QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 2999|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

[建模教程] 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
浅夏110 实名认证       

542

主题

15

听众

1万

积分

  • TA的每日心情
    开心
    2020-11-14 17:15
  • 签到天数: 74 天

    [LV.6]常住居民II

    邮箱绑定达人

    群组2019美赛冲刺课程

    群组站长地区赛培训

    群组2019考研数学 桃子老师

    群组2018教师培训(呼伦贝

    群组2019考研数学 站长系列

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2020-6-2 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    1  拉格朗日多项式插值 ( P+ G1 [6 `6 k4 l
    1.1  插值多项式
    ) E  [% x$ T  Q: n
    : \+ y  W" ?; [. \5 L& a* B! }) G( j4 B
    5 X, w! B: ?, n& D9 q
    范德蒙特(Vandermonde)行列式: I! N  C, r5 Y5 M# a* r& j

    & ]2 _# }/ r* I/ U# g
    * G& }. u. v0 w" D- r. \- U  D# \2 _8 J0 O% O* u
    截断误差 / 插值余项
    1 D7 \; H) P$ F  a/ L, S' z: p+ d' r) A" @7 G2 Q' A+ e
    2 N& y$ o4 W7 y: {! `4 J) G' H$ J

    % d" Q8 F; S0 I2 G, V  m/ r  C) m" E
    1.2  拉格朗日插值多项式 # E5 m( ]. i3 {# P8 k2 M+ y2 C
    + t( M6 B; Q8 K

    + s/ s  X! M6 H- D* ^
    ( W( L1 W$ t9 K  \8 e1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值
    % m9 B2 @+ m4 h* V& FMatlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:
    ' `5 _6 H' P! H/ }/ L% j; P9 V, N( \7 d: o( F
    function y=lagrange(x0,y0,x); " o0 b. W- ?2 G4 Y6 F- G) T
    n=length(x0);m=length(x); % `1 _9 ~# ~7 I9 ^7 {7 P2 s3 @
    for i=1:m   
      }* A9 N+ Y# Z7 W  Q    z=x(i);   
    0 l6 k6 ]8 @1 g  O1 Y6 K    s=0.0;    . C7 v) ]+ J" ?
        for k=1:n      
    / I+ M( Z- H% d+ i9 ~        p=1.0;      
    8 U& i( p9 G' w, U1 D  @! ]; W        for j=1:n         
    4 a! S% d9 {) l# g! j            if j~=k             5 L5 H% q0 P. E" w- C, ?: X
                    p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));         
    7 H' k1 K; r. `% {+ V            end       + b8 }8 ?, F6 C* N0 {0 u# n
            end      
    7 s' {# }- F! [7 V/ a3 R# R1 G0 F    s=p*y0(k)+s;    5 f" Y/ X- l$ C4 \% x" @
        end   
    ( X: ]' \" G. F3 c! R! a4 b0 o' Zy(i)=s;
    1 G/ J" P6 B/ l, o2 x$ qend
    3 \  }, y* W, T9 L2 s& R, P; r7 n
    2 v, K4 L9 p1 y5 ]6 \2  牛顿(Newton)插值
    + L4 p& j* q3 N在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。# Q  r2 K7 n3 S/ L
    $ M- h$ O. `3 e+ \/ Y  H1 c
    2.1 差商 : 定义与性质
    $ b0 K& C4 T8 j7 J% _# X; y
    / A6 f2 l/ \4 _2 E6 B
    # D. k2 q0 h5 C# t  B+ j! w7 X; F4 |% l! A1 l
    2.2  Newton 插值公式 , P, d* x- E* P, r9 E1 a
    * l% C' p& J7 G& p1 u* W! ]
    " G/ S! H4 r9 J" z9 N
    1 J2 F2 ]9 M1 E+ _$ \

