数学悖论

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1．克里特人伊壁孟德

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伊：所有的克里特人都是撒谎者。 5 Z- U8 F/ ?1 [. D# K M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然说了假话。他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？

伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。

关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。

古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。在《新约》中，圣·保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 – 13）。

rosegun

很好玩,囚徒悖论算不算

nysysb

真是太好了。谢谢楼主。

yk47938

[em04]

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10．无穷饭店

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image001.gif">	M：在基塔离开之前，他讲了一个稀奇的故事。 基塔：“无穷饭店”是我们银河系中心的一家巨大的旅馆。它拥有无穷多个房间，这些房间通过黑洞伸展到更高级的时空领域。房间号从1开始，无限制地排下去。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image002.gif">	基塔：一天，这个旅店的客房全住进了客人，这时候来了一位飞碟（不明飞行物）的驾驶员，他正要去别的星系。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image003.gif">	基塔：尽管已经没有空房间了，可是旅店老板仍然给驾驶员找到了一个房间。他不过是把原来住在各个房间里的房客都一一移到高一号的房间。于是左边第1号房间就空出来给该驾驶员住。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image004.gif">	基塔：第二天又来了五对夫妇渡蜜月。无穷饭店能不能接待他们？可以，老板只不过把每个客人都一一移到高5号的房间中去，空出的1到5号房就给这5对夫妇。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image005.gif">	基塔：周末，又有无穷多个泡泡糖推销员来到这家旅馆开会。 赫尔曼：我能够理解无穷饭店可以怎样接待有限数量的新到者，可是它怎么能够再给无穷多旅客找到新房间呢？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image006.gif">	基塔：很容易，我亲爱的赫尔曼。老板只要把每个房间里的客人移到原来号码两倍的房间中去就行了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image007.gif">	赫尔曼：对了！这下每个房间里的人都住到双号房中，余下的所有单号房间有无穷多个，它们空出来给泡泡糖商人住！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image008.gif">	M：关于无穷大还有很多悖论。计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数。在整个宇宙中的点数是第二级无穷大数，第三级无穷大数比这要多得多！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0046.files/image009.gif">	M：德国数学家乔治·康妥发现了无穷大的这种等级，他把这种新型的奇异等级称为阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。关于阿列夫数有很多深刻的神秘性，解决它们是现代数学中最激动人心的挑战之一。

如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系。对于无穷集这—点就不成立了。看上去这样就违反了整体大于局部这一古老法则。确实，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。

无穷饭店的老板首先表明了由一切计数用的数所组成的集合（这是乔治·康妥称为阿列夫零的集合）可以与它的某一个真子集一一对应，并余下一个元素，或者五个元素。显然，这一程序可以变化，使得从一个阿列夫零集中减去它的一个子集，这个子集也是阿列夫零集，从其余下的数中就会得到所要的任何有限个数量的元素。

还有一个办法可以使这一减法形象化，想象有两根无限长的测量棒并排放在桌子上，把两棍棒的零端对齐放在桌子中心。两根棒都刻了线，按厘米计数。两根棒在右端延伸到无穷远，所有数都一一对应：0—0、1—1、2—2等等。现在想象把一根棒向右移动n厘米。移动以后，那棍棒上的所有数仍与不动的棒上的数一一对应。如果那根棒移动了3厘米，则棒上教的对应就是0—3、1—4、2—5、……。移动的n厘米代表两棍棒长之差。不过，两根棒的长度仍然是阿列夫零厘米长。由于我们可以让二者之差n为我们所要的任何一个值，很明显用阿列夫零减阿列夫零就是一个不确定的运算。

饭店老板最后施的策略就是打开无穷多个房间。这表明如何用阿列夫零减阿列夫零得到阿列夫零。让每一个数与每一个偶数一一对应，则余下的是一个由全部奇数所构成的阿列夫零集。

由实数所构成的集合形成更高一级的无穷集，康妥称之为阿列夫1。康妥的辉煌成就之一就是著名的“对角线证明”，它说的是阿列夫1的元素不可能与阿列夫1的元素构成一一对应关系。阿列夫1也就是在一条线段上全部点的数目。康妥证明了这些点怎样能与一条无限直线上的点一一对应，怎样与一方块上的点、与一无限大平面上的点；与一立方体中的点、与无限大空间中的点一一对应，如此下去还可以与超立方体或更高维空间中的点一一对应。阿列夫1又称为“连续统的势”。

