一道较难的函数题 急!

wilsonlouis

题目：已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于
f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证:
- O4 m" I; n# y  h; Z(1)af[m/(m+1)]<0
0 A- B' D) @9 N& m5 q(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.

xiang1990

呵呵，有意思

wilsonlouis

这个题挺有意思的。
第一问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
" w9 A/ y) y% U此式两边同乘以m
得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0
6 s) }: g, R0 E# w& I4 u∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2)
9 p. R* \0 x& Eaf[m/(m+1)]
=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]}
8 H) ?8 u  [  u) K8 d  w2 W" q$ J=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)]
=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)]
3 G8 Y; _6 ?, g# T9 K: u, z7 w∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0
∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
+ q/ e. [" X) z( q, d而(a^2)(m^2)>0
∴af[m/(m+1)]<0
5 {; t4 d5 }$ ?0 m' i
第二问：
' @6 j9 a9 f9 T  }a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
两边同时乘以(m+1):
9 q4 e4 f# y; [* Z+ Ia(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0
b=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m
/ g, ~* i  x1 \af(0)=ac
af(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m
此时要利用第一问的结论：af[m/(m+1)]<0……①
如果ac>0,即af(0)>0，与①式相乘
9 m& e* N# a$ B1 E3 j" G! [4 L得：[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0
3 B; n# [% B/ _1 T∴f(0)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解
如果ac<=0,那么-ac>=0
∴a^2/(m+2)-ac/m>0，即af(1)>0，与①式相乘
得：=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
∴f(1)f[m/(m+1)]<0
$ ^! W$ H; i, ~6 ~( E  m∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解
∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分
2 J7 a; n4 b% Y8 v∴综上，方程f(x)=0在(0,1)内有解.
; e& s( N8 d+ C3 y9 m( W# c! C: i结论得证！

现实不是小说

证明：（1）af[m/(m+1)]=a*[a*m^2/(m+1)^2+b*m/(m+1)+c];
          有已知条件可得-a/(m+2)=b/(m+1)+c/m；
       代入得a^2*[m^2/(m+1)^2-1/(m+2)];
8 \, r: U( V1 \% G/ t" x/ I7 f           通分化简可的结果，相信你也会。
      （2）af(0)=a*c;
                 af(1)=a^2+a*b+a*c;
! u' l0 {8 a( h9 v4 G7 b                  讨论：
          1）如果ac=0,则c=0;
                  af(1)=a^2*(1+b/a);
/ ]6 _( k; S- x+ N% {                   已知条件可化为1/(m+2)+b/a*1/(m+1)=0;
                   可得0>b/a>-1;
                    代入得af(1)>0;
                    结合（1）的结果可得方程f(x)=0在(0,1)内必有一零点；
* c" ]7 M- I- s7 _( e         2）ac>0,自然得证；
2 v, ?' a- R) }2 ^& H3 L8 R1 P         3）ac<0.
) y) Q& `$ O& P$ R  [4 }' x                  a^2/(m+1)+a*b/(m+1)+a*c/m>0;
1 j! J  Q' F8 r. F8 h# r( ^                 得a^2+a*b>0;
) _) Y% z9 v9 `                 则(a^2+a*b+a*c)/m>0;
                   因为m>0;
                 a*f(1)>0;
$ R& L* V4 v+ W9 ^- |9 d" k                 得证。
8 Q/ {" l" L5 ^; ]+ a4 _% f; ^) t             如有其他方法请提出宝贵意见，比邻赐教！！！！