    / N4 y1 ^7 O) X# K; r) R* n/ PNewton 插值的优点; E1 P7 o- n4 G$ I
    0 R' N0 [) C- y4 a. K$ c1 b
    * \  S8 v; s6 E3 d: O8 A
    : b$ d" p7 e( W% W
    # M: ?' l6 p) Q5 c, A) o! ~2 a
    差商与导数的关系
    ' P8 b0 M) v8 @8 g  D9 j) C3 C
    4 }2 M4 l4 Z3 h% x% y
    ( z) G% G( X' F, [
    ; [# M$ N4 w+ p% {2 k) p, X3 ?8 E2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分0 ^) x% s/ `5 o
    当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。  c8 }4 g. Y" ^! B/ F+ w/ Z7 n
    9 k* z, e. i3 d/ A" B, J5 N9 G
    5 F  M( R8 t% B7 }; f* V1 B6 ^
    ! r- s2 Z- h( L1 g
    ! }* h. I2 J' h( y

    & V% y# S$ _( w差分的两个性质9 |; m0 a1 v' ~: H- M2 q. g
    (i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如
    # z8 _# E' O  I) X7 \3 d4 c. H  a, Q9 j! M
    , \8 H* b- w3 i

    + P& H5 ?- ]4 S; p& v' Z$ o7 n( o(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下: : E- r$ h: u# a

    8 K) V* r& u& r! v% h% ~' d" i0 U
    ( z  Y1 a$ \! _1 H/ M
    2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式. A0 T) y$ @6 H8 \2 c! ^
    , `, e$ N6 x' [% x+ I

    " E+ E; t4 j4 V0 Q- s1 q3 E% F/ f6 y0 G' A. f1 V* r4 _
    3  分段线性插值
    : s- ?3 h5 R$ j" c! s0 O0 D1 h3.1  插值多项式的振荡 + R* W% [) b0 Q0 [7 M/ z5 ^
    - s. E/ F2 |" a+ a! o

    4 l. T' I0 J' m; t. ?4 @1 q" b0 E2 i
      ~  f4 \/ w9 O( d6 F" V9 C: q* a- R1 X8 A& B% c7 S+ i5 d
    高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
    * O1 j; s2 i' ]) B+ c* k1 J5 i! |4 Y3 l* t/ o: b) {1 _
    3.2  分段线性插值
    2 L9 u9 a' L7 S7 R% ?, j) r& h+ a& k: z; e6 r4 G" h9 E

    ' j+ n' P' c2 `" v* E  A! f4 {* E; m* K& _, Z2 @* @' e
    " H7 P% ^. L3 W4 L  {+ U
    5 Z- D& X+ {3 s

    " ^0 O6 o* Q/ y$ r0 \* r# z用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 ' n# V+ a: Z8 T- ]5 |+ c

    & q1 }9 [! X  p" O2 ^3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 9 Z4 }+ r5 X- r- G8 g9 ~! K2 J
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。$ Q* V7 A2 U6 M/ j

    8 S. F0 w& B: ~5 Cy=interp1(x0,y0,x,'method') . I- a# K1 k) z/ X$ k  D

    ' m/ |, ^6 J9 d4 l6 |+ Z2 `; [method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:$ s1 B- M. M; g9 G% f. c: ~' q7 N
    " E1 I  f5 o9 p
    'nearest'   最近项插值
    % i+ w" D+ E* ?/ l: h% U1 ?( V
    / G- W. A! d* s- b'linear'    线性插值
    , t8 n. n, ?) [8 ^
    8 w( h2 G  D& L. s- [, o8 P'spline'    逐段 3 次样条插值5 x9 q- @4 l" l

    * B0 B' ^. L9 R, ^0 P'cubic'    保凹凸性 3 次插值
    0 R( _# f, ?9 }+ \. \. @- U
    " e2 h# e/ Z7 \+ G. @ 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。& f' K+ `( _+ S; y( V: e

