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[建模教程] 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...

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    发表于 2020-6-2 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
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    1  拉格朗日多项式插值 : A# p8 t. w- i' q, a6 R
    1.1  插值多项式
    9 s5 X- i; f( ~- z. r5 }8 J5 }, r, Z* ?9 r

    4 `3 L: V8 }4 [* O( w: C- G/ h7 U$ R' J' A( F
    范德蒙特(Vandermonde)行列式
    # ]) `" K  m  ?5 H
    5 p5 B8 Z0 i2 Z7 f/ T9 k; A( Q: ^4 e6 o- G+ e0 ~0 p. r
    6 h) c/ h. g7 r- p
    截断误差 / 插值余项8 v( I3 f- L* c/ h7 N/ w
    6 P- a- l' i, S
    4 y0 n7 h( {8 ]0 T$ S% j0 J/ B

    ! M  ]" p( f2 Z, M0 A! A8 h& l# f5 y3 u
    1.2  拉格朗日插值多项式
      M8 w4 G" @( K) U9 m4 U! h" D2 u7 D/ o6 n$ b% U6 n" S! v5 s

    0 |1 a/ ?9 O3 B' J
    ( ~# K- K, Y' W& \1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值
    ) c2 C0 Q6 P9 k9 }6 W3 tMatlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:
    1 z0 C4 @* `( Q! G
    " o3 _: w& l/ o/ q0 T3 J6 d1 `function y=lagrange(x0,y0,x); 4 N% l7 c( y, {+ q$ k- F5 `4 A
    n=length(x0);m=length(x); ' [7 o! k, j+ Q. I  Q9 F
    for i=1:m   
    - M8 H9 ]% T5 }    z=x(i);   
    9 l: {- j+ n' U5 K  O2 \    s=0.0;   
    # a& ~9 P( A( z: E    for k=1:n       9 i" h, ]- W3 R) E- V
            p=1.0;       2 H; X2 D# }- ]0 j2 b, t9 [
            for j=1:n          2 k1 b" M% K: P  H$ _- p7 N
                if j~=k            
    5 s' r( P2 B9 b+ F$ [                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));         
    , j. o5 |% G  R# j- a. s            end       0 h& Y0 A' n2 ]; y/ Y
            end       + q! t) V' w& A" F5 u( r% Y
        s=p*y0(k)+s;   
    2 \% |( q( d! j7 ?/ N1 a. D    end   
    0 R- a* u' `. J5 Q9 xy(i)=s; # \7 h' d, q& Y
    end : Y  V' j( n' `# n; n
    , `/ i5 r: v# b+ }" f
    2  牛顿(Newton)插值
    . S( \: [9 s1 l# o0 _+ i在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。
    9 C8 @+ U: i/ }# o. b: ]
    # s% V# h) v9 }8 ^- X0 J: S 2.1 差商 : 定义与性质
    9 Z6 A+ u0 s! i+ k; Z: w
    4 }( ?  ?  s: i$ z& q7 C( f& E: t9 `2 Q' L8 K
    ) Q  c4 N- |& u
    2.2  Newton 插值公式
    . D. `4 G  S3 a( y( F
    6 Z- j; b3 t2 V% x
    4 i" i+ H& H) W- ?. S; u0 u
    : ]* Q, M8 Q+ U3 }9 a8 T' E* O- D. m: S
    Newton 插值的优点
    + g& n- ^  W& r0 A: j, R; \% D9 j/ C: S7 z# C

    ) M$ m7 _: T/ n9 w, N% O" B
    . s( f2 J1 N6 C. e! O" T; G
    5 w. W9 u$ Y* Z差商与导数的关系 4 u+ l( B( {3 G4 ?/ F
    ( s  B. X( p1 G% n  h

    9 H7 f. g/ E, o( e2 r4 `' y- R4 [* k8 Y5 A( k, |1 H5 \
    2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分
    8 H/ b2 Z7 B  z, k! X5 [当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。  _; ^- z8 @2 A  O
    3 ]6 h" B6 m: U6 d5 }( ~  p$ q