阿列夫2是一切可能的数学函数——连续函数和不连续函数的数目。因为任何一个函数都可画为一曲线，我们把“曲线”取广义以包括不连续曲线，则阿列夫2就是一切可能的曲线数目。同样，如果我们所指的曲线是在一张邮票上，或者在一个无穷空间里，或者在一个无穷超空间里的全部曲线，这一切都没有问题，仍是阿列夫2。康妥还证明了阿列夫2不可能与阿列夫1一一对应。

当一个阿列夫数被升级为它本身的幂，则产生一个更高级的阿列夫数，它不能与产生它的阿列夫数一一对应。因此，阿列夫数的阶梯向上是无穷的。

在阿列夫数之间有没有什么超限数？比如说，有没有一个数比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥确信不存在这种数。他的猜测成为著名的广义连续统假设。

1938年，哥德尔证明标准集合论与不存在中介的超限数假设是一致的。1963年，保罗·科恩证明，如果人们假定存在中介数，这也不与集合论矛盾。简言之，连续统假设是由表明它是“不可判定的”来判定的。

科恩的研究结果是：集合论现在分为康妥型和非康妥型的。康妥型集合论是假设在阿列夫数之间没有中介数。非康妥型集合论是假定有无限多个中介数。情况类似于几何学中，发现平行线假设不能被证明后，几何学分成了欧氏几何和非欧几何一样。

希望学习更多关于这些神秘的超限数知识的学生可以阅读爱德华·卡斯纳和詹姆斯·纽曼著的《数学与想象力》第二章“古格尔之后”和《科学美国人》1966年三月号数学游戏部分。

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9．惊人的编码

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image001.gif">	M：基塔先生是来自另外一个时空结构中的星系——螺旋系的科学家。一天，基塔博士来到地球收集有关人类的资料。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image002.gif">	M：接待基塔博士的是一位美国科学家赫尔曼。 赫尔曼：你何不带一套大英百科全书回去？这会书最全面地汇总了我们的所有知识。 基塔：这是一个好主意，赫尔曼。可惜，我不能带走那样重的东西。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image003.gif">	基塔：不过，我可以把整套大英百科全书编码列这根金属棒上。在棒上有个标记就可以做到这一点。 赫尔曼：你不是开玩笑吧？一个小小的记号怎么能携带这么多信息？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image004.gif">	基塔：很简单，我亲爱的赫尔曼。各个符号——每个字母、数字、标点符号——都配上一不同的数。零用来隔开符号。两个零表示词之间的间隔。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image005.gif">	赫尔曼：我不懂。你怎么编码cat？ 基塔：这很简单。我马上给你看我们使用的代码。cat一词编为3-0-1-0-22。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image006.gif">	M：基塔先生用他那高级袖珍计算机快速扫描百科全书，把它的全部内容转变为庞大的数字。在数的前面加一个小数点，就使它变成了一个十进制的分数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image007.gif">	M：基塔博士在他的金属棒上标上一点，这一点把这根棒严格分成其长为a和b的两段，并使得分数a/b正好等于他那代码的十进制分数值。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0045.files/image008.gif">	基塔：当我回到我自己的星球上时，我们的计算机可以严格测出a和b的值，然后算出分数“a/b”。这个十进制分数就可以被译码、这时计算机就可为我们把你们的百科全书印出来！

还不熟悉密码的学生们也许乐意按照这里所用的数字代码来给一个简短讯息编码和译码。编码表明了一一对应的重要性，以及如何把一种结构标记为另一种同物的结构。这种编码实际上是用在一种高级的证明理论中。库尔特·哥德尔作出了一个著名的证明：一个复杂到足以包含整数的演绎系统有一些定理是不可能在该系统之内证明其是否正确的。哥德尔的证明依据的就是将一个演绎系统中的每一个定理都交换为一个特定的、很大的整数。

把一整套百科全书用一个点标在棒上只是理论上成立，实际上是行不通的。困难在于在棒上标上这个点所需的精度是不可能达到的。而且标出的点必须比一个电子小很多，两段长度的测量也必须同样精确。如果我们假定两个长度确实能够精确地测量，从而得到基塔博土的那个分数，自然用他的办法就可以成功。

数学家确信π的十进制展开式是个无穷无规律数字的序列。如果确实是这样，那就意味着，任何一个有限的数字序列都一定会出现在展开式的某一段。换句话说，在π的展开式的某一段就是基塔博土编的大英百科全书的代码序列，或者就是任何其他业已出版的，或可能要出版别的著作的代码！

