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Springer2013新书微积分及其应用Calculus With Applications(2nd ed)Peter D. Lax

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发表于 2015-4-11 14:30 |只看该作者 |正序浏览

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微积分及其应用（第2版）Peter D. Lax, Maria Shea Terrell, ''Calculus With Applications, 2nd Edition .pdf

【作者介绍】美国纽约大学与康奈尔大学两所著名大学的数学大牛联手为本科生打造的教材(包括复变函数，微分方程，概率论)，其中Peter D. Lax 可谓超级数学大牛，得奖无数。

English | 2013 | ISBN: 1461479452 | PDF | 516 pages | 6.87 MB

1 Numbers and Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1a Rules for Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1b The Triangle Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1c The Arithmetic–Geometric Mean Inequality . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Numbers and the Least Upper Bound Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2a Numbers as Infinite Decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2b The Least Upper Bound Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2c Rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Sequences and Their Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3a Approximation of
√
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3b Sequences and Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3c Nested Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3d Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 The Number e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Functions and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1 The Notion of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1a Bounded Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1b Arithmetic of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2a Continuity at a Point Using Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2b Continuity on an Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2c Extreme and Intermediate Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3 Composition and Inverses of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3a Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3b Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.5 Exponential Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5a Radioactive Decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5b Bacterial Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5c Algebraic Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5d Exponential Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.5e Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6 Sequences of Functions and Their Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.6a Sequences of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.6b Series of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.6c Approximating the Functions
√
x and ex . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 The Derivative and Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1 The Concept of Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1a Graphical Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.1b Differentiability and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.1c Some Uses for the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2a Sums, Products, and Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2b Derivative of Compositions of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2c Higher Derivatives and Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3 Derivative of ex and logx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3a Derivative of ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3b Derivative of logx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.3c Power Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.3d The Differential Equation y = ky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.4 Derivatives of the Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.4a Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.4b The Differential Equation y +y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.4c Derivatives of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . 159
3.4d The Differential Equation y −y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.5 Derivatives of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4 The Theory of Differentiable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.1 The Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.1a Using the First Derivative for Optimization . . . . . . . . . . . . . . 174
4.1b Using Calculus to Prove Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.1c A Generalized Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.2 Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.2a Second Derivative Test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.2b Convex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.3 Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.3a Examples of Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.4 Approximating Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5 Applications of the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.1 Atmospheric Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.2 Laws of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.3 Newton’s Method for Finding the Zeros of a Function . . . . . . . . . . . . 225
5.3a Approximation of Square Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.3b Approximation of Roots of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.3c The Convergence of Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.4 Reflection and Refraction of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5 Mathematics and Economics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1 Examples of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1a DeterminingMileage from a Speedometer . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1b Mass of a Rod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.1c Area Below a Positive Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.1d Negative Functions and Net Amount . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.2 The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.2a The Approximation of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.2b Existence of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.2c Further Properties of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.3 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.4 Applications of the Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.4a Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
6.4b Accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.4c Arc Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.4d Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7 Methods for Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.1 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.1a Taylor’s Formula, Integral Form of Remainder . . . . . . . . . . . . 295
7.1b Improving Numerical Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.1c Application to a Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.1d Wallis Product Formula for π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.2 Change of Variables in an Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.3 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
7.4 Further Properties of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.4a Integrating a Sequence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.4b Integrals Depending on a Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
8 Approximation of Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.1 Approximating Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
8.1a The Midpoint Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
8.1b The Trapezoidal Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.2 Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.2a An Alternative to Simpson’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.1 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.1a Arithmetic of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
9.1b Geometry of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.2 Complex-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
9.2a Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.2b Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
9.2c Integral of Complex-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.2d Functions of a Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.2e The Exponential Function of a Complex Variable . . . . . . . . . 368
10 Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.1 Using Calculus to Model Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.1a Vibrations of a Mechanical System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.1b Dissipation and Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.1c VibrationWithout Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
10.1d Linear Vibrations Without Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10.1e Linear Vibrations with Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.1f Linear Systems Driven by an External Force . . . . . . . . . . . . . 391
10.2 Population Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
10.2a The Differential Equation
dN
dt
= R(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
10.2b Growth and Fluctuation of Population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
10.2c Two Species . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10.3 Chemical Reactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
10.4 Numerical Solution of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
11.1 Discrete Probability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
11.2 Information Theory: How Interesting Is Interesting? . . . . . . . . . . . . . 446
11.3 Continuous Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
11.4 The Law of Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Answers to Selected Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

zan

微积分, Peter