序理想

lilianjie1

序理论中理想的最一般的定义如下：
% ~" Q6 w3 B. C8 x8 S& b
偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:
. E. h; x9 l4 w9 v* i, l
I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
3 Z, Z4 x1 t' FI是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
+ V; {% a7 X- i; d' q
7 r. C' c' W! @I是下闭的。
I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
; s0 k6 X5 l; h& D$ t. C! n术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。
- y7 ~  L8 a7 k+ ~4 ~# M

孤寂冷逍遥

lilianjie1

滤子的最一般定义是：
2 x3 `" h7 C* z0 X* O
偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
# M, L) B  X, K) w2 s
0 f  ^- ^8 U2 U9 q; @$ _  h∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
* u7 r0 z2 z2 ]- |$ v7 ZF 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
" {( H- l. o( a6 Z# p' z滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。

# r6 c  X9 I9 b$ u
滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。