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8．奇怪的遗嘱

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image001.gif">	M：一个富有的律师拥有11辆古董汽车，每辆值5000美元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image002.gif">	M：律师死时留下了一个奇怪的遗嘱。他说他的11辆古董汽车分给他的三个儿子。把其中的一半分给长子，1/4分给次子，1/6分给小儿子。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image003.gif">	M：大家都感到迷惑不解。11辆汽车怎么能分成相等的两份？或分成4份？6份？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image004.gif">	M：他的儿子们正在为怎么个分法争论不休时，林小姐——一位著名的数学家驾着她的新式赛车来了。 林小姐：好啊，小伙子们。你们好像碰到了难题。我能帮点忙吗？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image005.gif">	M：小伙子们向她诉说了原委，林小姐便把她的赛车停在11辆古董汽车旁边，下了车。 林小姐：小伙子们，说说看，这里有几辆车？ M：那些小伙子一数，有12辆。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image006.gif">	M：这时，林小姐便履行遗嘱。她把这些汽车的一半，6辆给了老大。老二得到12辆的1/4，即3辆。小儿子得到12辆的1/6，即2辆。 林小姐：6加3加2正好是11。所以，还余下1辆，这正是我的车。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0044.files/image007.gif">	M：林小姐跳上她的赛车启程了。 林小姐：很乐意效劳，小伙子们！我会把账单寄给你们的！

这是一个古老的阿拉伯悖论，这里是把那个悖论中的马换成汽车而变成现代化的说法了。学生们一定高兴试着变变遗嘱的内容，如改变汽车的数目，和分配它们的分数，条件是借一辆车就可执行遗瞩，最后还要余下一辆车退给借车人。

例如，可能是17辆车，遗嘱说把它们分为1/2，1/3和1/9。如果有n辆车，三个分数是1/a，1/b和1/c，则只有在

有一个正整数解时，上述悖论才起作用。可见让学生们再做复杂一些的问题，增加继承人的人数，同时增加为执行遗嘱而借的车辆的数目。

自然，这个悖论的解答在于下面事实：原来的遗嘱提出的分配比数相加不为1。如果用拆散汽车的方法来执行遗嘱的话，就会余下11/12辆汽车（即一辆汽车的11/12）。林小姐的办法是把这11/12辆汽车分给了儿子们。老大得到比他原来应得的数量多一辆汽车的6/12，老二多得了3/12辆，小儿子多得了2/12辆。这三部分加起来是11/12，这样一来每个儿子所得的汽车就是整数，所以就不用拆散汽车来分了。

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7．奇妙的方阵

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image001.gif">	M：把这个4行4列的方阵画在一张纸上，将1到16等数字填入格中。我现在举一个著名例子，证明人的精神的威力，这定会使你吃惊！我能够把握你在这个方阵中选择的4个数。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image002.gif">	M：在这个方阵中任意选一个数并画上圈。这个画片中圈的是7，可是你可以圈你自己选出的数。现在将圈出的数所在的那—竖行（称为列）划一条竖直线，再将这个数所在的横行（称为行）划一横线。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image003.gif">	M：在没有划线的数中，选一个数并画上圈。又按上面的方法将这个数所在的行和列划线。再选第三个没有划线的数，将这个数所在行和列划线。最后把仅余下来的一个数画圈。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image004.gif">	M：如果你按上法进行，则你的方阵就有点像这张画中的样子。现在，把你选出的画圈的4个数加起来。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image005.gif">	M：你做完了吗？我现在告诉你们每个人你们加得的总数。它…是…34！对不对？我怎么知道的？我真的能左右你的选择吗？

为什么这个方阵会使得我们选出的四个数加起来总是得34？秘诀巧妙而简单。在4*4的方阵的第一行的上面顺次写4个数1、2、3、4。在第一列的左边写4个数0、4、8、12。

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这8个数称为魔法方阵的“生成元”。方阵中每一格可以填上由这一格所在列上方的生成元与所在行左边的生成元相加得到的数。按这个方法将方阵中所有格子填满之后，我们的方阵就按从1到16的顺序填满了。

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现在我们就可以看一看按前面讲的步骤圈出4个数时有什么特点。显然，上面步骤保证圈出的4个数不会在同一行或同一列。每一个圈出的数都是两个生成元的和，由于它们各在不同的行和列，故4个数的生成元各不相同，因此这4个数的和就等于全部8个生成元的和。这8个生成元相加等于34，所以圈出的4个数的和总是34。