    # D. P4 z9 M. r# D0 i! k. }5 s9 M

    8 Z! g6 ?& l6 ^* F9 a
    1 u9 m  @# k0 d" l. `差分的两个性质
    ! [- I( Y) Z& `- w$ P7 F(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如
    ) C- ~. u2 h: T9 F2 {- A& I
    . u9 O  I) \% k1 l4 S
    . |/ @6 b8 Z- d/ o: {2 c$ T0 Z
    ! _3 L3 [8 m/ P  @4 g  p) j! a(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下:
    " _) [2 j7 ?+ N. X; d5 e3 K5 f! @0 P9 V
      h; X. }) J. n2 B# r$ m3 y! C  I, A- {1 T' Y! v( s+ p. a% ]

    4 z' Z2 w' D+ g& r- o( x2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式
    * f  L6 V' V0 n  G  ]1 j$ O3 @( u) W0 z, B2 R# j: a2 a8 p
    - {; \. v& |' C9 P8 h
    9 E. X  Z7 S% K# k$ b
    3  分段线性插值 7 S# n, O) S9 O6 E* h$ f/ Q* Q
    3.1  插值多项式的振荡
    " y3 P) f$ K! d% E) ~" b/ T3 D0 ]+ Z5 H. @& k( S3 L

    / ~4 v, s$ T; I6 `/ b% ?
    2 Y7 A# z8 X3 s' y, d* h
    ; u- \, c: p; C5 e( F高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。 ( B% Q, r" O5 r* I: W% [
    - G; r% ]1 A4 i4 g
    3.2  分段线性插值 + R# L4 u! g8 ^1 `* l1 Q% {3 X7 F

    ( k2 e% q; u7 u3 F% w. ~$ E* s
    + {6 S* `% M, o' g) k0 u4 Y( r' B) X1 O4 n, ?8 k$ d+ f0 |. I, d
      o, X" m0 `5 ?: l; b4 Z

      K- V& r8 j; @; |* {- S9 N2 z3 ~: I  W
    用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 4 D1 L* K' @( s! S

    3 D9 w, w" g7 X: \6 y; ~* P( J3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 3 d+ }! p2 X) @. S
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。7 U- P. J$ ^3 }3 `1 y# [

    0 Y2 ?! h1 ~: r' O; gy=interp1(x0,y0,x,'method')
    ) Y8 S2 ]4 S: d! J, Q& J
    4 X, v( G* F* J4 P3 ^method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    2 ]. P6 m" l/ C0 v% y; m
    . v* z* I/ p* H+ Q# q! l# L/ c$ A'nearest'   最近项插值
    ' v5 z6 z% J/ L6 y' E- Z" R6 H1 b
    'linear'    线性插值
    5 }( d! _8 ~/ c1 J5 j" w% r
    ; p+ u6 R4 I/ \9 _: b$ {'spline'    逐段 3 次样条插值! Y0 A  V$ U: a" t! k2 B4 m6 K0 C

    8 M9 }2 S4 t! m'cubic'    保凹凸性 3 次插值
    / A" }) V" L9 L5 n
    6 Z/ h$ N7 Y8 n, Q 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。
    . f, i3 r/ e4 D8 i. P: u/ a: i& ^0 ~8 a9 z$ O/ o3 X
    4  埃尔米特(Hermite)插值
    + o& f' M8 v; F  N7 V: f$ P, J4.1  Hermite 插值多项式
    . o: w' N3 _: n如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。
    , R' l" P8 \5 o$ `. I
    7 E; D, T7 N$ R  @) o
    6 ^0 g4 @" U& k. f
    3 H) G3 i  X' E$ N# D. l. d2 Q5 E0 x" G9 ^( d9 Q
    & e4 o6 t. |3 }
    4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值
    ) J# p5 {+ z% @0 u. p3 Y5 ~Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。 0 c. |* @/ z+ F6 w7 V

