求教

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在《数学模型》中的椅子能在不平的地面放平吗？如果把假设中的椅脚的连线是正方形改为长方形或者是四点共圆的情况又是怎样呢？请高人指点。

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顶一下。。。。。。。。。。。。

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有没有高手呀?

renOxuan

将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？
因此我们假设 （总可以使三条腿同时着地）
（1）地面为连续曲面
（2）方桌的四条腿长度相同
（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的
（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在x轴上，而B、D则在y轴上，当方桌绕中 心0旋转时，对角线 AC与x轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f(θ)为A、C离地距离之和，g(θ)为B、D离地距离之和，它们的值 由θ唯一确定。由假设（1），f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数。又 由假设（3），三条腿总能同时着地， 故f(θ)g(θ)=0必成立（ θ）。不妨设f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：
已知f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数，f(0)=0,g(0)>0且对任意θ有f(θ)g(θ)=0，求证存在某一θ0，使f(θ0)=g(θ0)=0。
（证法一）当θ=π/2时，AC与BD互换位置，故f(π/2)>0 , g(π/2)=0。作h(θ)=f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数，h(0)=f(0)-g(0)<0而h(π/2)=f(π/2)-g(π/2)>0，由连续函数的取零值定理，存在 θo，0<θo <π/2，h(θ0)=0，即f(θo)=g(θo)。又由于f(θo)g(θo)=0，故必有f(θo)=g(θo)=0，证毕。
（证法二）同证一可得 f(π/2)>0,g(π/2)=0。令θo =sup {θ|f (ζ)=0，0≤ζ<θ},显然θ0 <π/2。因为f 连续，由上确界定义必 有f(θ0)=0，且对任意小 的ε>0，总有δ>0且δ<ε，使f(θ0+δ)>0。因为f(θ0+δ)g (θo+δ)=0，故必有g (θ0+δ)=0，由δ可任意小且g连续，可知必 有 g (θ0)=0，证毕。证法二除用 到f、g的连续性外，还用到了上确界的性质。

renOxuan

如果是长方形，将f()改成A,B点距地面的和，g()改成C,D点距地面的和，旋转角改为180度

renOxuan

考虑椅子四脚呈不规则四边形（即任意四边形）的情形
在椅子四脚连线所构成的四边形ABCD的内部任取一点O，作为坐标原点，建立直角坐标系，记AO与x轴正向夹角为a ，记A、B两脚与地面距离之和为f() ，C、D两脚与地面距离之和为 g()，根据假设3不妨设当 时，f()>0 ，g()=0,将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B两脚与地面之和为0，此时，AO与x轴正向的夹角变为a' ，由假设3（任意时刻椅子至少有3只脚着地）易知当 f()=0，g()>0 ，令 h()=f()-g()，则由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在 , a<b<a',使 h(b)=0，即 f(b)=g(b)，由 f()g()=0，所以f(b)=g(b)=0 。

p31415

谢谢你，但我认为你这个证明方法有点问题。"将椅子逆时针旋转一定角度，使A、B两脚与地面之和为0",你是如何知道一定有这个条件成立呢？有可能将椅子逆时针旋转后一直是c，d两脚与地面之和为0，A、B两脚与地面之和一直不等于0？

renOxuan

A,B旋转后为A',B'则ABA'B'为任意四边形，由假设可知至少3点着地，易知A'，B'距地面和f()=0 回答完毕！