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[建模教程] 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...

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    发表于 2020-6-2 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
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    1  拉格朗日多项式插值
    $ G/ S9 Z6 D' H, K6 t1.1  插值多项式 $ S6 H" T; C8 o! B/ A+ u
    - v# P0 ~3 u4 B  X: |, i
    ) {: A* A2 r1 |: t8 c7 y
    ( z: ?# ^: x) V$ Y- ]0 j
    范德蒙特(Vandermonde)行列式3 U6 c: x4 E' A( W; l

    1 M! y; A$ E# |
    0 }. j) w  K# ~# s+ d: N3 k
    2 A/ J6 @, r+ j  c截断误差 / 插值余项+ B/ P" O7 R6 u- d" `; \8 b$ E
    4 ^: }' o: O1 k$ [% I

    % Z) \& i- N8 c: J' j9 Z$ w' m8 d6 Y: J

    3 I& H4 y9 a6 }) X. W. M# n1.2  拉格朗日插值多项式
    , Q0 ^' z7 [. k" M1 A
    + U; L$ q' f2 X- b  |4 ~" u" i0 p. x2 a! A5 H- y
    6 q6 f" X5 E9 _8 M
    1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值 ! d: D! W. Z  t6 m' W
    Matlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:" h& }7 E4 z8 l

      `# c8 v) O" j8 L. {; Hfunction y=lagrange(x0,y0,x); - o9 X8 ~8 Z) o" ~" g
    n=length(x0);m=length(x);
    8 g, g* c0 z, q7 u" ]8 ]& d1 gfor i=1:m   
    $ P+ u6 y4 B; P) w    z=x(i);   
    8 Z. R. }" y; \! z# v% n2 Q    s=0.0;    ) p( Y. O5 |2 P( S) T* d
        for k=1:n       3 G2 D- q  X6 O1 o1 ^3 O* F
            p=1.0;      
    8 w$ S( ~! E3 T( i        for j=1:n          ) J( U' p: o$ N2 h' f" ~% A2 ?- P, }
                if j~=k             , K2 T. D6 k/ W5 v+ C
                    p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));          3 k- ~$ b. n) X, |
                end       & t3 N! x2 Q1 G/ \2 K
            end       5 Q4 Z4 ]; n0 H7 r' j4 l1 a8 ^
        s=p*y0(k)+s;   
    / W2 n4 x5 J) |8 i: \    end   
    ! `9 W# d0 v; c8 A" q9 q# Oy(i)=s;
    % z! x9 ^( A) z( C' ^: vend $ t; a2 F0 _5 R2 c0 x
    5 s( J+ t5 y4 O
    2  牛顿(Newton)插值 5 S+ G; Q) G& d8 h# d
    在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。
    . j: @- h1 E. h* z9 D4 \- X4 R# F, O) J8 \9 a3 W2 C( b
    2.1 差商 : 定义与性质
    6 W$ W& ~/ d+ g) F
    : x, M2 v  O1 Q  \
    ) o$ c2 V, e6 U+ p, e7 i  U; c1 I  m0 y
    2.2  Newton 插值公式
    0 K2 d) u: U% b
    & S0 ~6 r# D6 J; y5 j4 S& a8 F4 p$ m) X$ r/ ^

    3 w# O/ @- n0 y: ~$ A
    $ o! K* r2 Y0 b6 h$ f8 t3 }' n1 I: hNewton 插值的优点
    % V5 Y( ]5 }/ _3 t. W
    3 P/ b) \. i1 r3 |: ^4 F: f* b9 z: C+ b; M# \: o
    9 U& L3 S" `- g' N& }; k
    & [1 q4 L2 F2 ?0 K/ C4 h
    差商与导数的关系
    # A- J& R4 x/ T, R3 D2 }, o% Z- ]  j

    - `6 Z8 x( J) g2 s9 z& i4 j
    0 L9 `4 {' W9 A! f2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分
    0 r# B1 S1 v4 M; N& D2 Q当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。
    * }% f+ q* i& ~2 e7 S
    : ~) P9 ]+ a4 t3 f# z. t8 Q  I" r  P
    - Z# |4 P" M& p. L