    3 |( k/ I8 }* e2 Vfunction y=hermite(x0,y0,y1,x);
    2 a; ^$ ]4 Q! J4 {' e! En=length(x0);m=length(x);
    ) \% v- ~) _, jfor k=1:m   
    * `2 |5 A' [+ h4 s# g% J, C    yy=0.0;   
    6 W3 c0 ~6 G$ P8 k3 x    for i=1:n       ' C; b7 C" E# f- z$ Q$ b9 T
            h=1.0;       : Z6 c+ W8 P3 ]5 R: h: \4 Y6 A
            a=0.0;       . `/ Z5 e0 G! t0 F% A# ]0 P
            for j=1:n            m( \' M" S5 E, h, z" `  K
                if j~=i            
    : E8 J3 n3 c( a: m  s5 O                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;            
    0 {: M+ R  G6 L6 L                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
    ! k% H. W7 \: a2 b9 i+ ~+ T  ^            end      
    ' F: `. E- V9 l8 R# K2 R        end      
    5 Y2 n! z, p( |' }) S5 A) V3 y        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));    . H( A  x! Q1 `( Z
        end   
      e' N0 b% \: y% f% ?9 U! B  J8 h% C    y(k)=yy;
    5 m4 N+ j( r5 W0 y. V' W- xend , U5 t. o. s: f( e' H: E$ {, g
    - |/ w1 n1 C: u1 X) s% s

    / g7 K- ]& L: n6 Z) ]8 @0 b
    7 k2 ~1 S1 @6 z
    + C6 d4 E+ _4 m( P
    ! T2 E" |) Y  [6 v9 P5  样条插值9 \! ~, X5 ?7 A. w' Y' g1 [1 b
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    1 W! `; o9 k. x/ Y3 F7 ^2 _' \& Z+ G& j! u8 R2 h
    5.1  样条函数的概念
    5 G2 Z% J( K. d7 h0 u0 V2 N' k! A
    所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。 6 t/ A8 I9 C& B& R

    6 J, {- E5 d/ O' ]# }- P- e7 b    内节点 、边界点、k 次样条函数空间
    3 |& j1 i  i! X( b" J' B
    - h/ m6 U* k4 w# l' f  W7 A/ ~3 B; r+ h# @$ ^, P

    ( p) ?  p5 R* U+ @3 T& u' R
    0 R% |0 e4 c7 L( Z9 d$ K$ G* _" ]$ V' e7 k

    + C, t$ g( p9 t6 H9 `( |二次样条函数/ g- E$ _. s4 B- `% w

      G$ p$ q- ^; B7 t4 e, i2 {4 w7 p5 D2 m* }1 j8 e: E

    9 F: i6 V: S/ P- @三次样条函数
    ! U  ~: O" S+ X6 k% T, K. v4 K# P2 A$ B9 w. ?

    9 T+ }* V& ^3 F0 L+ _' v, c
    ( @& [9 x  {6 i利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  ; g( ~+ ^# B* a4 O. D

    * F0 q+ P2 L0 A$ D) d9 |) f) ^9 p5.2  二次样条函数插值  
    - o: F' f4 O$ f$ x9 i) W& a9 z两类问题
    7 o: @/ H0 a9 I3 }6 u& k& z' A  n; a+ `. B9 C% r5 |6 h& J
    5 Z* V0 I: M& z$ |& }7 x

    0 |$ M2 o2 |. x  I证明这两类插值问题都是唯一可解的
    % e( F  \- s7 `5 P$ R: |4 |; a9 ^, y1 W2 r/ @4 L4 b1 w2 n

    $ P: p# `. ?" c
    , _3 X+ K  r$ e6 z5.3  三次样条函数插值 , d6 A6 u# ^" c: W7 G5 e6 b( V: N
    2 G' m4 R2 l0 H3 p6 @
    5 Y3 M  ]# `7 J' d* V8 R4 f; |# Z
    " o/ C9 V4 B' d& N
    3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件 $ S" p, Y( J2 v( m) T7 f2 O" I1 F

