序理想

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序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
1 S5 F7 U7 P% ]1 o  t% n' ^7 KI是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：

I是下闭的。
I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。
3 k  _3 U; A. k$ o: J. e
理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
, }4 Y- J+ K; p, w3 l包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

孤寂冷逍遥

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滤子的最一般定义是：
/ l; o3 k- z* H6 p6 B
2 ?9 Y5 K6 R1 |8 U9 E偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:

∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
7 E3 a! b  V# O/ ^  N" ^" v4 WF 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
8 b* M, [1 M$ d, j0 g滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
( D0 P" a! ?+ N5 c
% V. Z, z# D/ B! x% Y9 n* S/ `, @, D) \
$ V- Z9 A: O' z- z滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。