    & r# k( `$ I, S3 N4 V4  埃尔米特(Hermite)插值
      {. f9 Z6 Y* [1 |+ z4.1  Hermite 插值多项式
    3 }9 s6 D: Y; Q# A! J如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。
    - L) O- v0 z! E# j# y& J/ C, Q
    ' G5 q: v# E, ^+ u7 ^* X& Q
    " R' Z, A2 Q- H; B, m, Q/ l/ ^
    1 W2 ^% I4 A4 g: z
    % H" h  F0 E- x& v7 i/ g& ?% Z3 X+ B* F* H
    4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值 ' k# j; g# W3 w( M$ q
    Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。 - @2 k% S: Y, Q+ W
    ) ^7 S& y0 x: S9 Y, P: r  K4 Y* U
    function y=hermite(x0,y0,y1,x);
    7 A6 u( E0 ~3 }# F: \' p* pn=length(x0);m=length(x);
    ! r  l( K4 Y2 B, Ifor k=1:m   
    , S. O* V( i' J: m/ K0 I    yy=0.0;   
    + f5 H" S9 V- x; d2 \    for i=1:n      
    % |( e: t: U5 a% a( R% u" V+ Q; i        h=1.0;       # W& e0 W# K- v  x9 M
            a=0.0;      
    " i, K1 l: |% D1 |3 p6 e  O        for j=1:n         
    0 `4 R( _/ ?( h$ ~! z' ^( D" Y: D            if j~=i             3 T: C2 h; r7 V' {* |4 Q& C9 O/ p
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;            
    1 p, y2 n& o/ v                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;          6 O" p5 a- L( H  |2 P% X$ Z' b% c% h
                end       % d3 n7 l- {3 o- F9 t9 t
            end       ! Q; B0 r; y/ {9 H0 N0 W
            yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));    ( h2 n$ `- V$ w, B% O7 Z0 E* z' O
        end   
    / n8 i9 F* |/ B- X" W  C    y(k)=yy; 6 N/ }2 l2 z! \1 q: k( R
    end
    ' T9 g# H) k. r) m8 D
    ' l, @5 r" n8 k! y% Z  |* G" h" Y: ~5 U; z1 R7 w% a1 }
    9 I5 e0 g. m, {# C! |, f% l

      e. o  D2 L, O( y5 ]
    9 P9 s( y. g, z9 W+ D" j0 A( o5  样条插值4 m0 [% {% {. R2 g' S, ~
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    * R" }& H; E: a2 R) r* h' _4 P3 H% f  T$ F) }( D: y4 J. t
    5.1  样条函数的概念
    ! {4 N/ T8 M( K$ d7 X$ Z! l
    . T$ j# z) l1 ^+ _& a0 e- g0 t所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。 / {, J" G* X, S* X" B6 l6 A

    1 ~( R1 G1 x4 {) b* I3 T8 \    内节点 、边界点、k 次样条函数空间
    / c3 d2 N" \4 t& i: L# J
    $ r, D) A5 a" P8 k0 h; g  S4 j
    9 s4 A6 f0 V2 x  K
    8 J) O, r( o; Q; C7 G' M/ k; D5 H
    4 q5 ^2 ?# y1 o3 Q
    ! e' K8 @7 _: ^; X
    ! B- v+ d% v) c8 y二次样条函数6 `: z! ]* H) a% C4 `2 p0 c

    % \( ^+ I6 _* c) x$ t! y* [- M4 I$ |; o! L
    # `& F7 P5 m% Z# L+ Z. n
    三次样条函数$ q4 E  y: D/ w3 W, z: x, ]

    ; D) p. L* p( P- K
    % V: e0 ?# t5 u, F. ~5 j: e
      c- R% i- \8 g利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  - J- x2 s1 e  Z4 }7 |( n) T% a

    ! B  E' e+ ]' s( R5.2  二次样条函数插值  & f* h2 y7 P% y$ R* J9 @9 @
    两类问题4 R& V, i2 \1 _- d$ @
    1 a% m3 P! u' H) [  {
    5 D" _2 g, h- e& e* U) o1 Q. G' ?
    ; U/ V- W+ g, l5 q- n4 i8 J4 v
    证明这两类插值问题都是唯一可解的1 I: B9 W5 H# u: |* c0 C; S

