序理想

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序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
, I% l0 Z; h  R6 i3 w) oI是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
( {4 O4 f' P$ B7 D- }' S6 v理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
/ @# X2 Y" V& [. \
I是下闭的。
# S1 w3 B; V2 u$ L6 Y& p2 ]6 J2 w' aI对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
5 y  v. _7 U- ~( H( b) t  t术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
7 T4 b4 U' T4 X$ s" D真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
/ m& ~2 D4 L/ v% ]$ |% K/ |包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

孤寂冷逍遥

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滤子的最一般定义是：
- r& p) Q: G' [& }3 c8 c* ]
( o: d1 H$ z$ g偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
- f8 i2 {2 p+ U. M! l
) V2 m+ N* K' M∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
, C- {4 |; j+ h2 oF 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
. ?1 P6 b, v& T( \滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。

! w" o2 X' `* v* R: v
滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。