我们这篇文章的内容关于统计学中的泊松分布。 举个栗子
/ A4 s" n: C, C4 A泊松分布在概率统计当中非常重要,可以很方便地用来计算一些比较难以计算的概率。很多书上会说,泊松分布的本质还是二项分布,泊松分布只是用来简化二项分布计算的。从概念上来说,这的确是对的,但是对于我们初学者,很难完全理解到其中的精髓。 B* r0 ~. y. S8 c- F
所以让我们来举个栗子,来通俗地理解一下。
& q5 l7 z R. ^$ ]' q3 p3 c假设我们有一颗栗子树,有时候因为风或者是小动物活动的关系,树上可能会掉下栗子来,树上掉栗子显然是一个偶然事件,并且发生的概率很低,那么我们怎么求它的概率分布呢?泊松分布解决的就是这样一个问题。 ; c. d, h/ I5 M' Y3 p
好像没有一个模型可以直接来刻画这个问题,必须要经过一些转化。 $ D, f7 m, F, n4 A$ a! v
其实我们可以将事件切分,将这个问题转化成二项分布问题。
1 V! z! b. l H* K
+ U( X- L" i1 V$ e. I V5 `& P比如我们把一天的时间切分成了若干份,这样对于每一份时间来说,最多只会掉一个栗子。那么,这就转化成了一个二项分布问题。理论上来说不会有两颗栗子掉下的时间完全一样,所以只要我们将时间切分得足够细,就可以保证一段时间之中最多只会掉下一个栗子(否则就不满足二项分布)。 ! H$ U( [) G6 r5 [
假设我们把一天的时间切分成了n份,我们想知道一天当中会有k个栗子掉下的概率,根据二项分布的公式,这个概率就是: f5 M' d, X+ l
. W. G# u# w& S' K3 E, B! @" t4 ?& p
到这里,我们往前迈出了坚实的一步,写出了概率的表达式。 推导泊松分布, ~/ e, V' ^- l* x: k
我们虽然有了式子,但是好像没什么用,因为我们只知道p是单位时间内有栗子掉下的概率,我们怎么知道这个概率是多大呢?难道还真的去测量吗? / d0 ^' { X% p3 l9 H2 J/ q
要解决这个问题,还得回到二项分布。我们可以利用二项分布求一下每天掉下栗子数量的期望,显然对于每一个单位时间而言,发生栗子掉落的概率是p,所以整体的期望是: 1 [; s, _8 u; s( B
- |. }; W3 c$ B, t" U4 N" E
我们令这个期望值是,那么根据这个式子,我们可以表达出p了。8 D) F2 j) r- F5 _
' w( ]+ ?7 k* q; ^/ \5 z我们把这个p的式子带入原式,可以得到:% Q" r S9 R' f J
, W( I# \! q, S) H
我们来算一下这个极限:& C. {& @# r2 @+ Y4 n# N
5 e* S; p# ~7 G+ r我们把这个极限拆分开来看,其中:
/ Q/ _. G% ^8 s; ~, p2 W6 s
9 b7 C1 Z( n( I+ ~2 `所以,我们代入,可以得到:
' ?+ r) \1 @& [) ~& c- W8 G
. }& F2 v4 |2 v1 ]1 B4 @ [这个就是泊松分布的概率密度函数了,也就是说在一天当中掉下k个栗子的概率就是。
k6 i/ a& b6 @& ^9 \5 @ A, Z也就是说泊松分布是我们将时间无限切分,然后套用二项分布利用数学极限推导出来的结果。本质上来说,它的内核仍然是二项分布。使用泊松分布的原因是,当n很大,p很小的时候,我们使用二项分布计算会非常困难,因为使用乘方计算出来的值会非常巨大,这个时候,我们使用泊松分布去逼近这个概率就很方便了。 结尾和升华- K# G3 q' Y/ [$ J! m
我们根据推导出来的结果,感觉只要是n很大,并且p很小的场景都可以使用泊松分布。但是这毕竟只是一个感性的认知,在统计学上对于这个问题也是有严谨定义的。我们来看一下严谨的使用条件的限制,大概是这么三条。
" N- W# K3 y0 {0 g- 当我们将时间进行无线切分之后,在接近于0的时间段内事件发生的概率与时间成正比。
- 在每一段无限小的时间段内,同一事件发生两次的概率无限接近于0
- 在不同的时间段内,事件是否发生互相独立
! M& J C, }3 b( ^, s 2 L1 u& D, A4 V/ I9 p9 H- G% z
最后,我们看一道书上的例题,实际感受一下泊松分布的应用。假设我们有一批零件,它的次品率是0.1%,也就是千分之一。请问我们生产一千个产品当中至少有两件次品的概率?
% _6 s# E% {& S$ O- H- R1 J这道题应该很简单,要求两件及以上次品的概率,我们只需要计算出只有零件和一件次品的概率,然后用1减去它们即可。我们首先根据n和p算出: X% `; e; M: x2 H4 {1 l! |" s
我们带入泊松分布的公式: 7 g" I) T# a1 p& n
如果我们要用二项分布来计算,那么就需要计算0.999的一千次方了,这显然是非常麻烦的,这也是泊松分布的意义。 转载于公众号:TechFlow
( c9 P$ U/ o7 Y {" r/ Y' l6 G; R; q, {: f. b
; `2 _8 M# p4 S5 V$ k3 W1 Z( ~
7 B/ c7 a) u1 v2 N7 a/ X
|