当学生们明白了方阵的窍门后，他们就能编出各种不同大小的方阵来了。比如，我们考虑一个6阶的方阵，它有12个生成元。注意，在这个例子中，选取的生成元使得方阵内数字看起来好像是完全随意的。这里面暗含看这个方阵数字的结构基础，从而使之更富神秘色彩。

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0043.files/image008.gif">

所有生成元的和是30。如果照前面画片中说明的步骤来选择数字的话，最后选出的所有数之和应为30。自然，那个有肯定结果的数字（或和数）的大小可以由我们任意挑。

如果构成一个10行10列的方阵，使选出的和为100，或任何其他有趣的数，例如当年的年份或某人的出生年分等，这会激发起热烈的气氛。

魔法方阵可否在格中填负数？当然可以！事实上，生成元可以是任意实数：正数或负数、有理数或无理数。

魔法矩阵可否采用乘法，就是选出的数彼此相乘得一定数？可以。这可以引起学生们探讨另一条途径。基本结构完全相同。这时方阵格中的数是一组生成元的乘积。我们也许还希望看看，如果格中填入了一组复杂的数，会产生什么结果。关于魔法方阵的更多的内容可以在《科学美国人》杂志出的《数学之谜和数学游戏》一书第二章中找到。

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6．一块钱哪里去了？

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image001.gif">	M：一个唱片商店里。卖30张老式硬唱片、一块钱卖两张，另外30张唱片是一块钱卖3张。那天，这60张唱片全卖完了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image002.gif">	M：30张一块钱两张的唱片收入15元。30张一块钱3张的唱片收入10众，总共是25元。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image003.gif">	M：第二天商店老板又拿出60张唱片放到柜台上。 老板；何必要自找麻烦来分唱片？如果30张唱片是一块钱卖两张，30张是一块钱卖3张，何不把60张唱片放在一起，按两块钱5张来卖？这是一样的。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image004.gif">	M：商店关门时，60张唱片全按两块钱3张卖出去了。可是，商店老板点钱时发现只卖得24元，不是25元，这使他很吃惊。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image005.gif">	M：你认为这一块钱到哪里去了？是不是有个伙计偷了？是不是给顾客找错了钱。

这条悖论是建立等式和不等式性质的极好例子。正如上面的故事所表明的，那个老板觉得把两种唱片放在一起，每5张卖两块钱，和分开来一种卖两张一块钱，一种卖3张一块钱是“同样的”，这就搞错了。没有任何道理能说明两种卖法应该收入同样的钱数。上面的例子中两者之间的差很小，以致于看上去好像那一块钱是不留意造成的，或者是遗失了。

如果考虑一个同样的问题，但价格稍为不同些，大家就能更清楚地看出问题了。假定贵一些的唱片卖两块钱3张，或者说是每张唱片的价格是2/3元。较便宜的唱片卖1块钱两张，或者说每张l/2元。老板把这两种唱片混合，卖1块钱5张。假设每种有30张，如前面一样，分开来卖，得到35元，可是合起来卖60张共得66元。这样老板就多得了1元，而不是少了1元！

这时，我们就需要对此悖论作一下代数分析了。我们假设价格较高的唱片是每张卖b/a元，价格较低的唱片每张卖d/c元。两个分数都要化简为最简分数。例如上面唱片中的例子，贵的唱片是一块钱两张，即每张1/2元；便宜的唱片是一块钱3张，即每张1/3元，故a=2，c=3，b=d=1。

假若所有唱片都各以两种不同的价格卖，则一张唱片的平均价格是b/a和d/c之和的一半。如果两种唱片合起来，按一个价格卖，那么。a+c张唱片就卖b+d元钱，一张唱片的平均价格就是_{MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image006.gif">} 。显然，两套唱片合起来要收入同样多的钱数就必须是

_{MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.files/image007.gif">}

令人吃惊的是，这个等式只有在a=c时成立，而与b和d的值无关。如a>c，则两套唱片合起来交可得的钱多一些（自然起在的条件下，如我们这个说明中的例子，这里a=3，c=2)。如果a<c，则合起来卖就要赔钱（如上面唱片所举例子）MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0042.html#_ftn1" target="_blank" >

