概率论中的悖论

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摘自

从惊讶到思考 , [1 G" O* U/ ~. b% u4 a4 V ——数学悖论奇景《科学美国人》杂志社 马丁·加德纳

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太乱了，整合一下吧

wolfabc

随机事件是没有经验可以借鉴的

yanfei74

呵呵，看了，很有意思

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好

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11．帕斯卡赌注

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0035.files/image001.gif">	M：著名的十七世纪数学家布莱斯·帕斯卡把中立原理应用于基督徒的忠诚上。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0035.files/image002.gif">	帕斯卡：一个人无法决定他是接受还是拒绝教堂的教义。教义也许是真实的，也可能是骗人的。这有点象抛硬币，两种可能性均等。可报应是什么呢？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0035.files/image003.gif">	帕斯卡：假定这个人拒绝了教堂的教义。如果教义是骗人的，则他什么也没有损失。可是，如果教义是真实的，那他将会面临在地狱遭受无穷苦难的未来。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0035.files/image004.gif">	帕斯卡：假定这个人接受了教堂的宣传。如果教义是骗人的，他就什么也得不到。可是，如果教义是真实的，他将能进入天堂享受无穷的至福。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0035.files/image005.gif">	M：帕斯卡确信，对这一决策游戏的报应无限有利于把宝押在教义是真的这一态度之上。哲学家们自那以后一直在对帕斯卡的赌注进行争论。你的看法如何？

十七世纪的法国数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡是概率论的奠基者之一。在第一图里所画出的是他提出的一个被称之为“帕斯卡三角”的著名的数字结构。帕斯卡不是这个三角的发明者（它可追溯到中世纪早期），但他是第一个对此作了彻底研究的人。这个图形的结构具有许多精美的组合性质，从而使它成为解答初等概率问题的一个有用工具（见哈诺尔德·雅可比的《数学——人类的魄力》关于帕斯卡三角一章）。

在哲学上，帕斯卡三角最富戏剧性的应用是帕斯卡《随感录》中第233个想法。帕斯卡认为，由于我们无法确定教堂的教义是真还是假，我们就应该把这两种情况当作具有同等的可能性。就像抛掷硬币的结果一样。然而如果我们接受教堂的说教，报答是无限有益；如果我们拒绝它，就会无限受报。因此，他主张接受是最上策。

课堂讨论帕斯卡赌注很快就能引导学生深入到各种具有深刻挑战性的问题。例如：

1．中立原理是合法地应用于帕斯卡的论断之中吗？

2．对于法国哲学家丹尼斯·林德罗提出的这样一个异议你作何回答？世界上还有很多其他的影响很大的宗教，例如伊斯兰教，它们也提出接受该宗教是得到拯救的条件。帕斯卡赌注也适用于所有这些宗教吗？如果这样的话，一个人难道能成为每个宗教的信徒吗？

3．你对威尔斯的看法有何见解？我们并不知道世界在经历一场原子大战之后是否会保留下来。可是，你的生活和所作所为应该表现得好象你确信世界能够经历这场劫难而保存下来那样，这是因为（如威尔斯所说）“如果在末了，你的乐观看法不能证实，你也总是快乐的”。

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10．中立原理

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0034.files/image001.gif">	甲：火星上有人吗？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0034.files/image002.gif">	乙：世界会发生一场核战争吗？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0034.files/image003.gif">	M：如果你回答这类问题时说，肯定和否定是同样可能的，你就笨拙地应用了一个名为“中立原理”的东西。不小心使用了这一原理使很多数学家、科学家、甚至伟大的哲学家陷入糊涂之中。

经济学家约翰·凯恩斯在他著名的《概率论》一书中把“理由不充足原理”更名为“中立原理”，说明如下：如果我们没有充足理由说明某事的真伪，我们就选对等的概率来定每一事物的真实值。

这个原理在科学、伦理学、统计学、经济学、哲学和心理学等多种领域中的应用已有很长一段历史，因而声名狼藉。法国天文学家、数学家拉普拉斯有一次曾以这个原理为基础计算出太阳第二天升起的概率是1/1826214。

现在让我们看看，如果把这个原理应用于上述的火星和核战争问题，将引起怎样的矛盾。火星上可能有某种生命形式的概率是多少？我们应用中立原理就得到答案。在火星上连简单的植物生命都没有的概率是多少？同样，我们答道：。没有单细胞动物的概率呢？也是。那么火星上既没有简单的植物生命，也没有单细胞动物的概率是几？按照概率定律，我们必须用乘答案是。这既意味着在火星上有某种形式的生命的概率就升高到1-=,这就与我们原来的估计值相矛盾了。

