtxr(t)+bnxr(t)

其中xc(t)xc(t)是被控量(输出量), xr(t)xr(t)是控制量(输入量). 为了表示系统的可实现性,一般限定m<nm<n(输出量最高阶导数 小于 输入量最高阶导数).

[注意]
a0,a1...ana0,a1...an是输出量导数的系数, b0,b1...bnb0,b1...bn是输入量导数的系数,如果a0,a1...ana0,a1...an,b0,b1...bnb0,b1...bn是常数,,则这个系统为定常系统; 否则成为时变系统.

2 控制系统的数学建模过程

1.     确定系统(元件)的输入量、输出量.

2.     按照系统中元件遵循的科学规律(物理, 化学等),围绕输入量和输出量以及中间变量, 列写方程式.

3.     消去中间变量, 得到只有输出量和输入量及其各阶导数的微分方程.

2.1 例子1: RC电路

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif
7 C" S! B8 s: n" t4 |- I1 R解:
1. 确定输入输出: 选择u1u1为输入,u2u2为输出.
2. 根据电路理论列写方程:

⎧⎩⎨⎪⎪u1(t)=Ri(t)+u2(t)i(t)=Cdu2(t)dt{u1(t)=Ri(t)+u2(t)i(t)=Cdu2(t)dt

: d* B2 j1 P4 N# t3. 消去中间变量i(t)i(t), 可得系统微分方程:

u1(t)=RCdu2(t)dt+u2(t)u1(t)=RCdu2(t)dt+u2(t)

[注意]
这是一阶系统, 滤波电路.

2.2 例子2: RC电路

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif
解:
1. 选择u1u1为输入量, ii为输出量.
  c" _; Y, C! s3 ^" j6 A3 y8 j2. 根据电路理论列写微分方程:

⎧⎩⎨⎪⎪u1(t)=Ri(t)+u2(t)u2(t)=1C∫i(t)dt{u1(t)=Ri(t)+u2(t)u2(t)=1C∫i(t)dt

/ C) Y' X& l. R3 b% X! {, a3. 消去中间变量u2(t)u2(t), 可得系统微分方程:

RCdi(t)dt+i(t)=Cdu1(t)dtRCdi(t)dt+i(t)=Cdu1(t)dt

[注意]
$ l4 `+ e5 c! K  k# ^对比例2.1和2.2; 同一个系统选择不同的输入输出量, 得到的数学模型可能不一样.

2.3 例子3: RL电路

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif
. `( w, ?4 L9 E( F  U1. 选取uu为输入量, ii为输出量.
4 t* W5 _1 N9 ~# o0 Y" o2. 得系统的微分方程为:

Ldi(t)dt+Ri(t)=u(t)Ldi(t)dt+Ri(t)=u(t)

[注意]
例子2.3和例子2.2比较, 不同的系统, 可能得到相同的数学模型.

1 n) k# j" q+ I! O- y* f/ d
1 O* {/ h+ {2 \, u- W  q. K; }9 f' A