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[建模教程] 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...

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    发表于 2020-6-2 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
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    1  拉格朗日多项式插值
    8 H1 n- k* h! x# f1.1  插值多项式 8 c+ b$ Q  I0 Y' L

    * I# c+ n+ O9 r" k0 T4 x# {4 K
    ' b5 o6 A" e' e( B+ C, G( \# h( @: b, y/ P4 L/ Z
    范德蒙特(Vandermonde)行列式
    - q4 i5 e" h* q% W' S4 y/ G0 P* s; V8 u
    0 H2 X, Y) o: B+ z$ N

      a9 u5 [" X1 Z7 m/ h截断误差 / 插值余项
    9 [! |; i  G6 h8 Z4 n7 ?/ |" J" s

    2 v9 [, o  c7 C
    - Q5 ~+ \+ ?9 Z' |* ~6 x
    ) H/ N; y, [  G1.2  拉格朗日插值多项式 ' c3 O: R) F# W  P1 Y% I" X

    1 f0 X5 U* P2 Y0 n  `. ?0 M7 w5 [
    ' l5 e9 H6 D+ ^& H; j! A+ ?- A
    1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值
    ( C8 H7 c4 A' nMatlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:
    ' Y% t, W/ p8 H2 k
    ( i# u0 H% R- I0 Hfunction y=lagrange(x0,y0,x); : w% f' _8 T3 ?2 o1 N; Q2 X
    n=length(x0);m=length(x);
      Z+ s0 r0 T0 v' G+ h% u$ Bfor i=1:m    ; r% F# W3 v2 B2 F, [  B& u, h& g
        z=x(i);   
    + _  Z/ H- j" _( n+ w    s=0.0;   
    4 `/ T% P: N, E/ I# K5 Y0 ?) a    for k=1:n      
    5 }& m/ r0 w& h. y" v3 r        p=1.0;      
    + h+ U& S) C9 Z! H: r        for j=1:n          3 v0 y+ I! ?0 L1 @, B1 C( G3 M
                if j~=k            
    5 a  t8 W: U9 Y# M                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));          , K, U$ G/ a9 L" K) L6 m
                end      
    . X* d# ?) [+ y1 M5 `: z9 G$ ~        end      
    . W" g4 |$ o( ?7 w    s=p*y0(k)+s;    % }" p- r# ~9 y/ B: s. j
        end   
    * {# ~1 \; A2 \9 X) Iy(i)=s; 8 D% L; B% ^& y
    end   }) R3 F7 M2 e0 z5 \+ u

    # {$ q  V4 N4 o. ]* Q2  牛顿(Newton)插值
    9 J  a% g: l6 ~+ Z; C在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。+ w9 M% P. c& I* s; A, x; ?
    " h; E  Z% S# e5 D' k# N/ [& }0 {
    2.1 差商 : 定义与性质7 N4 @( V$ H& g- o* s9 C
    & }" F% I& o1 k+ P3 b6 `

      w1 E9 W/ A9 G" E/ D, v
    ! ~+ `5 x& W2 H  _" y) x" y2 d" D6 F2.2  Newton 插值公式
    0 E& _5 F# ?* N. V  X( S
    4 @- _: R& {  C6 K
    ' G' I; y, a& `: P9 N# \4 X) ^# c9 q
    " f; P) V& K/ H- ?/ ~
    Newton 插值的优点
    1 Q6 h% T4 I$ O8 \+ P! e% m/ K6 f3 d0 L& l
    & P) a4 U" ]' |" n( V- E
    # O0 `! F: c; T/ F0 D3 t
    + h2 F5 B- e, Y( ]. Z% ?! C6 O
    差商与导数的关系
    6 X6 m& ^9 B& z* k% i
    ( @, y5 `$ r+ y8 B. Q# M8 ?! i9 {/ d, u0 u; W

    . T& \% H; X' j7 D5 ?1 \# k2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分
    - l1 ^0 G$ R1 R当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。
    % l7 q% ~, h& v6 X; U& O& O7 U" w0 F9 S) ^! x- Q