    & k$ _9 D: T, ]4 ^1 I1 ]
    4 _) u$ K! q* a8 |+ Z! Z9 z差分的两个性质
    ' o  T- C2 |5 h# V" B) B. G, \+ U(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如 ! j/ H) i2 y, a: s, C
    % y8 q) l+ ?+ z) f4 G

    + ?* ~! Q! ^& y/ u
    ( _9 ]! Z/ _! o4 }  d3 k" ^. t* e, E: V(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下: ' @# j5 X, o% D- i7 O
    ' f+ o& F3 ~& @8 n* F' y4 J

    " \0 H9 J# p& T5 |2 t% v2 a5 d: d1 M& j% W( O3 c: Y$ K
    2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式9 b# I$ ?4 U1 S6 b& j& D' c

    4 Q) l$ H1 r- t- f4 c$ k) G
    3 \! d, a3 c3 n- U3 z: R
    $ X8 ~$ a) [+ t' z3  分段线性插值
      G  I1 W4 p, U% N% h+ w# D6 V3.1  插值多项式的振荡 ) P1 ?, u' N$ t6 G
    ! ?1 }1 T4 v+ Y1 T6 W

    1 S3 Y+ m* x$ F: [' i6 I7 Q) w" B5 @) U1 O2 ]5 F2 a- k

    2 h4 g/ I2 s6 `3 Z( Y0 _- m( U高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。
    / l6 d. Q' z7 I" I% D* e' S& f! S0 C2 x  t9 L3 Z
    3.2  分段线性插值 $ l+ l6 _8 }. R1 y; s7 h( T
    ( |4 o( A( Z3 l, W& `' h; ]

    # U7 ^# g& b5 l, _% @8 W$ C; h; H. {9 V+ A3 L# ]
    - d% i$ {# Q' V7 e

    2 d5 E  H- }( v7 w2 b
    * M% S4 s8 p( B  s6 p& y用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。
    $ W$ @& c- r5 N: k5 C6 u% A  ?( A. ?% T6 G$ ^
    3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 ' g$ T  D* ]9 B3 m4 l, h1 K1 Q* p
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。/ `0 J5 W9 [) g  U. [( i! [+ f4 b$ D$ W
    0 ]) f; q4 `. t' f7 J
    y=interp1(x0,y0,x,'method') / o- R/ }; l: J: Y0 P9 w7 k0 G5 \
      ^& T7 s( v* N# O8 K
    method 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:
    - O, E4 B% w' m$ o9 x- Y8 X( M# Y' e, f! i
    'nearest'   最近项插值
    2 R' y4 k" q9 x/ \9 p' n- Q
    " }$ Z9 R& J& f'linear'    线性插值- R0 ?: o) [0 ^& {# h* l- q( F

    7 N7 T( S; G  v" k3 \'spline'    逐段 3 次样条插值, k8 {4 D6 P7 h1 O0 S7 }0 N
    4 L" U, _; D2 A5 }; R6 g" g& K
    'cubic'    保凹凸性 3 次插值" S8 b( |3 y$ |2 ^2 _
    : S$ C, ?; C( M; p$ `
    所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。
    % d; L: i' k2 C
    " H( ?7 `5 W; B: q/ h4  埃尔米特(Hermite)插值
    6 {4 t/ M. }7 S! S$ ^! K4 I  ?8 b4.1  Hermite 插值多项式 / O2 Q# V! h( @! ~# l" R. L
    如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 ; O0 @! z3 O% Y1 V, N0 W2 ~