    ' Q; V! J( g- |) u5 J) u1 |' n: y# V/ Z% J2 c/ I

    ' D) W) d2 l7 I1 o. g6 g
    8 u/ r& Z/ S1 d& _2 m+ x  E2 w( b% t" {/ J

    ' d" W7 Z+ E; p# y& S- O5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现 # ?) j! x! i2 I1 {
    在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。6 h0 Z" {+ g+ M5 q0 h. [+ c

    ; f  ]9 V" D) j# U( N" U3 qMatlab 中三次样条插值也有现成的函数:
    4 L1 W! h4 Q0 r' Q9 Ey=interp1(x0,y0,x,'spline'); " E* u$ I, J' s/ q7 B3 q$ I  B

    $ _* j) f! E0 xy=spline(x0,y0,x); . P/ Z/ z% a+ {0 Y  a
    8 {2 \7 F) d; O8 p, H
    pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)+ D5 [( j0 Y! x2 j* m( Z1 c+ t
    2 ^0 s3 n  c0 d2 n( I3 R
    1 p! |0 Q; E9 j) G1 t7 f
    : {, D1 M4 M1 t! C
    其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。: @1 Q  h# T2 K' w0 [$ N

    , O" @" h, Z/ K3 l/ X# @- Ppp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。
    9 _3 J5 H' L8 s- _; y" \8 L
    & I2 I+ K7 q8 U6 ipp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
    # I1 q9 Q$ R# n2 V/ H' F
    5 ?! Y" N5 [, Z5 ['complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件1 t1 k5 f$ r  u( F0 _1 F5 i
    'not-a-knot'   非扭结条件  $ x: j0 c( i4 c8 e' r
    'periodic'     周期条件
    . D; U- p( K- \6 F" y+ ~1 Q4 y! R'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。+ I8 ~5 P! V' ]/ r
    'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。4 @7 I9 D- @: G; S
    对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令8 Z: b6 R! ?: G2 o
    0 o- s+ l' w' H/ Q% l2 \
    pp=csape(x0,y0_ext,conds)
    + I8 Z% K7 h' R* N; i
    3 e  N4 e; k4 O; B$ d
    + u* @4 x  m: ^8 M2 d
    0 p6 a7 j0 }" J
    ' o. p+ g, H8 ?1 I1 L' o其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。; ?2 ~4 M) a/ ?7 n7 F

    " b3 Q+ l3 G2 hconds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;, f+ P' M  T( X: E! ?% o
    ! i9 r- L) l9 r1 [* M  s
    conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。. X5 C# v  A% B( B$ V% V
    , o5 C5 H: U# p, y& Y  {' L
    详细情况请使用帮助 help csape。
    ! [; {( G- [9 e/ K4 T7 M
    4 b3 K  ]: }$ `9 i例 1  机床加工   V+ Z* v! D" N2 [. i