    - R' `1 Y$ _( ?) d) e
    2 x- v7 Z7 I7 c; S: ~) R0 N6 O/ O* o
    ' u7 `+ \4 m- h6 i' m6 }
    差分的两个性质& n* X) R+ I8 v
    (i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如 7 x+ C. d, z4 ~
    9 I. @' a; D* c# M: x7 a  |
    6 R( w0 w! Y' P0 J. M, F, j) f
    ( Q/ s* [) c& M/ Y: b. N
    (ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下:
    ) J! i$ j% H/ z9 M8 g
    / t/ j. n0 U& e, l5 ^% W( _8 I' `$ ^6 g5 E5 C
    ( K' ^$ w0 Y2 y+ x# E
    2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式
    - @2 g% O0 w$ K6 _! d+ l
    - X# {$ B% }6 d$ y
    8 o& X8 r5 t- o# r
    ( X3 {" L8 ~, [6 o* z3  分段线性插值 : Z# N- M3 X  g+ i- G3 s4 B- z9 k* {
    3.1  插值多项式的振荡 * i: y9 k& u0 L) A& O- V7 q

    8 T% \7 v: ^* E/ f; S& x# R. T' f* M% }7 p# y7 A% \1 ]7 H
      M! I6 N1 K% Z- ~
    , F2 A* F" p' h4 ?* J" i3 }
    高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
    4 x9 ?' i! i3 _5 w3 M& {
    ) q( C5 D: x4 f; k  a3 y+ \0 u2 b& P% y  t3.2  分段线性插值 3 w% ]+ S4 g, {. _1 m) e3 C/ m

    1 u& @1 L  q* G- r. h. ^7 \" t2 I) ~7 u3 u0 D

    , T6 z% _0 W, y
    ; q  n: p2 i) X- d
    1 b4 w# F5 e6 A0 T- y9 R! q$ E% q4 ]8 H. `
    用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 7 s& ?2 S8 }1 S5 l6 b1 c! E
    * s" P0 e# O3 D7 s$ r- H+ V) l) l
    3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 7 Y' e& [! |  u& e  z
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。3 i4 Y5 R, Z5 A$ S7 l! r
    ; D$ S+ Y; B/ G- S- y
    y=interp1(x0,y0,x,'method') # x- s7 T# A2 h( z! e
    " I/ a0 `# o  ~' H& I/ |$ N) s
    method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    * B% T) T4 O& Y# I* F" K! H0 ]
    2 L7 p( ~1 X, x3 m1 t'nearest'   最近项插值% c8 a1 h1 g7 T' b$ Z, a% `% R
    / V: p, l$ [* x
    'linear'    线性插值
    ' [+ \/ F6 e: D, b
    ( @- E0 F) `2 M4 ?/ l* i# s'spline'    逐段 3 次样条插值
    5 G% P. B7 s: D7 Z' X* Q% s& L0 b! V, S6 F  ^$ |+ t* J8 I) `% N
    'cubic'    保凹凸性 3 次插值" i- R+ s# C& K0 L
    0 v" L6 Q2 Z& _' u/ o7 K7 c& n3 S" \
    所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。2 o% ~# x" @4 _

    7 }1 c5 z) Z) v3 H# W" B$ x% c4 g4  埃尔米特(Hermite)插值 ) k: K* k0 g/ Q! ^5 R
    4.1  Hermite 插值多项式
    0 F3 K' U- E) I如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 1 Y# n/ @" K+ t3 @0 E

