微分方程组解 Stuttering Poisson分布密度函数的讨论

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2012-7-13 08:18 上传

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微分方程组解 Stuttering Poisson分布密度函数的讨论

摘要：本文把Poisson分布的普通性修改后得到一种推广的Poisson分布—Stuttering Poisson分布，它具有在充分短的时间段内来到多次事件的性质，它在库存管理、运筹学、经济学等领域都有应用。类似微分方程法解得Poisson分布的密度函数，本文构造差分微分方程，然后将其转变为常系数线性微分方程组，用欧拉方法最终求得了Stuttering Poisson 分布的密度函数，并对密度函数形式给出了一个直观解释。

关键词： Poisson 过程的叠加；Stuttering Poisson 分布；差分微分方程；常系数线性微分方程组

Stuttering Poisson 分布是离散型的复合Poisson 分布，它具有在充分短时间内来到多次事件的性质（叠加性）。
" y2 e& E& T$ h, I7 D" g5 jPoisson分布具有平稳性、独立增量性（无后效性）、普通性。其中的普通性值得我们去思考，例如李贤平所著的《概率论基础》中普通性是这样定义的：在充分小的时间间隔中最多来到一个呼叫。这里的“来到一个呼叫”
; U" t- |/ d! E7 G可以换成其它事件。例如：来到一个人、来到一个微生物、一封信。那么我们是否可以假设在充分小的时间间隔中最多来到多个人或者多个微生物。结合实际，有：
: o' _0 @2 k+ a; C情形 1：平信投到邮筒，如果瞬间在那个人投一封信到邮筒，那么形成一个泊松过程,但是每一个人但是可能拿着至少一封邮件,那么单位时间内寄出的信件服从什么分布呢？
4 f6 Z  J5 L( Y. X情形 2：显微镜下观察某区域中的细菌时，某些细菌会处于在二分裂繁殖、三分裂繁殖或者多分裂繁殖的过程中，观察到的一个细胞可能是2 个细菌或者更多的细菌。
情形 3.在罪犯之中，有的人可能是犯有多重谋杀罪。
5 i# V; ~' F) g情形 4.在保险业中，索赔的客户可能买了多份相同的保险（可以证明，在非寿险精算中常用的负二项分布就是Stuttering Poisson分布）。
! f& _1 w9 o: h3 A情形 5：学生进食堂吃饭时，我们考虑通过食堂门口的人数（规定一条线作为标志），在食堂门口，我们可以经常看见手牵手并行的伴侣，或者其他朋友关系。
" h8 X* V- `; R$ q情形 6：我们考虑人行道上通过桥头的人数（规定一条线作为标志）。在熙熙攘攘的人行道上，有些人是结伴的，他们走在一条线上，两个人结伴并行的，他们可能是一对伴侣，或者其他朋友关系；三个人结伴并行的，他们可能是一家三口，又或者其他原因并行； 人并行也不是不可能，在计数的时候，我们的肉眼就难以区分是谁先通过桥头了，于是把并行的当作“合体”来看待。我们假设人结伴通过桥头在整个人群中是有一定比例的。
  Y) ~$ r# Q- r6 e/ H- v" d& I情形 7：在库存管理理论中，顾客的到来后，可能一次购买多件相同的商品。
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