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起作用集法解决二次规划问题

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发表于 2024-9-25 16:32 |只看该作者 |正序浏览

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起作用集法（Active Set Method）是一种用于求解约束优化问题的有效算法，特别适用于二次规划问题。以下是使用起作用集法解决二次规划问题的基本步骤和概念。

### 二次规划问题的形式

二次规划问题通常可以表示为：

\[
\text{Minimize } f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x
\]

约束条件为：

\[
Ax \leq b
\]

\[
x \geq 0
\]

其中，\(Q\) 是一个对称正定矩阵，\(c\) 是一个向量，\(A\) 是约束条件的系数矩阵，\(b\) 是约束条件的右侧向量。

### 起作用集法的步骤

1. **初始化**：
- 选择一个初始可行解 \(x_0\)。
- 确定初始的起作用集（即当前活动的约束条件）。

2. **构造拉格朗日函数**：
- 对于当前的起作用集，构造拉格朗日函数：

\[
L(x, \lambda) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x + \lambda^T (b - Ax)
\]

3. **求解一阶条件**：
- 对 \(L\) 关于 \(x\) 和 \(\lambda\) 分别求偏导数，并令其等于零，得到一个方程组。

4. **更新解**：
- 通过求解上述方程组，得到新的解 \(x\)。
- 检查新的解是否满足所有约束条件。

5. **更新起作用集**：
- 如果新的解违反了某些约束条件，则将这些约束条件加入起作用集。
- 如果新的解满足所有约束条件，则检查是否可以退出当前的起作用集。

6. **迭代**：
- 重复步骤 2 到 5，直到满足收敛条件（例如，目标函数值的变化小于某个阈值）。

7. **确定最优解**：
- 当达到收敛条件时，当前解即为最优解。

### 示例

假设我们有一个简单的二次规划问题：

\[
\text{Minimize } f(x) = x_1^2 + x_2^2
\]

约束条件为：

\[
x_1 + x_2 \leq 1
\]

\[
x_1, x_2 \geq 0
\]

**步骤**：

1. **初始化**：
- 选择初始解 \(x_0 = (0, 0)\)，起作用集为空。

2. **构造拉格朗日函数**：
- 对于当前的起作用集，构造拉格朗日函数。

3. **求解一阶条件**：
- 计算偏导数并求解。

4. **更新解**：
- 得到新的解 \(x\)，检查是否满足约束。

5. **更新起作用集**：
- 如果 \(x_1 + x_2 > 1\)，则将约束 \(x_1 + x_2 \leq 1\) 加入起作用集。

6. **迭代**：
- 重复上述步骤，直到收敛。

7. **确定最优解**：
- 最终得到的解即为最优解。

### 总结

起作用集法是一种有效的求解二次规划问题的算法，通过动态调整活动约束集来逐步逼近最优解。它适用于处理具有线性约束的优化问题，尤其在约束条件较多的情况下表现良好。