    / T  r" J7 A7 g6 F& T1 _2 Y7 T3 |3 @/ w: \
    ! }' u1 v% T, ^% }5 W# @

    7 I0 Y2 C  }' ?+ y6 q1 p6 h! T
    $ e' D9 H& L  d6 f9 ^% W& ]) @$ l' Q8 W4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值 1 W1 k% P) h) ]& s, a" U' e1 U' ?. `7 X
    Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。
    0 k3 z1 G$ I) w+ `! w1 q5 r1 y
    % r) P7 H; P8 a( f) d  _& H5 Kfunction y=hermite(x0,y0,y1,x);
    + _' X+ V, r3 Jn=length(x0);m=length(x);
    3 B. A  t' _! E8 k) f$ ~5 c* x. ifor k=1:m   
    . j  a- Y8 ?+ K* Y( Q1 Q2 |/ I. a* y% U    yy=0.0;   
    % y7 i3 T( e- s1 M! [    for i=1:n      
    ( P+ O" ~/ V( B4 B        h=1.0;       7 h' {3 }; K, w6 X
            a=0.0;      
    ; [  n) R2 ~; I+ P+ ~0 q5 k2 P        for j=1:n         
    $ ~+ Y! Q& J" J* H7 C            if j~=i             / k/ x: m6 p: Q; |  h, G
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;            
    , V) D) @$ S0 S$ I  k                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
    0 m9 l$ g7 p0 n  ^  w; A0 O$ Y            end       ( P# v4 |, h2 O4 [. x& N! D
            end       ) I/ R9 z: `# U
            yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));      F' Q8 p4 U2 m* H
        end    . c1 o! S$ d& D( b2 U4 \; S- r
        y(k)=yy;
    / T+ {8 l+ f! X! l( Rend
    $ c9 j& i4 e. C- H0 }6 X  J3 P5 g* f# g! F4 X
    % H4 C3 E' S4 @
    2 n/ _* n* Z0 w8 `: b

    3 @" K/ `( t; G( M
    0 _2 O5 m# P1 e+ Z4 s! ~5  样条插值! H# P+ [0 ?( H  C; e7 N- t
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    " J- h, t1 Z# W" q/ h! V% I2 E! ~: L* n. R& W
    5.1  样条函数的概念
    ( y9 X( |/ d1 x) B# T
    2 ^- W% M/ f% Q1 S9 [4 K所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。
    2 O$ K! n/ D  m* R$ N0 ^1 n' s
        内节点 、边界点、k 次样条函数空间* g) g9 R! K7 l; v) D

    ( D+ h7 G+ n: h4 s: t/ ^; F' _' ^! _0 n, @8 g9 y
    4 M7 B. [! L7 ?" `+ n9 {% C+ C* o
    8 u% {. s/ E# t. @; U$ U

    9 R4 H& y1 g9 Q* n0 F7 Y, L: F9 d5 |# M* `+ u5 v  w; u: {
    二次样条函数* N4 H- e2 ]/ t. y! P0 G

    5 c, J1 S/ t3 u
    ; n: H1 j# W6 r* b* D) S1 a+ T3 \1 w+ G; F% \" b  w$ ]
    三次样条函数
    & t5 A& |+ ^. a7 |% V
    ) H% u7 P  e3 ^
    ' k) P/ I9 V" t
    9 W9 A! I5 f0 ~5 j# O1 t" x2 B' V利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  9 K& o7 c# \- W/ B3 w+ r- x* L

    - a/ _. I# o/ C" z5.2  二次样条函数插值  # v7 m; Q0 B0 P
    两类问题
    , v# r/ y- k# V1 g) y, |4 V3 y# F
    % k& q( D/ T4 P6 ^, P* n: r2 j' P4 B5 y1 a

    ! h  f- w, v) a证明这两类插值问题都是唯一可解的
    % ?4 x9 @' M+ W' y. F( S2 I4 ?- R) E2 \! g  A2 r0 ]! k+ O

