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TA的每日心情 | 开心 2020-11-14 17:15 |
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1 基本概念
, x* [" B- {) i% j6 j" _5 E. c连通的无圈图叫做树,记之为T 。若图G 满足V(G) =V(T ) , E(T ) ⊂ E(G) , 则称T 是G 的生成树。图G 连通的充分必要条件为G 有生成树。一个连通图的生成树 的个数很多,用τ (G) 表示G 的生成树的个数,则有公式
( k6 }% o/ y! ~' r5 O' v' n. M8 S1 U `1 `2 \1 n! [3 W
& n4 J1 P. V. w1 x1 T0 L* [9 E, [! n树有下面常用的五个充要条件。
0 K4 H7 D1 |( G3 D: Y' X% g7 r; h! {
定理 1 (i)G 是树当且仅当G 中任二顶点之间有且仅有一条轨道。
! U: ~ t- n$ b- Q& P$ A- D3 L" p% N1 s% c& L! V: a
(ii)G 是树当且仅当G 无圈,且ε =ν −1。
( P2 ^& Q7 G5 I1 I' C# E+ v9 ]# r# K' B6 v4 F A
(iii)G 是树当且仅当G 连通,且ε =ν −1。 ?% A$ y1 Q8 y( L; k: t
- o" i' D: M* h- L9 ?. }, s
(iv)G 是树当且仅当G 连通,且∀e∈ E(G) ,G − e 不连通。! c( W2 z* D* z" C2 S
, l K3 i7 X' ^# r# J5 y$ s* L& z(v)G 是树当且仅当G 无圈,∀e∉ E(G) ,G + e 恰有一个圈。
# d4 [6 r, a, {9 C3 J& u2 ^. I. U3 R3 u
2 应用—连线问题
3 h( u/ {( F* N5 L# n& r. ~ 欲修筑连接 n 个城市的铁路,已知i 城与 j 城之间的铁路造价为Cij ,设计一个线 路图,使总造价最低。
* v& C6 z' p0 W' z- `. [* d
7 v1 l5 r' ~/ K' J! P* @6 j4 \连线问题的数学模型是在连通赋权图上求权最小的生成树。赋权图的具最小权的生 成树叫做最小生成树。
! W H- Q/ s" |/ C4 n: j
( ]- W+ f. c- f. F2 S; R' ^下面介绍构造最小生成树的两种常用算法。
8 S9 K. |8 B: Y: Z1 A) n0 g- F
1 {/ v2 F. l& u; U! C8 ]2.1 prim 算法构造最小生成树( X& N/ j7 \+ B' U7 @
设置两个集合 P 和Q ,其中 P 用于存放G 的最小生成树中的顶点,集合Q 存放G的最小生成树中的边。令集合 P 的初值为 { P = v1 }(假设构造最小生成树时,从顶点 v1 出发),集合Q 的初值为Q = Φ 。
8 ~" ]/ s* ^( f; H# Q% s: T
* m b; g% j+ M& C% Aprim 算法的思想是,从所有 p ∈ P ,v ∈V − P 的边 中,选取具有最小权值的边 pv ,将顶点 v 加入集合 P 中,将边 pv 加入集合Q 中,如 此不断重复,直到 P =V 时,最小生成树构造完毕,这时集合Q 中包含了最小生成树 的所有边。8 u0 d: T% Y; A% g# c& R4 B
( p5 E0 S" Z/ j6 }
5 j. G4 u" K! J. r3 I, l+ C
; q# s. t2 T/ d) H
例 13 用 prim 算法求图 5 的最小生成树。 我们用 的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matlab 程序如下:
! c t V* n& e6 `' I9 P5 [ F U* q( E- Q
5 E3 M; r# Q3 g% S6 P pclc;clear;' y" k0 F5 ]; u; }% J
a=zeros(7);; U2 Q0 ?- g9 v8 [' J0 w
a(1,2)=50; a(1,3)=60;
( V, o/ |7 N, }0 s. Pa(2,4)=65; a(2,5)=40;9 o% t/ K4 H5 o# v+ [/ v: [
a(3,4)=52;a(3,7)=45;
0 U0 d5 f4 F1 g" a' ~a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;6 H1 y6 b* |; a; }# z# g: V6 p7 u
a(5,6)=70;
' R0 n; F4 K( N1 |7 P8 y* Ra=a+a';a(find(a==0))=inf;, W- a5 U! z9 z# t. C+ @( Y
result=[];p=1;tb=2:length(a);2 i! x& ]- M3 x/ e+ x