    7 \0 y( V+ U+ D, G8 {. P9 X. U2 z# u% n3 U/ M
    . v; e6 s6 [' J! o( y+ R

    4 h* k5 I/ y/ P
    : k, ~$ n8 n% E. \4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值
    5 m; Q- i; X. OMatlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。
    ' }. f. n$ H" A* ~) |5 _
      T4 |4 K' t( U( M  U3 c+ F. ]- nfunction y=hermite(x0,y0,y1,x); # l) T  Q$ e/ O5 `& G, H0 t  U
    n=length(x0);m=length(x);
    ; p9 m9 H# E1 q- {for k=1:m   
    , }' j/ C) I- C1 e+ S8 j    yy=0.0;   
    " h3 d8 l6 ~/ v& y  y" e& ^    for i=1:n       " j& P1 R6 k/ e5 j
            h=1.0;       / C  Q4 A  _6 F0 G2 i
            a=0.0;       - t0 E5 Q) @5 o+ t' u( \% m
            for j=1:n          0 }' ~  L8 a5 N
                if j~=i             * S9 Y) ~2 a' S7 f( I
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;            
    8 u0 _* w0 E. j$ B) j# a3 W2 f                a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
      W) ^$ c' b8 P: W            end      
    1 ^# z7 c- Y3 K% j6 j2 l4 E        end      
    ! t& [7 E" m/ R+ Y. a5 r/ D6 D" F        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));    1 N% Q5 F5 d* b: F. a( s
        end   
    6 E7 W9 K0 V/ f# X    y(k)=yy; + {5 ~- R+ ?  z5 O1 a
    end - i$ p- c! s7 D  I# z( V

    : c! i0 _, k, k: V4 H# b. T
    1 q' a1 M3 M4 v, A  G' u: ]+ q
    5 N9 P. D6 U* d6 \/ G% d5 o3 h3 C
    - Y; e  g/ {4 J  u; ?! M* @: p$ q$ S: D" m: X
    5  样条插值
    " A* K) [: G" r7 v许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。. z) V. U' U* Y

    . c8 U: [/ L3 z) K* U: Q5.1  样条函数的概念9 S+ Z) t1 z  c! D$ g4 {0 G' u' ?
      i9 [! [8 W- R7 F/ x+ o. _% M
    所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。 $ z+ L- W/ Q% }+ ?

    * A4 a  t; H5 U$ v( F4 V9 l    内节点 、边界点、k 次样条函数空间6 B# G) ?8 \0 ^7 w' R/ w0 q
    6 @' R$ {/ X. l( j! Y

    4 W( S/ D' t$ C# F/ X" ]
    3 F. `( a6 q* a% N" i  f" P& y' @8 m6 b9 a; V7 a6 c
    4 j( O- e5 U8 C9 v/ ~; S

    9 Q. A1 S7 l' |; m% x二次样条函数% `" t) d  L7 l3 G8 i
    + h; L+ _7 {+ X! N6 ], O# g& F% ]" {

    . m) O  X4 H9 d+ P( |: n( J
    1 \* u3 d. _; A# l! Y2 ^8 X三次样条函数, \! x5 B$ @" y6 d1 @4 @5 E

    9 `/ t3 |8 T" Q' T
    % M( m* O, T$ i% L' X5 P& @% M! }  \. o* [, |
    利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  
    4 Y( r- I! B: u) c' f( t5 w
    3 ~7 T$ d! \) G! H& H8 m5.2  二次样条函数插值  
    8 d* X5 o6 Z9 O* V两类问题; g4 N' p! ~4 V
    ; p+ e- w4 {, U8 P- {4 W

    # G* H1 ?/ P. e. G* L' D# n8 Q5 C) K) l
    证明这两类插值问题都是唯一可解的
    ! G- b( I0 X4 W; R7 f2 f9 k( f$ b$ h' S5 b
    / c/ W7 G% P0 M; E, ~

    6 C( V4 P" t# f- K6 ?5.3  三次样条函数插值 1 D. `! i; P$ ~2 ?$ y$ a
    5 O. x* W3 d) D. y
    5 C! j& \, K, F. a" k/ I
      h$ Z* V% ]- j% n2 W3 c$ }/ M6 T
    3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件
    ) P4 u5 N/ F/ S# s8 b+ ]/ V( e4 f" S6 Q" f- |