    ( |& p; X- Z" m: t+ l
    . H/ q3 d, @; f% p4 m1 Z2 F/ @2 p3 a, k  q' W/ G# a
    5.3  三次样条函数插值
      \; j/ k5 m( u) [. N' N2 y- O* u% r0 _5 j& w

    4 @4 T4 }$ A* R) r3 \
    % o+ P  A1 ^+ j2 m. H 3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件
    " s8 ?$ c. n  w3 A* {( y5 V% D/ I. _4 x6 l( R8 s

    + \* j% p3 }9 \$ _1 [) @9 Z/ i( N$ x. S$ W; L7 U. \

    3 z2 d* L0 T% j: Y
    & T& @  u: T3 G7 q- D" V
    6 l( w( |6 W% V! ]1 M4 m0 W5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现
    4 J, T8 ~9 [" n在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。1 T" t7 x5 }; N/ R# L
    + t3 ~' [: k3 L0 r0 ]( z
    Matlab 中三次样条插值也有现成的函数:
    + x2 i* p7 K1 i; j, s1 X' u( n' d- [y=interp1(x0,y0,x,'spline'); , c  s5 k' w0 O; }

      g5 P! t* R4 e! Dy=spline(x0,y0,x); : ]) \3 H3 d: g7 F

    . e3 T3 D* h& s7 Z. C* n6 [pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)! E" h! k0 m* x; E% I

    - F4 Z; `  I, w7 m+ V" T/ V4 {! s) w/ L' `+ ~$ Z# M

    ; Z3 Q7 `0 V% v& E1 k其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。
    # ]' h; t! C; Z- |. D3 |/ |* O4 s
    & I6 v+ y  Z/ F: wpp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。- i7 z, y* i" P& g

    ; A( J1 v( Y8 V* P5 epp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
    1 E2 D, p8 b$ s9 o, V  r  c# @1 ~
    7 I) l& I& i- g0 C3 f! n'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件
    9 k& w3 z; t' `9 g+ m, H7 ^, E% d'not-a-knot'   非扭结条件  
    0 u9 H9 T. M1 g3 O1 z'periodic'     周期条件
    3 @/ E9 a, S$ n- Z: x'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。
    + u9 H, k7 I- n/ K8 L: H7 Q'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。
    2 X& F$ j5 |! O. ?" l8 v+ P: v  H对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令
    $ P# \8 G9 ?" S9 E; K9 g! _/ Y' m$ ~
    pp=csape(x0,y0_ext,conds) 8 ]' T  H) E% T- R

    5 ^, `" h6 K( i+ V6 S. Q2 Y
    $ S! b2 R! Z+ `) w# E' D, |0 ~  }8 F0 _) r
    , o2 C+ g& w) I5 ~* l
    其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。3 e( L, w" d$ d3 \

    + H+ m; l% a/ k0 Y' D0 p0 G) Cconds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;
    * e* E. S+ C; \# a1 S! ?) }# E
    ) E9 b7 ^+ d7 }! Cconds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。4 y1 |: j" |6 h5 O
    3 B# t; o8 b4 O: H: E
    详细情况请使用帮助 help csape。
    # r) w% R. Q* G1 v# @
    $ C: i& x7 J* m7 R1 j1 N8 h: o例 1  机床加工
    5 w! c. ~" A( L! u
    / f  ~; ]' T0 A9 Q' }% G5 B8 [- p% [2 z2 c