    4 P* X# ~6 }2 J5 N. |* O% q( w  u" m  W# ?6 X1 C
    5.3  三次样条函数插值
    8 E0 r7 w1 m1 L: ^5 p+ j2 g! |) i  a2 t

    3 t6 O2 s5 x+ t5 V$ C( O
      G3 I0 u# y# U$ Y' K: M" P 3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件 9 L. O6 V5 T! k5 u9 [. G1 Y  D
    " [4 N* m8 o3 Q4 x! O2 K3 d
    , I" Z! M' \1 K  Z
    9 }) ^3 b) h4 a+ Z% @4 y" S+ P
    3 ?2 G3 R# b5 B
    2 v% b) J- l$ g
    , R# ]. P0 i3 I0 V+ ?
    5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现
    $ X# {( l# g7 S! b7 T. n$ `在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。
    % [0 ^1 d% b$ @- O) n
    4 m( L$ K( K- R' w$ ~Matlab 中三次样条插值也有现成的函数:
    * n8 z) J3 C/ w  K2 d) W* xy=interp1(x0,y0,x,'spline');
    ! ]- s! P' J' V, Z: m: x* L& ~, ^% |( C# g
    y=spline(x0,y0,x);
    / l5 {: r' N+ x7 @5 [
    9 {$ `  P" V) s% C8 zpp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x); ]' r! ?( M1 Z. y8 {- {
    3 z+ a! ~5 V2 ?8 [: _5 K
    & z0 s! v1 g' X& o0 v
    0 T8 a4 I' g. @+ C0 Z0 m
    其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。
    $ N# |" I3 I! g1 Y& O
    : K$ \& o0 c& }5 Y$ M9 r& ~pp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。
    8 D. k' A! q! E4 w- o' R9 h
    ( V) n3 a9 e) L: z( Gpp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
    7 \7 e5 k0 h, V5 h7 J0 e: `/ }: I# ^
    'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件
    ) a. T/ n6 L8 d5 [8 j$ ^'not-a-knot'   非扭结条件  
    6 e2 l' D" `% J" V' }4 l'periodic'     周期条件
    ) O# a1 H- [0 s4 u- t2 w4 V. L; D! h'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。
    : h/ ~9 |4 k: Z" o* a* V'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。
    - }* I6 ~/ h1 t对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令4 Y6 C# Q/ j' }  z

    . G* l5 S# n& u! y; Jpp=csape(x0,y0_ext,conds)
    1 \, S+ w# n9 h- {& m
    0 m1 X9 i9 {  @/ m- d2 g/ o, X1 Z% W! M( O& n' M+ ^
    0 x* n9 _  ]$ e& b

    ! {( A# l9 s* w- E9 Q- U+ c其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。; U$ ^! K6 i8 Y' G# L
    % k/ ]2 z+ s- h+ e8 o! t5 L
    conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;, v! g* }( k1 Z% d