    ) q% F5 |* Y( t% e3 c4 W9 r1 {
    $ o2 ~5 E, S7 y: ]5 x: h0 H, u1 u/ h; \  [' j3 T; l" J' w

    6 @" M  c4 @0 ~* O+ u
    , {% m/ ]' u5 l) F$ |, i5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现
    % s/ {9 F0 d! k! A在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。
      `, m2 R, N5 }
    6 ]$ J. r3 G- y9 l9 H) W% aMatlab 中三次样条插值也有现成的函数:* E5 B" O* X5 ]  L  J
    y=interp1(x0,y0,x,'spline');
    + ?. Z- s  H8 ^* N" x) l6 x) S. D& J$ }7 z
    y=spline(x0,y0,x); 1 h1 l# V4 F2 F8 y+ ]; f4 J

    ( h, X+ m# |; {3 ^  p$ p( bpp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)
    $ B4 W3 l4 }+ @/ o5 {
    ' t8 s4 k  U- V$ U' T$ W9 J
    ; `$ D7 Q# e+ c' Z' r: I5 V
    / i- F2 |" z  q其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。
    ' Z) c4 z- G1 c  b2 _+ F' K# t5 C7 H( R1 e
    pp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。  Y2 A; S0 Q0 L6 m

    ' s4 Q. Z7 C' R/ d2 Vpp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
    ) @8 v- }  U$ W6 t. }5 q  V. F3 Y
    4 _' j* H. X) S/ k+ G7 u  V'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件# N! K% o1 V$ E! }
    'not-a-knot'   非扭结条件    O& a- G1 p% X1 E, N9 o
    'periodic'     周期条件9 G, W8 `  E7 c! E
    'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。! w/ ]+ n8 b0 s
    'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。
    1 g! }9 D! ^/ b9 \) O0 r* A" n对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令
      f. F8 E$ @; ?- c8 Y. n3 o3 C: ]# ]; l& ], t' {: ~2 y- n
    pp=csape(x0,y0_ext,conds) ! S* h. z: p: y7 E; m8 ^3 ^
    . {* }. l7 F& S: u( y' m/ Y) }

    6 r8 K" c2 U+ A" J! y& X" l& F+ `5 U% }7 m( l7 d9 r

    " q! W( y2 k" Z( e' g1 B" ~其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。! X2 S( ^6 B' t+ ]9 C" O! a
    " N6 L2 H! T8 F) X3 E  O
    conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;
    ; B9 J* R' @# C+ ~8 c
      i7 n* ]6 m/ ~6 O# A4 h9 kconds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。
    % z3 C/ z9 P/ D9 f/ c3 C
    * t1 y! L1 L8 z3 \1 u+ J+ ]详细情况请使用帮助 help csape。
    , s. A  R0 h3 G0 s+ {+ y2 U+ b5 c1 D4 ^+ Q& K
    例 1  机床加工
    " z5 C+ s5 g$ [: f7 o, t9 k: q- j6 }' ^4 A# g! ?7 B

    7 @$ \6 z' H  u* s1 K. J' v% D+ y( u! Z7 W5 d" G0 B7 y
    解  编写以下程序:
    ) \5 e* G& }* ~- y5 i: hclc,clear
    + H' W6 A1 G/ }. Qx0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15];
    ( e5 [- _' B2 v6 |# @y0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6];
    6 _0 w6 G- n6 ]x=0:0.1:15; ; {8 s! T6 S' ~2 f. d5 F9 f- l
    y1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
    8 W  w- v4 e- Y1 Py2=interp1(x0,y0,x);
    & m; a( ~+ ]1 x9 D% b8 X( o% e2 Dy3=interp1(x0,y0,x,'spline');
    ! h+ r2 x4 ]2 ^2 {. k, @pp1=csape(x0,y0);
    : r  L* h! O3 [! ly4=ppval(pp1,x);
    " R( h! {; t/ H( e+ @1 B4 \pp2=csape(x0,y0,'second');
    % Q, v/ r+ X# |2 My5=ppval(pp2,x);
    8 U! ?' k0 v7 s+ }) hfprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') 8 t$ J. y" i2 x. [) V
    fprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n')
    * \' _( c3 n$ J0 m+ S7 r# cxianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; % a5 B  e2 x$ u) ?- q2 Q3 y/ g
    fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
    & [# W! `) S' H8 k) u1 [+ Wsubplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange') 2 H- F1 z* K0 N9 K* _0 f) P" T7 e- D4 w
    subplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') , ]' _7 C6 z8 e6 ]* i4 ?
    subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') ) ~1 T' _) ~, F5 q. x7 O9 y- E& m7 p
    subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
    9 N9 J  a8 q' |, hdyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数 + [- x5 Y8 ~( O4 ]: p
    ytemp=y3(131:151);
      b) K7 _3 @! [! @& s7 x  @+ y. |9 Dindex=find(ytemp==min(ytemp)); 1 [. H# n1 j6 S0 R! f
    xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
    0 @! l; K6 H& r
    ' @5 m1 }2 |( ]# _% z7 r$ Z计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。 0 D3 W$ m) [1 n  C. ~

