序理想

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序理论中理想的最一般的定义如下：
/ j) q2 w0 @0 [! t/ o4 R$ I
( p0 m" t) E6 P5 n- }( ]偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
# t1 g6 F* z* n2 x3 n; s理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
6 T% S4 H: i7 Y# P0 \, }
I是下闭的。
% O+ |: v; ]2 l% L+ P' [I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
# r7 E" f+ J0 Q术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
' ?! O$ ], W- L& D真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

孤寂冷逍遥

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滤子的最一般定义是：

* C$ Y  G/ N1 h9 u偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
- d0 p$ Q. O3 R5 i0 x5 c
∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
8 y4 `2 y; P$ Z5 t& c2 e滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。

* T& z' x  v0 k# M9 W
4 |* @% W' r* G" t6 g滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
' Y. o6 v7 [7 ^% V6 y真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。
0 s; D( I0 x% O; l5 l5 ]6 Q