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通过数值积分和符号积分计算函数的定积分

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发表于 2024-9-30 09:52 |只看该作者 |倒序浏览
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MATLAB代码展示了如何通过数值积分和符号积分计算函数的定积分,并对不同步长的数值积分结果进行比较。以下是逐步解析:) I9 }+ g! n5 F
' O% {) E: `7 R
### 1. 创建自变量和函数
7 Z! C. \1 X5 I2 I```matlab
9 m4 B4 U/ Y9 gx = [0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % 包含 3π/2 这一点6 x: f9 M  s8 Q+ S5 t
y = cos(15*x);
6 M( Y) u! L1 I- `0 V5 ?4 Gplot(x, y)                     % 绘制 y = cos(15*x) 的图形1 [# r' G0 @2 b( Z# Y0 @& Q
```! A3 p" o. f. D
- `x` 创建了一个从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的向量,并确保 \( \frac{3\pi}{2} \) 这个点被包含在内。
8 o/ `  F. a- R6 k  P- `y` 计算了在 `x` 每个点上的 `cos(15*x)` 值。" E6 B5 Q; [, Q! D9 ^# ?
- 使用 `plot(x, y)` 绘制了函数 `y = cos(15*x)` 的图形。
/ ~; g& i- e; ?5 V) u7 ^, v& _* p# }# g+ J4 W$ P7 n
### 2. 计算理论值
4 Z7 e& h" N% D2 n6 ^, P```matlab' e+ k  a6 M* B! t/ k
syms x, A = int(cos(15*x), 0, 3*pi/2);   % 使用符号积分求取定积分
7 }  B# u) T0 `3 q; G: D  v```& |" k. G( A; p) M8 r- ^3 D% i" s
- `syms x` 定义符号变量 `x`。
" Y# z6 e- S6 i) b6 ]- `int(cos(15*x), 0, 3*pi/2)` 计算 `cos(15*x)` 从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的定积分 `A`,这个结果为理论值。) H, ~) [4 M' n$ a; u/ H: j  t1 H% Z  E

. s+ h) o7 [; k0 }; p# E### 3. 定义步长并进行数值积分5 P. F! U5 n+ M
```matlab; {' K! s  t8 F
h0 = [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001]; . g  f  @' g; ?
v = [];
: y/ \5 Q' T4 o* L+ y( i6 Qfor h = h0,
1 n* M0 E4 R" h6 X    x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];
" _; L* O( s" r3 v5 y9 `    y = cos(15*x);
; S1 ]  f8 n4 X5 `0 n    I = trapz(x, y);            % 使用梯形法进行数值积分5 A1 ^- f# C- ~# j+ o
    v = [v; h, I, 1/15 - I];    % 将步长、数值积分结果和错误存储到 v 中5 `1 A1 U& Z* u4 r% w5 P& e! |- c, g
end( L! F$ a& B& p$ r" w0 |1 ?, |
```
& ~$ k9 t; h* \3 w2 G- `h0` 是一个数组,包含了不同的步长值,用于进行数值积分。
: t6 O# v, {% S4 u1 o: p$ D- `v = []` 初始化一个空数组 `v`,用于存储每种步长的结果。, Z: Z8 `3 q0 t, e' w
- 对于每个步长 `h`,代码:; Q5 D, Z0 L" f" q  d
  - 创建新的 `x` 向量,从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \),步长为 `h`,并确保包含 \( \frac{3\pi}{2} \)。
; h2 I! B* Y% G6 _7 P; E  - 计算 `y = cos(15*x)`。
9 Q7 a8 f+ y  ?9 v# s9 y  - 使用 `trapz(x, y)` 进行数值积分,得到的结果存储在 `I` 中。
, E3 F3 m6 |' b( w, S  - 将当前步长 `h`、计算得到的数值积分 `I` 和与理论值 \( \frac{1}{15} \) 的误差 \( 1/15 - I \) 存储到 `v` 中。$ S) ~& F4 K6 m& _

( ^4 C# J. z8 _" h: J### 总结+ T! ?1 p/ V' h: M
这段代码通过图形显示、符号积分和数值积分来综合比较结果,展示了函数 `y = cos(15*x)` 的行为。通过不同的步长进行数值积分,并对结果与理论值进行比较,可以分析数值积分的精度随步长变化的情况。这是一种在数值分析中检验数值方法有效性的常见手段。" ^0 l6 P8 M3 u8 b, y% Z1 C. E2 e

4 f5 I1 Y8 m$ T% F, V, n& m4 ~! b) z. ~- r; p

- n1 X, B5 H6 p

examp3_29.m

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