    , y9 m9 A- d% z! ]
    2 o4 ], i5 U- G
    - j7 Z/ V" [# n4 y7 }7 N* U解  编写以下程序: ' V/ {# z' ~+ B' f" o: v( b
    clc,clear 6 U& e5 M1 N* w: e- @8 o* t6 }
    x0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15]; , c6 [- W* a1 g
    y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6];
    ! F# ]4 c' A! M* Ix=0:0.1:15; 8 Z, {2 b& h: f& {  M( Y
    y1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
    + Q% o3 u  ]) O1 B3 C, @y2=interp1(x0,y0,x);
    4 ^0 a+ Y( h% k3 k% \y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
    8 B  C6 U0 A9 }7 m3 ppp1=csape(x0,y0);
    9 O; q) _; c! J: Ty4=ppval(pp1,x);
    1 b5 M( T# m( e  E7 n* o4 vpp2=csape(x0,y0,'second');
    - y, G+ j) S; ?7 F$ By5=ppval(pp2,x); ; y& U' R5 h7 c, F2 v" Z
    fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') 4 q: C! F& U& F5 V
    fprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n')
    * m; \3 J" @7 jxianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
    5 O! ]/ L0 j3 C/ M  Yfprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
    + s2 p3 G3 V3 S/ ~subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
    3 D- u/ p4 g: o) tsubplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear')
    9 C9 C( ]$ D1 j7 Jsubplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') 7 c. V' G% ?8 Y5 |) C$ M9 N$ D* E
    subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') # t$ t1 N* A7 R
    dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数 ' A- {. B8 |4 A/ D) V3 O- O
    ytemp=y3(131:151);
    * x9 G9 i+ m. P- i  L5 Z  S9 F" Windex=find(ytemp==min(ytemp));
    ' i0 g! _$ M1 u" m. wxymin=[x(130+index),ytemp(index)]
    " [, i# r# Y4 j  i) W& W: r, t& J4 s$ k! M+ y  h% P' `6 X
    计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。
    5 A6 I2 S  H# t1 Y0 k* h9 K4 Z* R2 J
    6   B 样条函数插值方法 0 s' w1 C# A4 J* m0 ^( b% [
    6.1  磨光函数 . E7 u( t* B# q
    实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。 / n$ o$ k' L- W2 V9 ~  f% t

    3 }+ J$ J* `. b% e7 a9 q* `
    $ p  I9 g6 w) q) k$ I! W" g4 k4 f
    ( K$ F2 O0 f( _1 F' p6.2  等距 B 样条函数
    8 E+ D4 o& h; X, i) @+ b# v* G, X2 X5 ^
    2 ^- N$ G. B2 C$ g0 G3 D

    ) r" Y7 F, C; i5 O9 s- y( q3 e1 b5 z+ S$ P2 ~

    , I3 D4 v8 \8 a8 k
    * Q; i8 K( t/ j7 ^0 q, O  `& a+ s7 m$ R3 c* D8 F

    : e6 f9 _6 Q" x1 k6.3  一维等距 B 样条函数插值 , o3 y8 }- R. E2 d4 p
    等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系: ! G8 t* o! }! v% ~' G  t
    7 K+ B7 ?- U" ?
    3 P* m3 K% J3 M0 d8 S" @
    0 x4 \+ c* J+ V! E3 Y
    : k4 y; l: u2 ]3 V9 n3 B

    $ B- `" k! O6 b$ A) L3 `6 ^+ l' N3 V, {' C

    $ b& F! c/ p, G2 m% o* w$ t" Y4 p6.4  二维等距 B 样条函数插值 & |2 s: N* O$ o6 F9 g" ^

    & [! w% M  I' g, T" b9 S# e8 o: X: s5 {  a- m( V
    9 Q2 d+ |2 C: z' P' R
    7 二维插值 + V' x9 v6 d* U  a5 q8 c5 {9 g7 l$ M
    前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。 2 S1 P# L% C2 B+ E% c5 j! ?/ s

    1 @& _- r  ^2 b- u) `6 l7.1  插值节点为网格节点 1 e* y2 [- g) t: N7 a( ]7 Z

    + {) V/ y% `1 B1 m/ A: p1 ?
    , f2 D  f1 M9 f; L/ V& K- G; c7 e" h" r% r) O/ r
    Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  1 |- \/ `" N- Z6 G

    % @  ]+ c+ E6 S  `8 _: I- F! R8 R1 A" \
    z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') 6 w/ w! b  @9 n+ r0 z1 U5 x: O' Y

    , m; R2 Y, r: z8 \9 Z) y. u7 j$ ]" G. b
      A, G. T4 k2 h  z2 d
    " b! d. p: m0 h. b  j