    $ N: y4 `5 ^+ `  |0 n' N6   B 样条函数插值方法
    % E' Z# ~' T! A6 p+ y, z  C# _* i6.1  磨光函数 ' v+ r" |% V7 I! q7 }  W
    实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。
    ; [0 H1 n. Y# \: y  N, j  }; K6 _
    / f: h* @- E+ `$ U7 s
    / K( K. t: n. B! g( a7 G
    5 f5 ?# H) L2 p+ g4 l6.2  等距 B 样条函数 - n; ]. z6 ~: ]; M' X7 h

    / _  t1 A6 T: S/ d- o3 v! e- x& h& u; z

    6 S% j" P! P: E& P
    " a& Q8 Y% d% P" a" {) h; ~! q, w4 m+ ]) u( g
    4 q  A4 U2 ^. b# f5 [

    * [8 A5 X& V. Z) U  E7 Z# m' o' e. f& n8 r% x* L
    6.3  一维等距 B 样条函数插值
      Q3 q/ b: |  }* e" k3 c* p  J等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系:
    7 E% F; l5 P& s- t. ?. a. J% i5 q+ j! Z5 E

    5 k4 L6 S% [; w# A- A, }
    0 ?+ s  `+ k) Q. Q% L& ^# U+ L  H9 y: r! O  ?4 {$ T( w% ~
    & x- x' W6 g7 Z' e$ D* G! J

    3 H. R# u5 E) F- o8 r7 S8 S
    ! }+ d$ S3 v& j* q7 }8 m$ {- \5 D$ l6.4  二维等距 B 样条函数插值 ! G, L6 _7 J5 {1 i0 k+ I- s& ~8 Z

    + K  X+ R% C3 l* o( {. I# t% B# w
    ( v! Y% G- G# z9 {, \& j6 [! x1 _1 \) r
    7 二维插值
    4 x+ }0 ]/ X, n0 z0 O3 ^. {/ O( w前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。 " \4 j, |+ X0 i/ e

    3 i5 z# ]* O& P7 z$ @4 X2 B7.1  插值节点为网格节点 * l! e, h( Z2 H  u1 f. ~; f) ~

    % z3 y: j* {# w2 Z# \1 K
    & f. \; E+ \# F: ~' h" A8 x
    : Y) ~6 A$ I$ o6 P, Z8 Y" m8 TMatlab 中有一些计算二维插值的程序。如  / V$ [! A, j% x7 V) z7 D: ~

    8 S" m* o2 y7 z
    : D0 q0 a, z/ h! \7 Fz=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')   `/ o: W. j; K7 w# W
    5 P& R) m9 [1 s2 }3 K& {+ W
    1 R9 J6 j5 x% W4 ^1 M3 i

