<四色猜想的归纳法证明>中的HEAWOOD反例构形集

张彧典

       我在《四色猜想的归纳法证明》中，重点研究了heawood反例构形的结构特征

) k5 \4 k* q  T2 |6 i# h在此基础上提出了“符合heawood反例构形结构特征的构形究竟有多少”的疑问。

于是我首先建立了heawood反例构形的结构模型，然后在这样的模型中添加某些点

之间尚未确定相邻的连线（即边），使之成为标准的三角剖分图，最后用kempe链

, R. N* _$ f3 \' `. O法以及heawood换色程序给之正确四染色。实践发现，不同连线所构成的不同
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heawood反例构形（即不同的标准的三角剖分图），其正确四染色的程序次数不尽

; O; e  |( {& I0 F9 M7 {8 u相同。
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( S9 j$ l: S. k( q4 y       是什么因素影响heawood构形正确四染色的换色次数呢？我带着这个问题反过
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来考察这几个heawood构形时发现：原来是任意两点的不同相邻关系在起作用，也
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就是四色地图中所固有的“6种色链的不同数量组合”在起作用。这6种色链的不

' u$ ^1 S' d$ Z- m同数量组合确定了9个heawood构形中的前三个构形（实际有四个，只是其中两个
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- q$ N! J) l+ r8 C: m0 A虽然有色链的不同数量组合但是因有相同的换色程序而归纳为一个）。基于这样
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的认识，我开始构造换色程序次数更多的构形，经过一年的时间终于构造了5个换
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7 J- I. R1 b( v) U; b色程序次数依次增多的heawood构形，而且确认换色程序次数的最大值是9次；同
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时确立了影响这些构形的理论是“6种色链的不同相交组合”。到1999年，我把英

文论文寄给英国，很快收到LANCASTER大学A.clehoyd教授的复信以及寄来的《已
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- s0 C6 p3 b- C, |- w$ g* P& y知的heawood范例》，文章中的范例2是我的9个构形所没有包含的，而且用发展了

2 s5 ^: S. V$ i1 f2 b2 A( P的heawood换色程序（8次换色程序）不能给这个构形正确四染色，因为发生周期
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循环。但是我很快发现这个构形之连续周期变化的四个构形有一个共同的染色特

( c, ^2 }$ C8 s征即都含有A-B环，所以给出我的特殊解法“张彧典换色程序"两次即可给它们正
6 p: {, s. r! _4 e: g1 p, a: G! {" K
$ c4 {" Q* K& n5 Y+ k: r确四染色。但是它们的结构是否能够归于6种色链的不同数量组合或不同相交组合

& V! e. S7 Y, o5 Q* j$ ]8 k( \1 j吗？又经过一年时间，在我发明一个《四色攻关》的游戏时终于发现它们是两条

对称色链在heawood模型外的特殊对称相交组合（这样的构形就是敢峰先生在《四

色定理简证》中给出的那个经过20次色交换还原为初始染色的构形），然后对之

进行拓扑变换，就变成范例2了。到此我完成了heawood构形集的创新构造工作
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+ |% j- m: K' R- F       有人质疑：heawood构形的多少对证明四色猜想没有作用。我认为这样的认识
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# d. _+ m. O& |" D3 F是没有理论依据的。

) M! m+ }8 g+ z. M      众所周知，kempe证明一个区域与5个区域相邻时四色猜想成立是有漏洞的
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5 q8 @; m" I+ I" d。他只证明了我们所设双B夹A型构形之A-C、A-D两链不相交的简单情形，通过两
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次独立的B-D、B-C二链之色交换给v正确四染色；但是，他没有考虑A-C、A-D两链

- k! {  q) ^% p# [! ~( y. M: m; O因为都含A色而相交的复杂情形。heawood构造了一个反例正是弥补了kempe构形的

不足。如今，含25点的heawood反例构形已被我们（包括叶凤常、雷明等）简化为
, }, F- J; d: J  A) u
5 M0 s8 j. Q  x9 ^  r, m& t5 w( d& R9点构形，同时通过3次色交换可以给v正确四染色。

: s1 g; }( }: c  [      从kempe的6点构形到heawood的9点反例构形，构形结构渐趋复杂，从kempe
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+ G6 v* C' V* I3 |. u的2次色交换到heawood的3次色交换，换色次数渐趋递增，我们不难推想：是否还

有比9点构形更复杂、色交换次数更多的heawood反例构形呢?这样的构形是否存在
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1 U: ^- g( L8 T4 m2 X: O( }一个上限值？如果存在，kempe证明所漏掉的构形就是一个有底黑洞。找到了所有
2 A9 o. Z$ Y5 ]# r+ ~
漏洞构形，kempe证明不就完善了吗？我们正是基于这样的认识找到只含有9个
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+ Q" v" W4 F1 a! h6 j* h9 `heawood反例构形集的。
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  M/ ]7 K9 P) W" e) @. e! c) J        我们用四色地图中所固有的6种色链在构形模型中的不同数量组合和不同相交

组合理论所确立的9个HEAWOOD构形中，前8个构形应用发展了的KEMPE-HEAWOOD换
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色程序经2—9次依次增多的色交换就可以给它们正确四染色，最后一个构形可以
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应用我发现的特殊换色程序两次即可给它正确四染色。

1 a3 q' r8 N3 C$ d! k       这9个构形都是最简构形，即点、边数最少。为什么应是最简构形呢？这是因

为，KEMPE认为：要想证明四色猜想，只需证明不可能存在最小五色地图即可。这

1 ~8 l) e2 v' U+ h, `是与他利用欧拉公式证明任何正规地图都不可避免地含有“一国与二、三、四、
1 F! M7 r1 `4 g5 ~3 G. j
五个国家相邻”这四种最简构形的科学结论所形成的思想相关的。HEAWOOD成功证

! s& t- e+ ^+ `$ g- @明五色定理就是以这样的思想作指导的。有的人不全面了解这样的背景，就妄加

. Z7 B/ \  b$ Z2 ]9 U评论HEAWOOD证明五色定理是错误的。也有的人非要通过证明“一国与任意多个国

家相邻”的构形证明四色猜想，我想这种脱离前人已有成果的创新恐怕是徒劳的
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5 U8 }/ }. `3 K  Z6 u9 I8 E! @。
      值得庆幸的是，我们的9个构形中竟然包含了跨度100年的两个重要反例：
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9 I( s5 `) n; e0 @一个是1890年的HEAWOOD反例，一个是1992年的HOLROYD-MILLER反例；甚至还包括
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" `% F/ z  G7 k' Z2 x7 u& \8 w了汉诺维尔大学希什的三个约化障碍构形。

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嗯  值得思考的问题！！！！！！！！！！！！！

lillianxiong

和数模有什么关系呢