    $ B+ g& L' Q3 i/ Z4 X3 o3 r; k' v2 F# {% w
    如果是三次样条插值,可以使用命令
    0 ]' M3 _9 q% |( F, O9 u3 h# t3 C0 ~% V+ r+ x0 ^$ T; t
    pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y}) ( x1 ^6 B$ y' M
    . M( F8 y- Y) i) t: `9 u: ?9 V9 O
    ( z" V) C* C6 h! X+ w

    1 S% ~$ m* b, Y5 W( [clear,clc
    , Z& q' c! Q, {; Z1 I& d6 S: @x=100:100:500; 2 I* M4 I' h- \$ u# B/ l
    y=100:100:400; ) I& d7 L3 \6 j4 @. |! v5 [0 |
    z=[636    697    624    478   450      $ i# J4 h, k6 v
       698    712    630    478   420
    6 ?% ^- L+ n$ T! c, V0 d2 m   680    674    598    412   400    0 w+ @( q6 u( C
       662    626    552    334   310]; 7 ]' x( [: A% Q0 o* ?, H
    pp=csape({x,y},z') 8 a2 E% J2 t, L6 f
    xi=100:10:500; yi=100:10:400
    % `9 l# F2 q& I; pcz1=fnval(pp,{xi,yi}) * }* K% G( Q5 ]8 f# Y
    cz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') 7 e* |) O' x8 i! _7 b4 o5 g' ~
    [i,j]=find(cz1==max(max(cz1))) 6 G2 G& f$ ?# g9 E! T9 ~
    x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j) 5 s$ n4 _4 f. e$ N) c

      y3 {. ?! i- @# j6 Z9 x! g/ L. T5 J4 n; [5 L: g
    $ ?9 A+ s& _4 [9 C
    7.2  插值节点为散乱节点

    对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:


    7 w8 k6 R, V1 T$ PZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
    ! B5 D2 D  z! o" i3 f$ f, Y+ K: t) T6 r! g9 h

    . x$ F: y: X  N! B* H) F" Q7 x
    7 @' V3 p: L- G3 t( C! U+ @, _8 P3 Y
    * B: r8 f' _0 E, b
    8 u& w6 v$ \) v- k' T( f, c
    & a8 }# T4 F5 n/ B( k; E6 L, w
    - J  f+ b' m1 z2 H( Z% L例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。
    7 E' M& F* J2 r; y1 M5 `
    $ P6 j( m- _# c* G) j1 U
    6 d$ D$ z4 ?( G1 x! i
    + y1 @# F/ @# z9 u: o8 P7 N4 z& A6 ?解  编写程序如下: ' ?! u9 S* |& {7 n

    ! u( _5 F- c  }: A$ Ux=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5]; ' g. J3 d( u' i' J, M: X! E" Z
    y=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5]; , T, @( o5 r! f9 q" Y  t. X
    z=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9];
    0 P0 k" z1 a- @" R' S2 a2 \xi=75:1:200;
    ! n" i4 d# m$ A5 t5 A- Z% a) n  k  yyi=-50:1:150;
    - @$ n2 V: l4 O) j0 Rzi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') 1 `7 ]/ p- B& {# l! w
    subplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
    ; l0 ], h4 }$ o3 wsubplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)
    4 Y* \" b; S, ]+ z7 T1 t4 k7 f5 Z% _& w3 Y4 A- h/ w: k' c1 y

    - t2 t1 ?/ Z6 w7 U: z. O" t习题
    : s, n- S6 @' N3 u9 b8 M
    1 q6 `' f' \9 |* N1 y# \) y4 a# S! k3 E1 F5 F% M/ o% l  D/ t6 f! H7 l
    : M  l9 {5 ]' `, o3 i
    ' h; k- S' n4 ^" j7 W& J
    ————————————————1 P7 j7 I# }; C  X8 b1 i
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    & K% ^1 }# z" s5 q( f) W8 \原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89504179
    0 A- `! n% A& I& o
    $ S; d9 f- @$ g4 ~
    & [( i/ [) v7 K. J; F( r
    zan
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