    0 X& V; C& Y# ]% W, I
    8 Q: W7 {0 c; C! \' ]5 d; _9 {0 T) z) q' @' i, Z8 y

    5 H$ g3 d( ?  J+ V5 C( h如果是三次样条插值,可以使用命令) L; y: x# s# x9 T% L' \

    5 O. U- u: S7 b3 n1 I- ~pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
    : R/ `9 R5 m8 `% A3 E- _. D6 F% O0 I. S& Q1 r6 B& ~$ O" u6 V: I! |
    6 L3 J0 \+ S' v  {; R, t3 U# D3 F

    ; j/ \* @8 t2 _0 i+ o2 Pclear,clc 1 `. K6 x9 @' v3 g: l3 t2 d
    x=100:100:500;
    ' o4 `; i3 I5 X6 d/ Vy=100:100:400; 8 }6 N7 K' N4 s; q4 x
    z=[636    697    624    478   450      ' B& W7 v) V$ I4 K/ s( `4 b$ R
       698    712    630    478   420
    0 d; G5 ^) G" D& h& A6 v, m   680    674    598    412   400   
    ) x$ I; ^- I6 @/ X) s   662    626    552    334   310];
    ; ~0 }' a: G6 o6 I# G$ p/ q$ z5 [pp=csape({x,y},z')
    0 q4 U8 ~% \+ S: oxi=100:10:500; yi=100:10:400
    2 _# o( S) y! ~! s+ q3 |. F( pcz1=fnval(pp,{xi,yi})
    8 z4 g) x" I  x2 N# `; c0 B2 Ocz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') " P8 P/ J3 [7 c; w. H. p/ I
    [i,j]=find(cz1==max(max(cz1)))
    % u8 J" [2 y0 _& Q5 Cx=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)
    . U- t: w  \1 \0 y% B% n  M. ]& x. x' o  z2 `4 b+ ^. G+ ^

    6 F& X9 G" [2 C+ w* v- y  m$ \  z8 n0 @; X9 H) `; O6 T& L
    7.2  插值节点为散乱节点

    对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:


    - u$ D( n  R( D( \6 Q7 v  m& HZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI) 8 J/ C* D% \$ ?! W7 X6 @/ ]/ C$ ^! F
    ' v8 M1 v" a$ W5 V0 H/ r5 i& h

    : k: f6 ?4 L; h5 H8 p9 J, H8 f8 V  B

    ( E7 y3 C8 |0 Q8 d* D2 s' f: d. C6 u) [' P
    # h) J( g* [' t% y+ p& J4 x

    ' ^4 L+ `- {8 A" G% q& ?例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。 7 ~/ e- z# l+ v
    6 ]! a0 L: A" U4 }$ p

    2 h9 {# z# t7 s& u8 v2 L& T8 ]% E+ o. }
    解  编写程序如下:
    4 i/ n0 _. I$ X" r" b! U
    , [4 z) x# T/ S9 c1 f& k' Jx=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5];
    * y, Z# j9 y$ Fy=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5];
    2 b& y8 b: l& F$ N3 H; xz=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9]; 4 Y7 E$ n9 T) i3 c
    xi=75:1:200; 5 X* N* |! y* S) V3 d  ?' X# Z) i
    yi=-50:1:150;
    * @. H& A: N. y1 N* H( Vzi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')
    1 m( M  P! M# s* k$ P4 Vsubplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
    - k' ~' q* w: ^* M3 ~* |subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi) + |; N8 v/ k. ]6 J. ]! i% G3 V
    6 Z( l0 }" x8 R- X& F

    9 Q2 b6 w" I0 b$ p" W$ ^& |习题
    " b4 P0 Y  F; Q) C7 Q( y
    * Y, y: G6 y% H& S3 P; b& h3 M, _6 y- F3 m. Q& b5 z1 S
      |" v( U# }$ R1 A6 [, X8 _
    - Y+ I2 r, k. T: L
    ————————————————
    1 c* u4 n: W6 X5 j, D4 P版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。5 Z7 Y2 `/ `" r6 Q! a
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89504179$ r; i7 v4 A6 g, ~1 c. @8 y
    - f( A1 y+ X- x, z

    4 C- |( j4 ^9 C3 p4 P  C  Y4 c
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