在公元2000年内发生核战争的概率是多少？根据中立原理，我们回答是。那么原子弹不会落在美国国土上的概率是多少？回答是。苏联不会受原子弹轰炸的概率是多少？。法国不受原子弹轰炸的概率？。如果我们将这一理由应用到10个不同的国家，则原子弹不会轰炸其中任何一个国家的概率就是的10次方，即。用1减这个数就得到原子弹会炸到10个国家中任何一个国家的概率——。

另一个不小心用了中立原因的好例子是未知立方体的悖论。假定你知道有一立方体，藏在一个柜子里，其边长是2尺到4尺之间。既然你没有任何理由认为它的边长是比3尺短或 比3尺长，那么你认为此立方体的边长是3尺就是最好的估计。现在来考虑这个立方体的体积。它必然是在2³=8尺³到4³ =16尺³之间。同样，既然你没有任何理由认为其体积比36尺³少或比36尺³多，那么认为36是该立方体的体积就是最好的估计。换句话说，你对这个立方体最好的估计是边长为3尺，体积为36尺³，这该是一个多么奇怪的立方体啊！换一种方法，如果你把中立原理应用于立方体的边长，则你得到边长为3尺，此时体积为27尺³。但若把它应用于体积你得到的体积为36尺³，这时边长是36的立方根，大约是3.30尺。

立方体悖论是一个很好的例子，它说明科学家或统计学家在对一个量得出了它的最大值或最小值之后，就进而假定实际值最可能取二者之间的中值，这时将会陷入困境，凯恩斯还给出很多这种悖论的实例。一旦学生们掌握了人们是怎样误用这个原理的，他们也许还乐意编出一些新的笑话来。

这个原理在概率论中可以合法地应用，不过仅当以客观情况是对称的这一点为依据，从而假定两种概率相等时才能奏效。例如，一个硬币在几何形状上是对称的，这就是说可以沿着硬币的边缘有一对称平面切过硬币。作用在其上的力是对称的—重力、摩擦力、大气压力等等都是对称的。它们对一面的作用力绝不会超过另—面。因此，我们就可以断定，国徽和字面二者出现的概率相等这一假定是合理的。这种对称性同样适用于有六面的立方体骰子和有38个条纹的轮盘赌。当我们不知是否有这种对称性，或许它根本就不存在时，就应用中立原理往往导致荒诞的结果。

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9．钱包游戏

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0033.files/image001.gif">	M：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。 教授：我来告诉你们一个新游戏，把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0033.files/image002.gif">	乔：呣……，如果我的钱比吉尔的多，她就会赢掉我的钱，可是，如果她的多，我就会赢多于我的钱，所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0033.files/image003.gif">	吉尔：如果我的钱比乔多，他就会赢掉我的钱。可是，如果他的钱比我的多，我就可以赢，而我赢的比输的多，所以游戏对我有利。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0033.files/image004.gif">	M：一个游戏怎么会对双方都有利呢？这是不可能的。是不是因为两个参与者都错误地设想他赢和输的机会是相等的，因而产生了这个谬论呢？

这个有意思的悖论出自法国数学家莫里斯·克莱特契克，在他的《数学消遣》书中用领带代替钱包：

“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人，让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想：我知道我的领带值多少。我也许会失去它，可是我也可能赢得一条更好的领带，所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢？”

很容易表明，如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件，它就是一个公正的比赛。当然，如果我们已经得知比赛中的一个人总爱带较少的钱（或系较便宜的领带），那么我们就知道这个比赛是不公平的。如果无法得到这类消息，我们就可以假定每一个比赛者带有从0到任意数量（比如说一百元）的随便多少钱。如果我们按此假定构成一个两人钱数的矩阵（这是克莱特契克在他的书中列出的），我们就可看出这个此赛是“对称的”，不会偏向任何一个比赛者。

可惜，这不可能告诉我们上面两个比赛者的想法错在哪里。我们没有找到一种方法能够以此较简单的方式澄清这个问题。克莱特契克也没能做到，就我们所知，对这个比赛没有其他参考材料了。如果你们当中有任何人能想出一种办法，不用深入到高深的对策论就可说清楚上面两个比赛者的想法错在哪里，你愿写信告诉我们吗？我们就可以在这本书的下一版利用这一解释了。