。

这个例子告诉我们，当看到不同种类的货物联合销售时，要判断我们是否真的买到了便宜货并不是一件轻而易举的事。

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5．无可奈何的汽车司机

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image001.gif">	M：这辆汽车已坐进40个小伙子，他们很快就要上路去宿营地了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image002.gif">	M：而为一辆汽车坐着40个姑娘。她们正要去同一地点。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image003.gif">	M：在出发前，汽车司机要喝点咖啡。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image004.gif">	M：这时有十个小伙子偷偷地从他们的汽车中出来，溜进了姑娘们的汽车。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image005.gif">	M：当姑娘们的司机回来时，他发觉乘客太多了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image006.gif">	司机：好了，请大家不要开玩笑、胡闹！这辆汽车坐40个人，所以你们最好下去10个人，快点！
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image007.gif">	M：下来了不知性别的十个人。他们全上了小伙子的汽车、坐上了空座。一会儿，这两辆汽车各载着40个露营者便上路了。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image008.gif">	M：过了一会儿，姑娘们那辆车的司机想—— 司机：呣……，我确信有几个小伙子在这辆车上，还有些姑娘在小伙子的车上。我想知道，哪辆车上的异性乘客多？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image009.gif">	M：尽管有点难以相信，但事实是，不管回到小伙子车上的十名乘客中男的女的各多少，这两辆汽车上异性乘客的比例都一样。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI08.145\数学悖论奇景.chm::/0041.files/image010.gif">	M：为什么？假定姑娘们的车上有4个小伙子，这就使小伙子的车上空出4个座位。这4个空位必定由4个姑娘坐着。其他数目，道理一样。

这个悖论很容易用一副扑克牌来证实。首先把这副牌分成26张红牌，26张黑牌。让一个学生从两叠牌中的一叠拿出一小叠来。我们假定这个学生从红牌中取出13张把它放到黑牌上面。然后这个学生把折叠牌洗过。现在告诉学生从刚洗过的这叠牌中拿出13张（可从这叠牌中任何一个地方随便抽取），再把它放到那叠红牌上。最后把这样凑出的半副牌也洗一下。

当学生们把这两个半副牌打开检查时，就会发觉黑牌中混入的红牌数目和红牌中混入的黑牌数目一样多。这个把戏的证明完全和两个汽车的姑娘和小伙子的人数一样。

根据这个原理可以玩出很多扑克把戏。这里介绍一个巧妙应用这一原理的把戏。把一副牌严格分成两叠，使一叠翻成面朝上，再把两叠牌洗到一起。把这样混合起来的一副牌出示给学生们看，不告诉他们正好有26张牌翻开面朝上。可以让一个学生好好洗匀这副牌。你伸出手来，叫这个学生拿出26张牌放到你手中。

你说：“要是我这半副牌中翻开的牌数和你那半副牌翻开的一样多，那不是很奇妙的巧合吗？”

叫这个学生把他（或她）手中的牌摊放在桌面上。这时你暗中翻转你手中的牌，再把牌摊放在学生那些牌的旁边。数数各叠牌面朝上的数目，两个数目相同！

你看出这个扑克把戏是怎么搞成的吗？如果你不把你手中的牌翻转，学生那半副牌中，翻开来的牌数就等于你手中面朝下的牌数。在你将牌翻转过来时，你手中面朝下的牌就变成了翻开来的牌了，这使得它正好和另外半副牌中翻开的一一对应。

这时，我们可以考虑一个古老的智力问题。一杯水放在一杯酒的旁边。水和酒的量相等。从盛酒的杯子中取出一滴来放入那杯水中。把这杯水搅匀，然后从这种混合液体中取出一滴来（要严格与滴入的酒等量），放回酒中去。现在是水中的酒多，还是酒中的水多？

用心的学生立即就能察觉这是汽车悖论和扑克悖论的另一种实例。两种混合液体情况相同。即使两个杯子中的液体量不相等，混合液也不一定搅匀，答案仍然不变，甚至我们还可以把两杯液体滴来滴去，不一定要来回滴数一样。唯一的条件就是，必须使最后杯中所盛液体的量与它开始时一样多。这样酒杯中就失去一定量的酒。这失去酒的位置就被严格等量的水充满！对这一智力问题的证明完全类似于两辆汽车中姑娘和小伙子的人数或两半副牌中红牌和黑牌的数目的证明。

这个酒和水的例子证明了，对于一个可以用冗长乏味的代数方法证明的问题可以用浅显的方法顺利地获得一个简单的逻辑的证明，这是十分令人惊叹的。如上面举出的例子，只要有正确的观点就能看得出来。