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我们这篇文章的内容关于统计学中的泊松分布。 举个栗子- H/ U: N2 {4 W$ I) D! z
泊松分布在概率统计当中非常重要,可以很方便地用来计算一些比较难以计算的概率。很多书上会说,泊松分布的本质还是二项分布,泊松分布只是用来简化二项分布计算的。从概念上来说,这的确是对的,但是对于我们初学者,很难完全理解到其中的精髓。 5 h. r1 u: L: U$ E* n2 \
所以让我们来举个栗子,来通俗地理解一下。 : S. F; S* ?5 e' i
假设我们有一颗栗子树,有时候因为风或者是小动物活动的关系,树上可能会掉下栗子来,树上掉栗子显然是一个偶然事件,并且发生的概率很低,那么我们怎么求它的概率分布呢?泊松分布解决的就是这样一个问题。 " E/ i1 l1 a% g. ~
好像没有一个模型可以直接来刻画这个问题,必须要经过一些转化。 [2 L7 j0 ~4 Y, ?& z7 T5 u
其实我们可以将事件切分,将这个问题转化成二项分布问题。
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4 j7 \& C; |) V) W比如我们把一天的时间切分成了若干份,这样对于每一份时间来说,最多只会掉一个栗子。那么,这就转化成了一个二项分布问题。理论上来说不会有两颗栗子掉下的时间完全一样,所以只要我们将时间切分得足够细,就可以保证一段时间之中最多只会掉下一个栗子(否则就不满足二项分布)。
' j, s5 v. B" n) j* D+ v假设我们把一天的时间切分成了n份,我们想知道一天当中会有k个栗子掉下的概率,根据二项分布的公式,这个概率就是:
( }# u; b/ Q8 h2 b2 s$ d: _
: C; s. r7 |4 ~3 b5 W" R4 N% m. y
到这里,我们往前迈出了坚实的一步,写出了概率的表达式。 推导泊松分布4 U" l+ b. b5 I' z' | q, E% R
我们虽然有了式子,但是好像没什么用,因为我们只知道p是单位时间内有栗子掉下的概率,我们怎么知道这个概率是多大呢?难道还真的去测量吗? ; V- {( {) [/ K0 r" L0 Q9 g+ \
要解决这个问题,还得回到二项分布。我们可以利用二项分布求一下每天掉下栗子数量的期望,显然对于每一个单位时间而言,发生栗子掉落的概率是p,所以整体的期望是: & _. X0 H2 |/ v
: `2 y) z/ V3 z+ X# M我们令这个期望值是 ,那么根据这个式子,我们可以表达出p了。8 c8 o# A+ f3 V1 ~
% V. f# _4 P0 [
我们把这个p的式子带入原式,可以得到:
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L( P3 L9 o" V) [我们来算一下这个极限:! \7 Z2 h3 Q a6 p. i* H2 C
/ `, j! V+ k! S8 d. h0 p( q
我们把这个极限拆分开来看,其中:
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6 {3 I9 B% U; @+ ?' _3 l所以,我们代入,可以得到:
% H' Q& w- }; e0 k3 I* }
6 ?# ]" l) u2 A6 [" ^这个就是泊松分布的概率密度函数了,也就是说在一天当中掉下k个栗子的概率就是 。
' D v5 y& V( D9 U5 G7 }6 {也就是说泊松分布是我们将时间无限切分,然后套用二项分布利用数学极限推导出来的结果。本质上来说,它的内核仍然是二项分布。使用泊松分布的原因是,当n很大,p很小的时候,我们使用二项分布计算会非常困难,因为使用乘方计算出来的值会非常巨大,这个时候,我们使用泊松分布去逼近这个概率就很方便了。 结尾和升华
3 q. @ d+ k: y. D我们根据推导出来的结果,感觉只要是n很大,并且p很小的场景都可以使用泊松分布。但是这毕竟只是一个感性的认知,在统计学上对于这个问题也是有严谨定义的。我们来看一下严谨的使用条件的限制,大概是这么三条。
9 v3 Z. p" @* f: _& P! [( ` v h- 当我们将时间进行无线切分之后,在接近于0的时间段内事件发生的概率与时间成正比。
- 在每一段无限小的时间段内,同一事件发生两次的概率无限接近于0
- 在不同的时间段内,事件是否发生互相独立
. f4 L2 p+ O9 F: l5 j- j / x: L; v; ], k# P7 T
最后,我们看一道书上的例题,实际感受一下泊松分布的应用。假设我们有一批零件,它的次品率是0.1%,也就是千分之一。请问我们生产一千个产品当中至少有两件次品的概率? R+ c) l- }+ P( h- D6 R
这道题应该很简单,要求两件及以上次品的概率,我们只需要计算出只有零件和一件次品的概率,然后用1减去它们即可。我们首先根据n和p算出 : ! i2 [; b: Y, Q5 O
我们带入泊松分布的公式: ; y5 p4 T7 I0 w! \ ^! Z0 J; q, {: T
如果我们要用二项分布来计算,那么就需要计算0.999的一千次方了,这显然是非常麻烦的,这也是泊松分布的意义。 转载于公众号:TechFlow) T. S) C8 c8 @4 K
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