神奇的“莫比乌斯带”

huaer

曾作过著名数学家高斯助教的莫比乌斯在1858年与另一位数学家各自独立发现了单侧的曲面，其中最闻名的是“莫比乌斯带”。如果想制作这种曲面，只要取一片长方纸条，把一个短边扭转180°，然后把这边跟对边粘贴起来，就形成一条“莫比乌斯带”。当用刷子油漆这个图形时，能连续不断地一次就刷遍整个曲面。如果一个没有扭转过的带子一面刷遍了，要想把刷子挪到另一面，就必须把刷子挪动跨过带子的一条边沿。

　　“莫比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场，但是人们还是根据它的特性编出了一些故事，据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。
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　　于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。
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9 J( w$ t; b; g  ]　　县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一张纸条，要执事官一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一下，粘住两端，提笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色。县官的毒计又落空了。
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/ s& A0 L3 P% R+ Q6 G4 @　　现实可能根本不会发生这样的故事，但是这两个故事却很好地反映出“莫比乌斯带”的特点。
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" ~; \) P" M% }　　“莫比乌斯带”在生活和生产中已经有了一些用途。例如，用皮带传送的动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了。如果把录音机的磁带做成“莫比乌斯带”状，就不存在正反两面的问题了，磁带就只有一个面了。
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　　莫比乌斯带是一种拓扑图形，什么是拓扑呢？拓扑所研究的是几何图形的一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8.因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8.

　　“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。
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下面再给大家介绍一个关于“莫比乌斯带”的小游戏。宋朝诗人秦少游曾写过一首回形诗：“赏花归去马如飞，去马如飞酒力微，酒力微醒时已暮，醒时已暮赏花归。” （课件显示诗歌）首尾相衔，循环成趣。如果在纸条正面写上“赏花归去马如飞”，再把纸条翻转过来，在背面等距地写上“酒力微醒时已暮”。然后把纸条做成“莫比乌斯带”状，会有什么新发现呢？（顺着这个圈，你就可以反复无穷地读出秦少游的这首诗。）大家可以回去试试啊！
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莫比乌斯带（Möbius strip或者Möbius band），又译梅比斯环，是一种拓扑学结构，它只有一个面（表面），和一个边界。它是由德国数学家、天文学家奥古斯都·莫比乌斯（August Ferdinand Möbius）和约翰·林斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年独立发现的。这个结构可以用一个纸带旋转半圈再把两端粘上之后轻而易举地制作出来。事实上有两种不同的莫比乌斯带镜像，他们相互对称。如果把纸带顺时针旋转再粘贴，就会形成一个右手侧的莫比乌斯带，反之则亦然。
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) q7 e; h4 D/ R# g# x3 G9 V莫比乌斯带本身具有很多奇妙的性质。如果你从中间剪开一个莫比乌斯带，不会得到两个窄的带子，而是会形成两个连在一起的环（并不是莫比乌斯带）。如果你把带子的宽度分为三分，并沿着分割线剪开的话，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯带，另一个则是一个旋转了两次再结合的环。另外一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘贴末端而产生的。比如旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子之后再进行旋转，然后重新粘贴则会变成数个Paradromic。
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莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。
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3 [9 \% |; Q" a; Z  双层”莫比乌斯带
4 r' r% ^, A! i  C! x　　拓扑学是研究物体在扭曲变形(拉伸或皱缩)下保持不变的那些性质．与欧几里得几何不同，拓扑学不涉及大小、形状和刚体，它研究的是弹性对象，这就是为什么人们说它是橡皮膜上的几何学．莫比乌斯带是17世纪德国数学家A?莫比乌斯创造的，它是拓扑学研究的对象之一．取一张纸条，把它扭转半圈并将端头胶接在一起，一个莫比乌斯带便做成了．它是令人迷惑的，因为它只有一个面，我们能用一根铅笔笔不离纸地描遍整个表面．

　　下面让我们考虑“双层”的莫比乌斯带．取两张叠在一起的纸条，把它们同时扭转半圈，然后把端头胶结在一起．整个看起来像是两条紧贴在一起的莫比乌斯带．然而果真是这样吗？
3 x5 H- P- f# N) o* p+ n4 t" _1 ?　　请做一个像上图那样的模型并检验一下：把你的手指放进两条带的中间隔层并让它移动，看会发生什么情形？再拿一支铅笔沿其中一条描画直至到达你出发点的背面，看又会发生什么情形？
, E, B  c! j4 F9 n# R8 d, F　　如果你试着不让它们紧贴，又会发生什么呢？

hengqujushi

数学是我的老公，哲学是我的情人，心理学是我的知己。

hengqujushi

ding~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

huaer

回复 3# hengqujushi
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    谢谢~

wangjia07

长见识了~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

lucaij

gssdzc

非常感谢分享

huaer

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    是的，非常有意思的

huaer

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huaer

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    希望带给您乐趣