各位高手，有8道基础菜鸟级的图论题亟待解决

东京流浪猫

1、        拥有p个顶点，q条边，r个区域，kge连结成分的平面图G，满足等式p-q+r-k=1。证明之。
1 b6 N+ S" o8 @/ [$ e4 |) d2、        K是奇数，请证明k正则图的顶点数为偶数。
( G' y* y/ R( ]2 b6 l) M3、        G是连通图。请证明G的任意两条最长路径都通过某个共同顶点。
4、        G是顶点数4个以上的2连通图。请证明以下两个命题等价:
* i' U$ N& k( _9 v5 }- }6 X          (1)        从G删除相邻连接的顶点后将是非连通图；
      (2)        两顶点之间相连的边收缩后的图不是2连通图。
( H$ j0 B8 |  T, V! |" s- Y5、        请画一个不拥有1因子的3正则图。
& l1 u6 i* @( J! @& w! ?$ X6、        请证明图K2，n的全域树的个数是n2n-1
7、        G是平面图。请证明G的任意平面图不持有相互邻接的5个面（包括外面）。
8、        请画出拥有8条边且不包含三角形的最小顶点数的图。并证明这个图是最小顶点数的图，且有2个存在。
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