动态规划模型之变分法模型

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动态规划算法中的变分法模型的思想是通过将原问题拆解为一系列子问题，并通过递归求解子问题得到最优解，从而解决整个问题。这种思想与分治法有些相似，但它具有更强的最优子结构性质和重叠子问题性质，可以更有效地解决一些具有重复计算的问题。

变分法模型的思想可以用一个经典的例子来说明，即背包问题（Knapsack Problem）。背包问题是一个经典的组合优化问题，给定一个背包容量和一组物品，每个物品有自己的重量和价值，要求在不超过背包容量的前提下，选择一些物品放入背包，使得物品的总价值最大化。

使用变分法模型解决背包问题，可以按照以下步骤进行：

• 确定状态：将问题划分为多个子问题，考虑每个阶段的决策。
• 定义状态：定义状态表示问题的子结构。在背包问题中，可以定义状态为「背包容量」和「可选择的物品集合」。
• 决策：在每个阶段的状态下，可以做出的决策是选择将当前物品放入背包还是不放入背包。
• 目标函数：背包问题的目标是最大化放入背包的物品总价值。
• 递推关系：定义问题的递推关系，即如何利用子问题的最优解来求解当前问题的最优解。在背包问题中，可以使用动态规划表格来记录子问题的最优解，并根据递推关系填充表格。
• 最优解的构造：根据最优解的递推路径，逆向构造出最优解的具体方案，即哪些物品被放入背包。
  
  

例如，考虑一个背包容量为10的背包问题，有以下3个物品：

• 物品1：重量2，价值6
• 物品2：重量3，价值14
• 物品3：重量4，价值10
  % R; |6 U" B  O- ^/ Q1 K; k5 I& g, l

可以按照以下步骤求解：

• 定义状态：状态表示为 (背包容量, 可选择的物品集合)。
• 初始化：建立一个动态规划表格，将背包容量从0到10列举出来。
• 递推关系：根据动态规划递推关系，填充表格。每个格子的值表示在当前状态下的最优解（物品总价值最大）。
• 最优解构造：通过回溯动态规划表格的最后一个格子，逆向构造出最优解的具体方案。
  

经过计算，最终得到的动态规划表格如下：

背包容量物品1物品2物品3
0000
5 {8 D* r: i- d5 r* c( n1000
! n# R. T* H- R' c" z) B3 h9 o: s2666
  O3 J5 t. k3 P: G' S( u3666
- l5 d" D% Z  \9 |/ N. f46610
6 `8 V' [7 c( t" @; u& P56610
0 O4 N' c! {0 V( |9 m& G7 r7 ?* f66610
76616
86616
7 [5 q- z2 u) _- g96616
, o4 ^& ^$ L! K+ p1061416

根据动态规划表格的最后一个格子可知，当背包容量为10时，放入物品2和物品3可以得到最大总价值为16。通过回溯动态规划表格的路径，可以确定最优解为选择物品2和物品3放入背包。

这就是动态规划算法中变分法模型的思想和应用例子。它通过将原问题拆解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解，从而高效地解决具有重复计算的优化问题。

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