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[建模教程] 微分方程模型

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微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：

1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。

2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。

3. 运用这些规律列出方程和定解条件。

列方程常见的方法有：

（i）按规律直接列方程

在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。

（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法

自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。

（iii）模拟近似法

在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。

§1 发射卫星为什么用三级火箭
采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析，并且假设引擎是足够强大的。

1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星
下面用三个数学模型回答这个问题

1.1.1 卫星进入 600km 高空轨道时，火箭必须的最低速度首先将问题理想化，假设：

（i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；

（ii）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心；

（iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。建模与求解：设地球半径为 R ，质量为 M ；卫星轨道半径为 r ，卫星质量为m 。

根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为

即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭的末速度最低应为 7.6km/s。

1.1.2 火箭推进力及升空速度
火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为使问题简化，假设：

（i）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。

（ii）在t 时刻火箭质量为m(t) ，速度为v(t) ，且均为时间t 的连续可微函数；

（iii）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u 。

建模与分析：由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在 (t,t + Δt) 内的减少量可由台劳展式表示为

1.1.3 一级火箭末速度上限

因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。

1.2 理想火箭模型
从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大。

所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。下面建立它的数学模型。

假设：在(t,t + Δt) 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以α 与1−α 的比例同时进行。

建模与分析：由动量守恒定律，有

1.3 多级火箭卫星系统
理想火箭是设想把无用结构质量连续抛弃以达到最佳的升空速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈进的第一步。多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i 级燃料烧尽时，第i +1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i 级。我们用表示第i 级火箭质量，表示有效负载。为了简单起见，先作如下假设:

实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭是最好的方案。

1.4 最佳结构设计

§2 人口模型
2.1 问题提出
据考古学家论证，地球上出现生命距今已有 20 亿年，而人类的出现距今却不足 200 万年。纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000 年前人口总数为 2.75 亿。经过漫长的过程到 1830 年，人口总数达 10 亿，又经过 100 年，在 1930 年，人口总数达 20 亿；30 年之后，在 1960 年，人口总数为 30 亿；又经过 15 年，1975 年的人口总数是 40 亿，12 年之后即 1987 年，人口已达 50 亿。我们自然会产生这样一个问题：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这一规律。

2.2 Malthus 模型
1789 年，英国神父 Malthus 在分析了一百多年人口统计资料之后，提出了 Malthus 模型。模型假设

（i）设 x(t) 表示t 时刻的人口数，且 x(t) 连续可微。

（ii）人口的增长率 r 是常数（增长率=出生率—死亡率）。

（iii）人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率.

建模与求解

由假设，t 时刻到t + Δt 时刻人口的增量为

根据 1700～1961 年间世界人口统计数据，我们发现这些数据与（16）式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每 35 年增加 1 倍，而（16）式算出每 34.6 年增加 1 倍。但是，当人们用（15）式对 1790 年以来的美国人口进行检验，发现有很大差异。

利用（16）式对世界人口进行预测，也会得出惊异的结论：当 t = 2670 年时 x(t) = 4.4× ，即 4400 万亿，这相当于地球上每平方米要容纳至少 20 人。

显然，用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长，误差的原因是对增长率 r 的估计过高。由此，可以对 r 是常数的假设提出疑问。

2.3 阻滞增长模型（Logistic 模型）
如何对增长率 r 进行修正呢？我们知道，地球上的资源是有限的，它只能提供一定数量的生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，自然资源、环境条件等对人口再增长的限制作用将越来越显著。如果在人口较少时，我们可以把增长率 r 看成常数，那么当人口增加到一定数量之后，就应当视 r 为一个随着人口的增加而减小的量，即将增长率 r 表示为人口 x(t) 的函数 r(x) ，且 r(x) 为 x 的减函数。

模型假设

实际数据都能较好地吻合，在 1930 年之后，计算与实际偏差较大。原因之一是 60 年代的实际人口已经突破了假设的极限人口，由此可知，本模型的缺点之一就是不易确定。

2.4 模型推广
可以从另一个角度导出阻滞增长模型，在 Malthus 模型上增加一个竞争项 ( b > 0) ，它的作用是使纯增长率减少。如果一个国家工业化程度较高，食品供应较充足，能够提供更多的人生存，此时b 较小；反之b 较大，故建立方程

参数a 和b 可以通过已知数据利用 Matlab 中的非线性回归命令 nlinfit 求得。

§3 战争模型
早在第一次世界大战期间，F. W. Lanchester 就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中包括作战双方均为正规部队；作战双方均为游击队；作战的一方为正规部队，另一方为游击队。后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和 1975 年的越南战争。影响战争胜负的因素有很多，兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素。士兵的数量会随着战争的进行而减少，这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘，也可能是因为疾病与开小差。分别称之为战斗减员与非战斗减员。士兵的数量也可随着增援部队的到来而增加。从某种意义上来说，当战争结束时，如果一方的士兵人数为零，那么另一方就取得了胜利。如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢？比如如何描述增加士兵数量与提高士兵素质之间的关系。

3.1 模型一正规战模型
模型假设

以上是研究双方之间兵力的变化关系。下面将讨论每一方的兵力随时间的变化关系。

3.2 模型二游击战模型
模型假设

3.3 模型三混合战模型
模型假设

（i） x 方为游击队， y 方为正规部队。

（ii）交战双方均无战斗减员与增援。模型与求解借鉴模型一与二的思想，可得

一般来说，正规部队以火力强而见长，游击队以活动灵活，活动范围大而见长。这可以通过一些具体数据进行计算。

美国人曾用这个模型分析越南战争。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在马来亚、菲律宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要想取胜必须至少投入 8 倍于游击部队一方的兵力，而美国至多只能派出 6 倍于越南的兵力。越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后的胜利。

3.4 模型四一个战争实例
J. H. Engel 用二次大战末期美日硫黄岛战役中的美军战地记录，对正规战争模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好。硫黄岛位于东京以南 660 英里的海面上，是日军的重要空军基地。美军在 1945 年 2 月开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军 21500 人全部阵亡或被俘，美方投入兵力 73000 人，伤亡 20265 人，战争进行到 28 天时美军宣布占领该岛，实际战斗到 36 天才停止。美军的战地记录有按天统计的战斗减员和增援情况。日军没有后援，战地记录则全部遗失。

用 A(t) 和 J (t) 表示美军和日军第t 天的人数，忽略双方的非战斗减员，则

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