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群（续4）

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独孤九剑

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	郁闷 2012-4-30 23:06

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单位元和逆元的唯一性
群公理的两个重要推论是单位元的唯一性和逆元的唯一性。在群中只能有一个单位元，在群中的每个元素都只能有唯一
的一个逆元素。[24]
要证明 a 的逆元素的唯一性，假设 a 有两个逆元指示为 l 和 r。则
l = l • e    由于 e 是单位元
= l • (a • r)    因为 r 是 a 的逆元，所以 e = a • r
= (l • a) • r    通过结合律，它允许重新安排括号
= e • r    由于 l 是 a 的逆元，就是说 l • a = e
= r    由于 e 是单位元
因此 l 和 r 被等式链连接了起来，所以它们是一致的。换句话说 a 只有一个逆元。

除法
在群中，有可能进行除法: 给定群 G 的元素 a 和 b， G 中存在对方程 x • a = b 的唯一的一个解 x。[25] 事实上
，方程右乘以 a−1 给出解 x = x • a • a−1 = b • a−1。类似的，G 中存在对方程 a • y = b 的唯一的一个解 y，
也就是 y = a−1 • b。一般的说，x 和 y 不必须一致。

下列章节使用了数学符号如 X = { x, y, z } 来指示集合 X 包含元素 x, y 和 z，也可选择 x∈X 来重申 x 是 X
的一个元素。符号 f : X →Y 意味着 f 是向 X 的所有元素指派 Y 的一个元素的函数。

要超越上述纯粹符号操作水平去理解群，必须采用更加结构性的概念。c[›] 有一个概念性原理位于所有下列概念的底层
: 要利用群提供的结构(而无结构的集合就没有)的好处，与群有关的构造必须兼容于群运算。下列概念中以各种方式表
明了这种兼容性。例如，群可以通过叫做群同态的函数相互关联。依据上述这个原理，要求它们以精确的感知照顾到群
结构。群的结构还可以通过把它们分解为叫做子群和商群的部件来理解。“保持结构”原理是在数学思想中反复出现的
一个主题，它是靠范畴来工作的一个实例，在这里的情况下靠群范畴。[26]

群同态
群同态
群同态 g[›]是保持群结构的函数。在两个群之间的函数 a: G → H 是同态，如果等式
a(g • k) = a(g) • a(k)
对于所有 G 中的元素 g, k 都成立，就是说在应用映射 a 之后还是之前进行群运算所得到的结果是一样的。这个要求
确保了对于所有 G 中的 g，有 a(1G) = 1H 还有 a(g)−1 = a(g−1)。因此群同态照顾到了群公理提供的 G 的所有结
构。[27]
两个群 G 和 H 被称为同构的，如果存在群同态 a: G → H 和 b: H → G，使得先后(以两种可能的次序中每个次序)
应用两个函数分别等于 G 和 H 的恒等函数。就是说，对于任何 G 中的 g 和 H 中 h，有 a(b(h)) = h 和 b(a(g))
= g。从抽象的观点来看，同构的群承载相同的信息。例如，假定对于 G 的某个元素 g 有 g • g = 1 等价于假定了
a(g) • a(g) = 1，因为应用 a 于第一个等式产生第二个，而应用 b 于第二个产生第一个。

子群
非正式的说，子群是被包含在更大的群 G 内的一个群 H。[28] 具体的说，G 的单位元包含在 H 中，并且只要 h1 和
h2 在 H 中，则 h1 • h2 和 h1−1 也在其中，所以 H 的元素，装备上了限制于 H 的 G 上的群运算，形成了真正的群
。
在上面例子中，单位元和旋转构成一个子群 R = {id, r1, r2, r3}，在上面的群表中突出为红色: 任何两个复合的旋
转仍是一个旋转，并且旋转可以被在相反方向上的旋转(它的逆元)所取消。子群测试是群 G 的子集 H 是子群的充分必
要条件: 对于所有元素 g, h ∈ H，检查 g−1h ∈ H 就足够了。知道子群族对于作为一个整体来理解群是重要的。d
[›]
给定群 G 的任何子群 S，S 所生成的子群都由 S 的元素和它们的逆元的乘积构成。它是包含 S 的 G 的最小子群。
[29] 在上面介绍例子中，r2 和 fv 所生成的子群由这两个元素、单位元 id 和 fh = fv • r2 构成。这还是个子群
，因为组合这四个元素或它们的逆元(在这个特殊情况下是相同的元素)中任何两个仍生成这个子群中的元素。

