一道线性代数证明题 求高手指教~~~

yt@A

证明的两个子空间的并集也是的子空间当且仅当其中一个子空间包含于另一个子空间。
充分性是显然的 但必要性怎么证呀？不懂呀
求教

黄元辰

这其实也是显然的，设任意a属于A和任意b属于B，如果能推出a属于B或b属于A，至少有一个成立，那么是不是A包含于B或B包含于A就必有一个成立。而根据子空间对于加法的封闭性这一结论是容易得到的。

黄元辰

其实也是显然的，因为设任意a属于A，b属于B，只要能够推出“a属于B”或“b属于A”至少有一个是成立的是不是就有A包含有B或B包含于A了。而这用子空间对于加法的封闭性是可以立即得到的。

宇烟小蒸包

yt@A 发表于 2012-1-27 22:45
; O) x# C" H! m2 N  W8 T* T; m0 C然后百度的解答看不懂的说：
设V1 包含于 V2
V1∪V2=V2 ，当然是子空间。

这不是并集的定义吗？
设A，B两集合，x∈A∪B当且仅当x∈A或x∈B。

宇烟小蒸包

设E,F两个向量空间，满足E∪F为向量空间。假设两者无包含关系，那意味着存在E中的向量x满足x￠F且存在Y中的向量y满足y￠E，但E∪F为向量空间，故x+y∈E∪F,假设x+y∈E，又x∈E，则推出y∈E,矛盾；x+y∈F,y∈F,得x∈F同样矛盾。所以E，F有包含关系。

yt@A

求教~

yt@A

然后百度的解答看不懂的说：
0 H' t* K( z& b+ y4 S设V1 包含于 V2
V1∪V2=V2 ，当然是子空间。
0 f; X7 }/ G6 u7 N1 A- B* U0 W
6 @. p4 Z( m1 z9 \另一方面：若 V1∪V2是子空间
但无包含关系。则有 a∈V1但a不属于V2
* b) g% q$ ?3 f) j7 r+ cb∈V2但b不属于V1
则有 a+b ∈ V1∪V2
) w/ A; b3 m" u6 H, S情况1：若 a+b∈V1，则 b= -a+(a+b) ∈V1，与b不属于V1矛盾
9 k; p% d4 O; n% K. _/ y情况2：若 a+b∈V2，则 a= -b+(a+b) ∈V2，与a不属于V2矛盾
# ?4 c. @5 `6 a8 a9 @
; q4 ?4 a" C0 p- g无论怎么样都有矛盾
所以必有包含关系
# ?7 T1 q6 I; f0 V9 _7 A. }7 U为神马a+b ∈ V1∪V2就一定是a+b∈V1或a+b∈V2呀？