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CUMCM 2017 problems notes

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magic2728

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发表于 2017-9-17 00:20 |只看该作者 |正序浏览

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CUMCM 2017 problems notes
By magic2728
Problem A
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

A题  CT系统参数标定及成像
CT(Computed Tomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统如图1所示，平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。(bk1,1’,1’’,1’’’)
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。(pr1)
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(spm1)
(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。
(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。
(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。

(1)-(4)中的所有数值结果均保留4位小数。同时提供(2)和(3)重建得到的介质吸收率的数据文件（大小为256×256，格式同附件1，文件名分别为problem2.xls和problem3.xls）

图1.  CT系统示意图    图2.  模板示意图（单位：mm）图3.  10个位置示意图

此题中规中矩，是经典的国赛风格，看起来就像是扩大规模的数学应用题一样。相关标注在正文中指出，没有太大分析难度，重点在我们建立参数标定以及探测未知物体的具体算法原理和实现，其中前者又是后者的前提了。最后以数据结果的方式交稿，估计也要以和标准答案的差距来评价论文好坏了，以结果论英雄的国赛风格啊！
总的来看两个个问题：
1.参数标定：旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向为一组标定结果，而其必定是已知衰减率物体和探测结果的函数，而如何能够最精确的测定，应该在函数中能够自然体现了；
2.实测结果：2，3两个小问是同一个问题，实际难度略有差别，但是都离不开那个基本原理：确定一个物理参量，寻找该物理参量的线积分，获得所有方向内的线积分，就能够求得该二维分布函数。这里在计算机上计算，都是离散化处理的，原理却能够指导我们正确的方向。
所以本题离散处理后，本质上是个解线性方程组的问题，而且测量是冗余的，也会有误差，在测量系统一定的情况下，我们要求出物体形状信息的最优解，实际上是一个线性方程组的最小二乘解，不能在多说啦，再说就作弊啦，大家加油！

Problem B
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）

B题  “拍照赚钱”的任务定价

“拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。（bk1,1’,1’’）因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。（pr1）
附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。（rsc1,2,3）请完成下面的问题：
1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。（spm1）
2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。（spm2）
3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？（spm2’）
4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。（spm2’’）

附件一：已结束项目任务数据
附件二：会员信息数据
附件三：新项目任务数据

上一题是物理问题建模，这一题到社会问题建模啦，数学难度上看是小不少的，但是要考虑的实际问题的因素却要复杂很多。
这是一个互联网行业常遇到的一个资源分配问题，也是市场上核心地应用数学模型的一个场景。本问题对原始问题予以了足够的简化，能够达到比赛的要求，提取了核心药店来考察，值得称赞。
在实际场景中，应该有这么几个模型来实现所谓“拍照赚钱”任务（假设用户信息完全，完成拉新工作，已在运营阶段）：
（在这里假设用户一旦预约就会完成对应项目，实际也可以用押金的方式实现）
1.任务分配模型，展示任务推荐列表 = f（任务集合，会员属性，任务属性，价格）
2.定价模型，任务价格 = f（任务性质，会员集体属性），应该是以最优的完成率和最低成本的折衷目标为优化目标的解
本题略去了1的分析，可简化理解为用户的app里从不同时间开始都展示着全部的任务，存在可订任务的最大数量，一起抢单，同等价格，至于排序推荐，不同展示等略去不分析，而着重分析2的定价模型：
第一问建立完成情况和价格及任务位置的函数，数据都有了，神经网络就可以完美解决此问题；
第二问用第一问的函数得到价格策略和完成情况加成本的函数，优化此综合目标即可得到价格和任务性质的函数，使得完成情况和成本达到给定条件的最优即为所求；
第三问所谓打包实际上是一种展示策略的微调，要求用户一次性预定一个批次的任务，那相应的定价也依据这个批次的任务集合来定，相当于扩展了之前只能对单任务定价的能力，而对于批次的划定，以及排序方式也不在讨论范围内。基本的影响分析可以是，批次定价能够以更低的价格让人愿意去顺便完成更多的任务，降低了用户的完成成本，实现价值。而价格策略正就是此价格变现的重要一环。
第四问的实施效果即第三问的结论应用，又可以套用第一问的模型，扩展到批次的完成函数，最终的完成率以及成本值也就迎刃而解了。
（本题是经典的互联网行业的基于数据的资源分配，展示，成本优化问题，想进互联网行业的同学可以赛后认真品读哦~）
祝大家好运，加油！

zan