陪集和正规子群
在很多情况下，需要认为两个群元素是等同的，如果它们差异了一个给定子群中的元素。例如，在上述 D4 中，一旦进
行了翻转，只应用旋转运算(不做进一步的翻转)正方形就永远不能回到 r2 格局，就是说旋转运算对于一个翻转是否已
经进行了的问题是无关紧要的。陪集被用来形式化这种洞察: 子群 H 定义了左和右陪集，它们可以被认为是用任意群元
素 g 对 H 的平移。用符号表示，包含 g 的 H 的左和右陪集分别是
gH = {gh, h ∈ H} 和 Hg = {hg, h ∈ H}。[30]
任何子群 H 的陪集形成对 G 的划分；就是说两个陪集要么是相等的要么有空交集。[31] 第一种情况 g1H = g2H 出现
当且仅当 g1−1g2 ∈ H，就是说如果这两个元素差异了 H 的一个元素。类似的考虑适用于 H 的右陪集。H 的左和右陪
集可以是也可以不是相等的。如果它们相等，就是说对于所有 G 中的 g 有 gH = Hg，则 H 被称为正规子群。你接着
可以简单的提及 N 作为陪集的集合。
在介绍性的对称群 D4 中，由旋转构成的子群 R 的左陪集 gR，要么等于 R，如果 g 是 R 自身的一个元素，要么等于
U = fvR = {fv, fd, fh, fc} (用绿色突出)。子群 R 还是正规子群，因为 fvR = U = Rfv 并且对于任何不是 fv
的其他元素也是类似的。

商群
除了通过考虑其陪集来忽略子群的内部结构之外，需要对这个更粗的实体赋予叫做商群或因子群的群定律。为了使之可
能，这个子群必须是正规的。给定任何正规子群 N，商群定义为
G / N = {gN, g ∈ G}，“G 模以 N”[32]
这个集合从最初的群 G 继承了一个群运算(有时叫做陪集乘法或陪集加法): 对于所有 G 中的 g 和 h，(gN) • (hN)
= (gh)N。激发这个定义的是关联任何元素 g 到它的陪集 gN 的映射 G → G / N 是群同态的想法(自身是上面提出的
一般结构性考虑的一个实例)，或者是叫做泛性质的一般抽象考虑。陪集 eN = N 充当了这个群的单位元，在商群中 Ng
的逆元是 (gN)−1 = (g−1)N。e[›]
• R U
R R U
U U R
商群的群表D4 / R。
商群 D4 / R 的元素是担任单位元的 R 自身和 U = fvR。在商群上的群运算展示于右侧。例如，U • U = fvR • fvR
= (fv • fv)R = R。子群 R = {id, r1, r2, r3} 和对应的商群都是阿贝尔群，而 D4 不是阿贝尔群。通过更小的群
建造更到的群，比如从子群 R 和商群 D4 / R 建造 D4，被抽象为叫做半直积的概念。
商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一种方法: 任何群都是在这个群的生成元上的自由群模以“关系”子群
得到的商群。例如，二面体群 D4 可以由两个元素 r 和 f 生成(比如 r = r1 右旋，和 f = fv 垂直(或任何其他)翻
转)，这意味着所有正方形的对称都是这两个对称或它们的逆元的有限复合。加上关系
r 4 = f 2 = (rf)2 = 1,[33]
这个群就完全描述出来了。群的展示还可以被用来构造凯莱图，它是用来在图形上捕获离散群的设施。
子群和商群以下列方式相互关联: G 的子集 H 可以被看作单射 H → G，就是说任何阶标元素都有最多一个映射到它的
元素。单射的对当者是满射(所有阶标的元素都被映射到了)，比如规范映射 G → G / N。y[›] 依据这些同态解释子群
和商群强调了这些定义中内在的在介绍中暗示了结构性概念。一般的说，同态既不是单射也不是满射。群同态的核与像
和第一同构定理致力于这个现象。

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