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8．鹦鹉之谜

MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0032.files/image001.gif">	M：一位夫人有两只鹦鹉。一天一个来访者问她。 来访者：“有一只鹦鹉是雄的吗？” 夫人：“对，有一只是雄的”。 M：两只鹦鹉都是雄的概率是几呢？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0032.files/image002.gif">	M：假定那个人问另一个问题： 来访者：绿鹦鹉是雄的吗？ 夫人：是。 M：现在，两只鸟都是雄的，概率提高到1/2。为什么一问到绿鹦鹉是不是雄的就改变了概率？
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0032.files/image003.gif">	M：这条悖论在把一切同等可能情况都列出之后，就很容易解释了。当这个人问是否有一只鹦鹉是雄的时，有三种可能的情况要考虑到。其中只有一种是两只都是雄的，所以这种情况的概率是1/3。
MSITStore:C:\DOCUME~1\CFY\LOCALS~1\Temp\Rar$DI00.681\数学悖论奇景.chm::/0032.files/image004.gif">	M：可是，在这个人问绿鹦鹉是否雄的时，就只有两种情况要考虑。其中一种是两只都是雄的，所以这种情况的概率是1/2。

现在可用两个硬币来模拟鹦鹉问题，一个用2分的硬币，一个用一分的硬币，让一个学生抛掷，然后就其结果作出某些论断。该学生可以采取几种做法：

1．如果两枚硬币都是国徽，他说：“至少有一枚硬币是国徽。”如果两枚硬币都是字，他说：“至少有一枚硬币是字。”如果两枚硬币不相同，他说：“至少有一枚是……。”（国徽和字由他随便说一个）。无论他说的是什么，两个硬币都是一样的概率是什么？是1/2。

2．这个学生进而又同意只是在出现国徽时才叫：“至少有一枚硬币是国徽。”如果没有一枚硬币是国徽，他就什么也不说，重来一次。这时，两枚硬币那是国徽的概率是多少？1/3（因为现在两枚都是字的情况已排除在外了）。

3．学生进而又同意按一分硬币落下的情况较，即按一分硬币的国徽朝上或字朝上叫。这时，两个硬币一样的概率是多少？回答1/2。

4．学生又同意这样叫：只当一分的硬币是国徽时才叫：“至少有一枚是国徽。”这时两枚硬币都是国徽的概率是多少？回答：1/2。

好一点的学生不用试验就可作出正确回答。你的班级一定高兴做几次实际试验来验证这些答案。

鹦鹉悖论有时在教科书中以一种含糊的方式给出，结果不可能有正确回答。例如，你假定碰到一个陌生人，他说：“我有两个孩子，至少有一个是男孩。”那么两个孩子都是男孩的概率是几？

这是一个定义得不准确的问题，因为你对使这个人说出上面那些话的环境一无所知，很可能是这样：如果他两个孩子性别不同，他就随便挑一个说，或许他说过“至少有一个是女孩。”也可能两个孩子都一样，则他就如上面那样说出他们的性别来。如果他是这样的过程，则二者一样的概率就是1/2。情况同上面的第一种。

画中顾客用提问方法消除了模糊：顾客第一次问道“至少一只鸟是雄的吗？”相应于上述第二种情况。他第二次又问：“绿鸟是雄的吗?”对应了第四种情况。

还有一个使人惊愕的悖论，与鹦鹉悖论很有关系，叫做第二张A的悖论。假定你正在玩桥牌。在发完牌时，你扫视一下手中的牌，宣布：“我有一张A。”那么你还有一张A的概率是多少？它是严格的，小于1/2。

现在假定，大家一致同意专指一张A，比如果桃A，桥牌一直打到你可以叫：“我有一张黑桃A”时，你还有一张A的概率是几？这，稍高于1/2！为什么指定了A的花色就改变了概率？

对一手牌的全部可能作出计算是冗长乏味的，不过若把一手牌减为四张，就可以理解这条悖论的奥妙了。比如说这四张牌是黑桃A，红心A，梅花2和方块J（通过减少其元素个数来简化问题往往是了解其结构的绝妙方法）。洗一洗这四张牌，把它发给两个人，两张牌一手有六种同等可能的情况。

♠A ♥A

♠A ♦J

♠A ♣2

♥A ♦J

♥A ♣2

♦J ♣2

六手牌中有五手（即前五手牌）都使玩牌者可以说“我有一张A”。但五手牌中只有一手是还有一张A的，结果有第二张A的概率是1/5。

上面有三手牌（即前三手牌）使玩牌人可以宣布：“我有一张黑桃A”。这三手中只有一手是有另一张A的，两张A的概率是1/3。

这样变一下就很简单了，课堂上可以验证一下，比如说，将这四张牌洗、发五十次，全部记录下来。如果一个学生知道了它的公式，又有小计算器，他也许高兴对整副牌来试解上面的问题。

注意，要叫的A和叫牌的人都必须预先定好，如果这些假定未事先定好，问题就不明确确定。