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爬山算法

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发表于 2024-4-26 15:44 |只看该作者 |倒序浏览

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使用爬山算法优化简单的数学函数

假设我们需要找到函数 𝑓(𝑥)=−𝑥^2+4𝑥的最大值。这是一个具有单个局部最大值的简单抛物线函数。

步骤 1: 定义目标函数

首先，定义我们需要优化的函数。在MATLAB中，我们可以创建一个函数来计算给定x值的 𝑓(𝑥)。

function y = myFunction(x)
\\" V& f' f8 ~3 R; y
y = -x^2 + 4*x;6 j: k% `( K6 b% ^( y8 k9 v7 {2 Y
end

步骤 2: 实现爬山算法

接着，实现爬山算法。我们从一个随机点开始，然后在每一步尝试移动到一个“邻居”点，如果那里的值更高，就移动到那里。

function [bestX, bestY] = hillClimbing(func, initialX, stepSize, numIterations)
: }% ~. V- K: I3 q
currentX = initialX;
3 ^5 ?' F1 g1 g6 d% G W- e
currentY = func(currentX);4 n# h! h6 A\\" ^
for i = 1:numIterations
, ]% p' k/ o J0 L
% 尝试在两个方向上移动/ U* `1 z\\" q* C8 a/ X
newX = [currentX + stepSize, currentX - stepSize]; Y8 D% r, [/ i7 j
newY = [func(newX(1)), func(newX(2))];# i- z! P t$ i+ k/ T. c
; ?. A6 x3 s1 A+ B E# \\\" w) }\\" C
% 找出最好的移动方向( A- f! {! V\\" v1 j! p- n4 Q\\" ]; d
[maxY, idx] = max(newY);
y( k' C3 {- _' J\\" Z5 m+ u
7 r/ o n\\" y! X! [\\" L5 b) V) d
% 如果找到了更好的解，则更新当前解
$ @2 Q+ u% O/ T3 X' x& ]\\" V* R
if maxY > currentY0 q7 j( z, m& n) U& E
currentX = newX(idx);+ n. h- i2 q0 v! K0 N% L( H
currentY = maxY;
- l8 Q7 k! _- o6 `& L3 p) d; C\\" }
else
- ~4 C( E5 j\\" S& C
% 如果没有更好的解，结束搜索
# f {7 V8 r: g% r( {* _% ?
break;
) r; o* U# s) A: @, r) L
end/ P( ~0 l0 W* ?' Z; a( p2 F\\" k+ e! S$ N
end* `1 ^ ~# }9 ]- ~* A
bestX = currentX;
) Q0 c* l+ R* c4 d* G
bestY = currentY;
5 J6 }' j1 O8 }9 X: y\\" @
end4 g% L9 |0 s; q& r' y
% O7 a5 U8 I% Q/ S: w) }
% 运行爬山算法4 c7 V1 T# [9 L: i
initialX = 0; % 初始点
* w& H: f7 y5 C% A2 N
stepSize = 0.1; % 步长- k* l7 S$ d3 E3 N4 }3 N
numIterations = 100; % 迭代次数2 G& h# D7 A) f7 J$ C7 n& C
[bestX, bestY] = hillClimbing(@myFunction, initialX, stepSize, numIterations);

function [bestX, bestY] = hillClimbing(func, initialX, stepSize, numIterations) 
: }% ~. V- K: I3 q
    currentX = initialX; 
3 ^5 ?' F1 g1 g6 d% G  W- e
    currentY = func(currentX);4 n# h! h6 A\\" ^

for i = 1:numIterations 
, ]% p' k/ o  J0 L
        % 尝试在两个方向上移动/ U* `1 z\\" q* C8 a/ X

newX = [currentX + stepSize, currentX - stepSize];  Y8 D% r, [/ i7 j

newY = [func(newX(1)), func(newX(2))];# i- z! P  t$ i+ k/ T. c

; ?. A6 x3 s1 A+ B  E# \\\" w) }\\" C

% 找出最好的移动方向( A- f! {! V\\" v1 j! p- n4 Q\\" ]; d

[maxY, idx] = max(newY); 
  y( k' C3 {- _' J\\" Z5 m+ u
        7 r/ o  n\\" y! X! [\\" L5 b) V) d

% 如果找到了更好的解，则更新当前解 
$ @2 Q+ u% O/ T3 X' x& ]\\" V* R
        if maxY > currentY0 q7 j( z, m& n) U& E

currentX = newX(idx);+ n. h- i2 q0 v! K0 N% L( H

currentY = maxY; 
- l8 Q7 k! _- o6 `& L3 p) d; C\\" }
        else 
- ~4 C( E5 j\\" S& C
            % 如果没有更好的解，结束搜索 
# f  {7 V8 r: g% r( {* _% ?
            break; 
) r; o* U# s) A: @, r) L
        end/ P( ~0 l0 W* ?' Z; a( p2 F\\" k+ e! S$ N

end* `1 ^  ~# }9 ]- ~* A

bestX = currentX; 
) Q0 c* l+ R* c4 d* G
    bestY = currentY; 
5 J6 }' j1 O8 }9 X: y\\" @
end4 g% L9 |0 s; q& r' y

% O7 a5 U8 I% Q/ S: w) }

% 运行爬山算法4 c7 V1 T# [9 L: i

initialX = 0; % 初始点 
* w& H: f7 y5 C% A2 N
stepSize = 0.1; % 步长- k* l7 S$ d3 E3 N4 }3 N

numIterations = 100; % 迭代次数2 G& h# D7 A) f7 J$ C7 n& C

[bestX, bestY] = hillClimbing(@myFunction, initialX, stepSize, numIterations);

步骤 3: 输出结果

展示算法找到的最优解。

disp(['The maximum value of f(x) is found at x = ', num2str(bestX)]);
$ |# N9 |; y% v& I1 ]% f9 R$ L
disp(['The maximum value of f(x) is ', num2str(bestY)]);

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步骤 4: 可视化

可视化函数和算法找到的最大值点，以更好地理解算法的行为。