群（续）

OLS

整数和运算 "+" 一起形成一个数学对象，它属于共享相似结构体貌一个广泛的类。为了适当的理解这些结构而不用个别的处理所有具体情况，发展出了下列抽象定义来涵盖上述和很多其他例子，其中之一是下面详述的对称群。群是一个集合 G，加上在一起的运算 "•"，它组合任何两个元素 a 和 b 来形成指示为 a • b 的另一个元素。符号 "•" 是给具体给出的运算比如上面的加法的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, •) 必须满足叫做群公理的四个要求:[4]
8 j1 c+ T) f& M3 ~6 Z5 q3 A1. 闭合。 对于所有 G 中 a, b，运算 a • b 的结果也在 G 中。b[›]
9 ^2 Q7 t$ ^) d. A2 x6 f2. 结合律。 对于所有 G 中的 a, b 和 c，等式 (a • b) • c = a • (b • c) 成立。
3. 单位元。 存在 G 中的一个元素 e，使得对于所有 G 中的元素 a，等式 e • a = a • e = a 成立。
4. 逆元。 对于每个 G 中的 a，存在 G 中的一个元素 b 使得 a • b = b • a = e，这里的 e 是单位元。
进行群运算的次序可能是重要的。换句话说，组合元素 a 与元素 b 不必须生成同组合元素 b与元素 a 相同的结果；等式
a • b = b • a
; p, {* o- u' L* m# t- w+ {/ O可能不为真。这个等式在整数于加法下的群中总是成立，因为对于任何两个整数都有 a + b = b + a (加法的交换律)。但是在下面的对称群中不总是成立。等式 a • b = b • a 总是成立的群叫做阿贝尔群(致敬于尼尔斯·阿贝尔)。因此，整数加法群是阿贝尔群，但后面的对称群不是。