    ! @- ^* T5 k& I6 S解  编写以下程序:
    + }0 i% W' t' C' s: |% \clc,clear
    9 `( M& f4 j3 Ox0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15]; 8 C& {# `/ s/ Z# \( Q1 n
    y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6];   j7 ^" a8 b% ], d6 C* T
    x=0:0.1:15; ! X! q6 C8 r/ k6 J% r
    y1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
    0 b& z: m6 M& {$ e% zy2=interp1(x0,y0,x); 2 R) p5 f. n) Y8 V: s3 H: s! |1 n9 x
    y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
    . G+ F, y; R- e: ]) spp1=csape(x0,y0); 5 f" e7 W  G7 _/ `. i
    y4=ppval(pp1,x);
    2 Z! q1 N9 s2 l) K* W# c2 o0 O0 app2=csape(x0,y0,'second');
    0 N% t$ q* d% S  J7 a; q7 Vy5=ppval(pp2,x); . P2 H* L$ i1 N4 N6 |# c
    fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n')
    ! G# K* r5 E, Ufprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n')
    * ^# M& e! Q  t0 T) y0 wxianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
    : U# S$ q# n0 `8 j* Gfprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
    ; \/ A6 r/ l' D8 a/ F$ q2 g& psubplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') 0 {" D4 C# r7 d
    subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') + ]) z+ v2 w3 G) b% e+ r
    subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') ) |! y1 W9 n; D! v% F2 g3 V! b  j
    subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') 9 K, d( W* G; L, @* `1 J$ |
    dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数
    ! ^6 z9 S  F5 H& [6 dytemp=y3(131:151);
    2 f3 a# {0 s+ P8 i( `index=find(ytemp==min(ytemp));
    5 D. v5 j1 Z' L% n2 X: ]- n/ i* vxymin=[x(130+index),ytemp(index)] ' V3 D$ j' ?9 j
    8 p  s& @5 ]0 q' b2 P, K. |
    计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。 3 I. N/ v, G7 i* x

    $ d5 ], p" N" \9 o4 {  J6   B 样条函数插值方法
    . i) \7 o) Y$ ~7 w; _4 ~' |* u6.1  磨光函数
    8 L/ w( x/ T: x* d' l实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。
    0 K$ x: n% I$ h5 T6 s+ m* p! d: R' V: a8 V  B

    1 Z: v- e: r1 {0 \7 T* Q
    # Q  y5 W& Z2 V* w6.2  等距 B 样条函数 : a& r/ \/ [9 M* m5 Q' q

    ( y( a0 O4 i, G! B& c$ p, H% \. d" S

    / _, s) T* D, ^& R0 t2 A
      y3 I" n! M, D3 \1 J8 Q
    . j3 D3 G4 j1 ]
    0 z# f5 E' C" D- Y$ X. D3 O2 s* S7 c
    $ V& W8 }* b- H( C" Q7 w$ H2 M0 B
    6.3  一维等距 B 样条函数插值 ( ~; s0 A5 ?9 a2 n
    等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系:   n# c0 B. V4 d1 @
    + G5 x3 S% m& G9 e$ O4 T
    , [  U" ~: ~0 k! e2 I3 u
    & ]; h, u; `8 M# n

    4 n( u6 G$ o4 {  x* g. S1 |# q9 a" f" i' Q; }# w4 M

    / H1 ?) b+ l2 V. a
    * Q! v- Q' V* ~  b1 r6.4  二维等距 B 样条函数插值 3 W1 c0 k, g0 v+ m
    8 S& ?0 E) l3 \- ]( m) r: P
    ' T; U; l4 J& K1 S5 A6 ]

    # _7 W' b  g- j9 e2 o; R7 二维插值
    0 o& v0 k7 t8 S" i8 t" b; I前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。 ) E% C- |1 h8 d6 R: y8 Z1 F/ L

    & V# \% @# h* Z7.1  插值节点为网格节点   a7 Q- a) ~% w* H+ W
    9 {1 m/ f1 A$ ~0 R0 E3 x" O

    ; k8 x; r7 p# t/ H2 i
    * p% p( d4 @: G' g2 O0 K* t7 ]Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  ( ]% U  ]: s+ ]- U, w
    ) f4 N5 b4 V5 a
      w; k# b' L" D" w4 l7 U! w
    z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') ' y& N( v  [$ U) F# L& g( y  `, M% |3 n

    - a( m5 n$ c6 l, Q8 O% T9 e6 Y8 C' L1 S( f5 l
    ' }4 j4 `2 G! ^' A6 I/ Y% r7 r
    . A9 \: ?4 h7 z. B