while length(result)~=length(a)-18 J6 c% S. C! f: w
temp=a(p,tb);temp=temp(;
% I1 g' Z1 o; n% S/ F( Z: S1 G d=min(temp);
4 D6 q" }1 a. E8 O2 y [jb,kb]=find(a(p,tb)==d);
. u2 Z7 c2 j& K: U/ s5 t Z4 _ j=p(jb(1));k=tb(kb(1));
% p0 ~9 H+ L# F6 v3 Q$ t& l result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[];
2 l# z! M6 Q8 qend
5 E) v) U5 \9 ^result- n# {% G9 G% E& B, F2 P( D
+ Q5 M6 E/ p# O2.1 Kruskal 算法构造最小生成树9 o m( o. C. a& Y7 ]/ J
科茹斯克尔(Kruskal)算法是一个好算法。Kruskal 算法如下:, L- W' S5 A% x5 K; v; q; U
2 t9 D. L# v2 t* v: I+ ?1 V5 n: @# h4 V! G3 D% k
5 o9 c2 T$ O, ^1 N: [% ?6 I
例 14 用 Kruskal 算法构造例 3 的最小生成树。 我们用 存放各边端点的信息,当选中某一边之后,就将此边对应的顶点序 号中较大序号u 改记为此边的另一序号v ,同时把后面边中所有序号为u 的改记为v 。
/ k# B/ M+ b5 i. x( k) }$ g
# s3 W! @; \9 [; V4 M0 c+ O0 q此方法的几何意义是:将序号u 的这个顶点收缩到v 顶点,u 顶点不复存在。后面继续 寻查时,发现某边的两个顶点序号相同时,认为已被收缩掉,失去了被选取的资格。 Matlab 程序如下:
+ m0 P) O9 y: ?/ E4 o, m
( A1 i2 c8 {8 R4 k; X9 a( ?! v& |clc;clear;
/ \; E" G" j2 ma(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; O+ N" t! p) ^* V- |& U
a(3,4)=52;a(3,7)=45; a(4,5)=50; a(4,6)=30;
* l' k: _+ h: [) Y' z% P2 d. oa(4,7)=42; a(5,6)=70;
]6 P- u, }. g. D" y" a3 x[i,j,b]=find(a);4 a, j8 \. K4 e( O. `
data=[i';j';b'];index=data(1:2,; `8 K% L3 N$ s% v+ ]
loop=max(size(a))-1; T; |4 J6 j5 e
result=[];" x/ b* u1 W, E* s
while length(result)<loop4 z6 K Q9 d7 X/ n- [5 T; F4 e& ^% w
temp=min(data(3,);! c( I& f) H1 Z8 w
flag=find(data(3,==temp);" m, `* o: V* a: `/ ~
flag=flag(1);
3 W* _/ i) y0 F* U v1=data(1,flag);v2=data(2,flag);/ C- C1 y* H; M. n |( M. w& b9 q
if index(1,flag)~=index(2,flag): A# x, c2 P/ K; l J# t2 Q' x
result=[result,data(:,flag)];
* B6 C6 J+ `" }. m- ^( H" K( q& j end
T( P6 t: p; h' I+ a( V3 i3 f index(find(index==v2))=v1;- \9 ~; R8 ?7 O! B8 l% o6 H6 V
data(:,flag)=[];8 X. ^( ]1 [# ]
index(:,flag)=[];; i: D k8 a- H% i. a
end2 y0 u* s- z* m
result , |- n; h8 Q6 Y9 s# q
9 s! V$ J3 b+ }: |
; T' E- h# o9 B# C& {2 t5 P# x7 {. {
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; p. P7 X9 H- D* a# Q: o版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。# ]; ]& W4 e9 l0 y# K- g
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, w# k; ^: E6 z6 F6 d4 Z& e. t8 T! Y# Q, H
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