2006年三峡大学第一届“求索杯”数学竞赛

yyttshsh

 

2006年三峡大学第一届“求索杯”数学竞赛

时间120分钟 总分100分

  姓名：_____  学号：______ 专业：______    成绩：_______

 

一、填空题(15分)

1.       函数 在实数轴上有__________个零点。

2.       设函数 由方程 确定，则 ＝＿＿＿＿

3.若  ，则常数a=_____,b=______,c=______。

二、选择题：（15分）

１.设函数 与 均可导，且 ，则必有＿＿＿＿．

（A）                       (B)

(C)                      (D)

2.设函数 满足： ，又在 有 ，则 ＝________.

(A)        (B)         (C)           (D)

3.设函数 连续，则 ________.

(A)       (B)      (C)          (D)

二、解答题（70分）

1．  设 除 与1两点外，对全体实数都有定义，并满足等式： ，求符合这一条件的所有函数 。（5分）

2.设 在域 上连续，对任意 ，设 是以 为中心且全含于 内且各边与 的边平行的最大正方形，若总有 ，问： 在 上恒等于零吗？（过程）（15分）

 

3.证明：若级数 收敛（ 为正实数），则级数 也收敛。（15分）

4.计算 .（5分）

5.微分学中一个并不罕见的错误是将乘积的求导数的求导法则理解成 ，若 ，问是否存在一个开区间 以及定义于 上的一个非零函数 ，使得这一错误的乘积求导法则对 中的 是成立的。（10分）

 

６.设函数 在［０，１］上可导，并有

其中 为实常数，试求 。（10分）

７.证明：任意正有理数必为调和级数中有限项之和。（10分）