LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b

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发表于 2023-12-31 17:03 |只看该作者 |正序浏览

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这段代码实现了 LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个方阵，b 是一个列向量。以下是代码的中文解释：
a = [1,2,3;2,5,2;3,1,5];
b = [14,18,20];
n = size(a, 1);
u = zeros(size(a));
l = zeros(size(a));
u(1,

= a(1,

;

% LU 分解
for i = 2:n
l(i, 1) = a(i, 1) / u(1, 1);
end
for r = 2:n
for i = r:1:n
      sum1 = 0;
      for k = 1:r-1
         sum1 = sum1 + l(r, k) * u(k, i);
      end
      u(r, i) = a(r, i) - sum1;
end
for i = r+1:n
      sum2 = 0;
      for k = 1:r-1
         sum2 = sum2 + l(i, k) * u(k, r);
      end
      l(i, r) = (a(i, r) - sum2) / u(r, r);
end
end

% 设置 L 的对角线为1
for i = 1:n
l(i, i) = 1;
end

% 前向代入
y(1) = b(1);
for i = 2:n
sum3 = 0;
for k = 1:i-1
      sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
end
y(i) = b(i) - sum3;
end

% 后向代入
x(n) = y(n) / u(n, n);
for i = n-1:-1:1
sum4 = 0;
for k = i+1:n
      sum4 = sum4 + u(i, k) * x(k);
end
x(i) = (y(i) - sum4) / u(i, i);
end

% 输出结果
disp('解 y：');
disp(y');
disp('解 x：');
disp(x');

这段代码通过 LU 分解将矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后使用前向代入和后向代入求解线性方程组 Ax = b。最后，输出解 y 和解 x。