    ; q2 X4 t- a/ x( [conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。
    2 @4 a! m. v) L; n: M, d9 s( X2 _( R: k/ y" Z2 ~2 x  G; j
    详细情况请使用帮助 help csape。
    6 E! f5 z: \& v) M+ N- [* ^* j. C4 p* M0 h/ C) V* D! k
    例 1  机床加工
    7 ~7 f! S% t) T% x) s
    4 j9 Z/ ^! \3 H2 y$ U: ~
    9 `& t& ~- {6 O) m' X" ~
    . M  b' Q0 R3 e( X5 i9 q& m解  编写以下程序:
    ( T- Z- j9 ?7 p) \+ y4 S! t3 Vclc,clear
    - j) i$ @& r% q9 u$ mx0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15]; / p8 z: P, k5 P& K
    y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6]; 4 w; d, P# Z4 z) p2 R/ i/ y
    x=0:0.1:15;
    6 F  g8 h, D9 }8 ^3 |2 R; Gy1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
      F: l2 Q% h$ Z, Ly2=interp1(x0,y0,x); , r& n6 \9 P" j$ _2 ^
    y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); 1 v: X6 S% `5 Z7 V0 }! B% q2 _
    pp1=csape(x0,y0);
    + M' c& s) e6 m' V; d/ Vy4=ppval(pp1,x); 8 P1 K3 a* T* Q+ U) l8 }9 O& |! v
    pp2=csape(x0,y0,'second'); 4 r7 D3 d0 ~3 t" C+ Z+ i' v
    y5=ppval(pp2,x); % {  q6 Y. |) e! ?9 @* t7 S- W
    fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') 2 ?! X/ W  B/ C" Q/ \# ?
    fprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n') 7 m1 X4 ]: [) N7 [, _
    xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
    8 N# R2 m5 ^* [6 @# E+ x' I% v  kfprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
    ) O% n3 X. h' z6 e% |  u/ tsubplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') - s) _! y4 K/ ?5 t# j
    subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') 6 [. p+ f' ]) @6 h  i5 Y0 x' b
    subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')
    * x& [( t' v- j* r+ b6 Rsubplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') # l% I- Z$ B6 R
    dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数
    0 o* k3 X# B- I- \  ]% b4 bytemp=y3(131:151);
    ( D% v9 y6 E; p# zindex=find(ytemp==min(ytemp));
    + K/ |( z7 Y. b8 k- Qxymin=[x(130+index),ytemp(index)]
    ; r$ d' n, T. G( {' f1 b4 }1 @# K. {  N0 v/ I# H$ r6 l
    计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。   y2 v- b/ y  Q: c6 x
    4 v( |; _4 D  s( ]
    6   B 样条函数插值方法
    " q+ ?2 h  i7 E0 r2 \" x6.1  磨光函数 & R9 {; W$ K( v" [& L: o" N- t! [
    实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。
    7 _9 J' h+ a$ K0 V4 X. ~* o9 v! u9 O! ]0 F
    ) J2 Z# i0 s* Y/ B9 @2 ?" N+ d2 \4 t) z9 _

    1 ]% u  `+ l( K* @' i7 N4 u* ~$ Q6.2  等距 B 样条函数
    1 ]8 \3 @( A0 A5 O4 ^! d7 u% ~% C" ?3 K% I7 V3 o7 i
    * @( }) w# s5 @1 y- ~% M

    , P. l" ?" }5 G, w# `' ~9 `$ K, T5 X% c& l9 x0 `0 S, \) C% I2 p
      Z" l( k. N- `+ g/ [" q  Q( v; x
    " h+ p" W$ c$ y" \
    2 `/ G* y) ]) A5 [0 n
    7 a0 ?. g7 P, P
    6.3  一维等距 B 样条函数插值
    & }- I, E  L: W/ n等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系: 5 H* U- y8 w; u* p% K
    ( @% ~) c( m4 B9 X

    4 {& }% m1 X& P7 |! g! A- w) }
    ' e1 m6 T3 o! M) K' d: n6 `0 R  S7 b0 ~6 @$ p: w
    3 }6 |8 ^9 m" R- V
    6 i* I3 v! j- F4 b; m
    ( q* a, m- H# B' O& c( D, \
    6.4  二维等距 B 样条函数插值 ' O! `8 a/ m, o
    % h% ?* F5 v2 s4 n
    5 u( \0 P8 X' F: V' S1 b
    , d0 m7 I% w  F5 K- ~
    7 二维插值
    " a8 H3 O4 \( w- d, k前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。 # _. d% h% @. W- W

    3 I! x- _1 S# {7.1  插值节点为网格节点 $ z+ U: K% ~4 O/ c

    4 E" j$ w5 k! V$ b8 ~) s
    $ a( h+ S5 N1 A. c9 p0 C$ Y% B) n" w8 X, j* [& ?/ q1 z2 ?8 m
    Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  " X4 J! M9 G$ l4 N9 u3 ^
    " A+ y4 M. I/ \

    9 R; r9 Z6 J' cz=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') 3 [+ ]) K2 C" |/ P- H
    # U; `4 Z7 q2 Z4 D; u

    + |1 N/ a" B8 g$ p' C; T6 n' |
    9 n0 x1 ~8 n. d
    8 a- L5 K% s! H3 h* `# c: [# u7 i; Y: U1 P