    + q- z& ^, `6 W& C9 x7 A% h* G7 ]7 f( K( l. `4 _; L* F
    如果是三次样条插值,可以使用命令$ `, `1 L3 k) Y$ N; _, ~
    5 A1 n( m0 g% L$ b: s, ]
    pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y}) 0 `/ V2 H. O. Y
    5 a. S8 F* B3 \5 D6 h0 {
    / _4 _# Y9 G$ `* e( B

    : h( {4 {" e& T2 Z- [8 w8 xclear,clc
    7 ^$ L" e  x$ B$ ]' j1 Kx=100:100:500; 8 F3 m$ x$ w5 i
    y=100:100:400; - @+ @# h0 l3 a& O' N& r( {
    z=[636    697    624    478   450      4 J9 n2 S6 B9 ~. w$ g
       698    712    630    478   420 / k: V& U& b8 s0 A' k8 _
       680    674    598    412   400   
    ! d# t2 F0 ?5 z- i" Y$ t! r   662    626    552    334   310]; + }: K% ^/ K/ C# [& @
    pp=csape({x,y},z')
    5 z5 I' Q; R$ zxi=100:10:500; yi=100:10:400 $ V9 w- }( G0 \6 R: I! }
    cz1=fnval(pp,{xi,yi})
    9 s$ X# E7 N3 C  K5 a4 p% }8 Mcz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') / J6 s2 e2 \6 ~) M. I; d
    [i,j]=find(cz1==max(max(cz1))) ! X3 g  @$ {3 H9 ]+ l/ H9 `' z* u/ e
    x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j) 6 b7 L3 ]7 P+ |5 V# [& L
    ! Q% ]" w3 B  p4 W5 k
      v; k- a& s% r' u* l9 ]

    9 P' u: p* v2 Y% }1 M7.2  插值节点为散乱节点

    对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:

    ' b2 {1 m% l+ G
    ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
    # f% X- H" i+ J& D) x
    6 n0 S7 x' D5 \+ ]2 f/ {. {5 t( y% K
    7 g/ S9 Y& h0 b: f3 v
    6 L7 B5 `8 j2 @( n8 {
    9 d4 D% O: A9 f" g' y% T7 h* \

    & d  @8 s, E# d0 B) Z4 X' W& n! t9 j; h1 c/ s" w& d6 _9 T. k
    例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。 5 s6 p3 a; _8 ^, U( J

    + F/ V) S7 t, S
      h: r. c6 O9 r5 ], X4 \, A* i- P' j* o
    解  编写程序如下: : f0 u# W  A; K. {% n$ A- n  ]4 F

    ( G2 k; x' i" [7 v2 Dx=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5];
    4 w. |- C& q: X  I8 R1 X9 n4 ]) k: i9 j4 Ey=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5]; . i4 ~3 ^" x5 O! A' _9 T
    z=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9];
    7 }* {0 {* g" d# g. j" I. |+ pxi=75:1:200;
    3 F$ t8 n# y( W/ o7 Pyi=-50:1:150;
      c3 x5 H, n* w# L' |5 Fzi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')
    ' y- X5 B8 P8 D# ]( C5 H7 G: rsubplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
    ( t4 f+ Y$ w$ O2 Msubplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)
    % m( Q; Q1 B6 r: [) m# k' C- e* d( n8 ^" {9 J

    % U4 x6 b& h- l" @+ K习题
    . Q# i; ?! P$ B5 A  w, c% I* {& M9 `, N; G# Z7 {2 W2 c

    $ U+ P' a$ z% w8 b( j5 Y
    . m& x# @2 n0 S. ]2 Y9 Z- |2 K7 L8 d& `; K, [( F1 g
    ————————————————( O# X+ K5 v/ F( T
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    6 @% }1 J: H9 T原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89504179
    ; M7 \3 U$ Q, P# s% c! K' d9 b3 l' ]) T! L/ u5 H7 X5 C4 Q
    % n, C2 A- H( ]
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-4-14 20:21 , Processed in 1.453428 second(s), 51 queries .

    回顶部