常用模型&算法总结—图&网络模型应用—树：连通性、最小生成树

浅夏110

1 基本概念
连通的无圈图叫做树，记之为T 。若图G 满足V(G) =V(T ) ， E(T ) ⊂ E(G) ， 则称T 是G 的生成树。图G 连通的充分必要条件为G 有生成树。一个连通图的生成树 的个数很多，用τ (G) 表示G 的生成树的个数，则有公式
$ g, C( t: g! ?% l7 P. @/ f

. v8 n" ~/ N  N' ~% \2 I! D1 O树有下面常用的五个充要条件。
5 i9 I/ H' @  A+ [6 K3 @" w
定理 1 （i）G 是树当且仅当G 中任二顶点之间有且仅有一条轨道。

（ii）G 是树当且仅当G 无圈，且ε =ν −1。
# A/ S1 o" m" z+ X. a  \, F
* Q  @2 `* Z$ Y（iii）G 是树当且仅当G 连通，且ε =ν −1。
' U4 {) \$ c; V# ~+ Z. M2 Z
1 ?8 u& p0 a. L( c% y* Y7 X% _$ k（iv）G 是树当且仅当G 连通，且∀e∈ E(G) ，G − e 不连通。
2 D0 K, O5 T. s+ X& ^
, s. Q5 ]/ ^8 l（v）G 是树当且仅当G 无圈，∀e∉ E(G) ，G + e 恰有一个圈。

& }2 c, l7 E7 P( [* L5 ^, o" q2 应用—连线问题
: F5 x* f8 B: p8 x3 Y4 J7 ? 欲修筑连接 n 个城市的铁路，已知i 城与 j 城之间的铁路造价为Cij ，设计一个线 路图，使总造价最低。

7 `( p+ ^1 ]! ~1 }连线问题的数学模型是在连通赋权图上求权最小的生成树。赋权图的具最小权的生 成树叫做最小生成树。
7 l* [) n: H9 V  _# a) b8 @# Y
下面介绍构造最小生成树的两种常用算法。

2.1 prim 算法构造最小生成树
设置两个集合 P 和Q ,其中 P 用于存放G 的最小生成树中的顶点，集合Q 存放G的最小生成树中的边。令集合 P 的初值为 { P = v1 }（假设构造最小生成树时，从顶点 v1 出发），集合Q 的初值为Q = Φ 。

prim 算法的思想是，从所有 p ∈ P ，v ∈V − P 的边 中，选取具有最小权值的边 pv ，将顶点 v 加入集合 P 中，将边 pv 加入集合Q 中，如 此不断重复，直到 P =V 时，最小生成树构造完毕，这时集合Q 中包含了最小生成树 的所有边。

1 w# A+ x. I' _+ S8 x' X! x
9 d# F5 _( e. @' S' H+ g
例 13         用 prim 算法求图 5 的最小生成树。 我们用  的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matlab 程序如下：


clc;clear;
a=zeros(7);
a(1,2)=50; a(1,3)=60;
: C6 ?/ K% A; B3 Ea(2,4)=65; a(2,5)=40;
& F- |  y  G" {1 P3 ^a(3,4)=52;a(3,7)=45;
a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;
; i/ |- u  c' q# x5 m5 K7 oa(5,6)=70;
a=a+a';a(find(a==0))=inf;
; w; q* e( W' w0 Z# Z; Vresult=[];p=1;tb=2:length(a);
while length(result)~=length(a)-1
3 ^$ J/ V1 w4 K' }$ l: w! K    temp=a(p,tb);temp=temp(;
. b5 f* q, A7 R! o2 q- O2 i- p7 {+ ]& ~) q    d=min(temp);
" Y0 z+ o% z0 h1 N4 }- a    [jb,kb]=find(a(p,tb)==d);
    j=p(jb(1));k=tb(kb(1));
    result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];
end
! B1 z, m( U* ?6 ?result

" h/ F' \; I; _* `" K( S2.1 Kruskal 算法构造最小生成树
9 q* |. \' b% W科茹斯克尔（Kruskal）算法是一个好算法。Kruskal 算法如下:
  n) x, W( F/ h/ Y9 s' T, F

# W0 B. l( k# U* B
/ D- o! e% U) ?9 k+ r# y6 A& O例 14   用 Kruskal 算法构造例 3 的最小生成树。 我们用 存放各边端点的信息，当选中某一边之后，就将此边对应的顶点序 号中较大序号u 改记为此边的另一序号v ，同时把后面边中所有序号为u 的改记为v 。

此方法的几何意义是：将序号u 的这个顶点收缩到v 顶点，u 顶点不复存在。后面继续 寻查时，发现某边的两个顶点序号相同时，认为已被收缩掉，失去了被选取的资格。 Matlab 程序如下：

clc;clear;
a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40;
+ N; f! n9 J1 M: c5 y# Y' ja(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;
# f) ]# G, v5 ^0 S% N) }$ {a(4,7)=42; a(5,6)=70;
7 t  J; V* I% e% B8 i" |7 N( j[i,j,b]=find(a);
data=[i';j';b'];index=data(1:2,;
loop=max(size(a))-1;
result=[];
while length(result)<loop
. H" v4 u5 ?& [- e* T    temp=min(data(3,);
    flag=find(data(3,==temp);
    flag=flag(1);
    v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);
# }7 i8 A0 }% I# u    if index(1,flag)~=index(2,flag)
% A1 k* K$ V3 F9 S        result=[result,data(:,flag)];
    end
    index(find(index==v2))=v1;
1 K. M: z1 h7 D* h3 S& q    data(:,flag)=[];
& x4 u; x. H6 s! S) C    index(:,flag)=[];
end
- G7 N" Q6 w" C, _% Uresult


5 z  U' i6 X) |' g
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& L6 o, O2 ?: v. O: j