    9 n5 d( T0 j, H0 @. x如果是三次样条插值,可以使用命令
    ' n5 ]1 P, m5 c! O* E( u  r1 F! P1 Q
    pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y}) ; M5 D$ t( N- ^$ ~" J
    ( c' q( A2 ~: b

    2 F7 a. y/ M. l- P+ G1 c# ?
    0 V1 n: q" f. T- yclear,clc
    + q6 p& T9 j* G4 @3 F$ ]3 qx=100:100:500;
    # r. }& k$ L2 G) Hy=100:100:400; 8 |. \/ }" I& e8 D% Z! n+ p. I2 c
    z=[636    697    624    478   450      8 M" z% E& U# C0 B
       698    712    630    478   420
    8 }! m& x. ]9 y% ]7 D2 _: d- P& h   680    674    598    412   400    ! Z1 h8 |5 g1 t  p! i  h6 a# w% H
       662    626    552    334   310];
    ; a7 o, }4 V9 A% f( R/ z& l" gpp=csape({x,y},z')
    0 u5 `3 g7 i7 x/ oxi=100:10:500; yi=100:10:400
    0 ^6 h$ S$ a: O4 X1 r8 K, hcz1=fnval(pp,{xi,yi})
    ! {+ n/ y5 H$ X" K! Ocz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') 5 m  k& r. ^, b9 `
    [i,j]=find(cz1==max(max(cz1)))
    $ @! a8 [0 ^! R0 O. Qx=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)
    ; f1 c% r# x4 B; a
    # F$ r7 i' Y& i- ^. }9 P$ t/ h" {' P3 j* X2 n  n/ J
    / [' I) S0 y# N6 C3 G4 q* ^$ G
    7.2  插值节点为散乱节点

    对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:

    2 I- [5 }  j, _, l2 r
    ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI) ! l4 b/ P; ]& e7 g; a
    . Z! h3 M) ]) I* Y

    . l1 r$ u3 ?: ~" X0 b& S( i0 n8 m
    6 ~5 a) [8 r# O; x0 _, x' ~/ ]! Q1 r0 R' s3 o  U1 W2 e

    % F8 f: j* E+ O4 V
    + L  Y+ B8 A" R( x2 [3 L* I% r/ I) v1 P, O7 ]0 X& t6 r, k
    例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。 ) A- e- K' Z; u; }7 h

    & V, k5 }' m. `
    * F) d3 L$ j$ k; w4 m4 E
    # i- L8 c/ ~3 z3 ]5 H  [解  编写程序如下: . C  s2 A9 O6 I' F+ z* W) G& ^

    / s" T% `5 h8 |x=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5];
    ' a8 ~! I! g7 g9 t0 {7 J; gy=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5]; 5 o3 d* H- v! @3 m
    z=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9];
    . R3 l( s7 M1 A! R* {7 k4 C5 axi=75:1:200;
    , B; |  s$ \% K! X8 S1 M# z) Ryi=-50:1:150;
    8 v7 H: d6 K* Z3 _" O& L" ~zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') ! m0 M4 }0 p- \
    subplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
    ; U$ b7 f" B0 R) Y$ T& [/ dsubplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)
    . V2 J% {! N% B. `: g# p# U
    ! G# o  s0 \2 a. l" z
    + c7 i0 Y* m+ d0 Y2 `! [习题
    ; ?0 `; \" p: n" [+ q
    1 k: W, k0 m  G0 f4 u( Q. O7 J3 w

    7 z4 ~% d8 ?4 S2 f- ]* {$ V+ ^. I. ]& H/ M: X9 I! r
    ————————————————
    ! o* d% w. o* P8 X2 w' {9 \版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    ( e6 H* e! G2 M+ [$ r9 ~; ~原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/895041794 o- p/ D( U4 E6 n: K. A: m
    0 A6 l5 W% H4 L" ^8 w1 v8 |/ [7 m8 W
    7 X0 T- K# G9 N
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