通过数值积分和符号积分计算函数的定积分

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MATLAB代码展示了如何通过数值积分和符号积分计算函数的定积分，并对不同步长的数值积分结果进行比较。以下是逐步解析：

/ Z5 l4 c$ I  ]; l: t* H  o; f/ e2 R8 ^### 1. 创建自变量和函数
) {# C  T7 K0 b. z% |```matlab
2 f  F: Q3 t, m( r/ ~" t3 Tx = [0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % 包含 3π/2 这一点
y = cos(15*x);
plot(x, y)                     % 绘制 y = cos(15*x) 的图形
9 [& j( _- [" r! h```
- `x` 创建了一个从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的向量，并确保 \( \frac{3\pi}{2} \) 这个点被包含在内。
- `y` 计算了在 `x` 每个点上的 `cos(15*x)` 值。
$ R2 I) \3 X6 t) I- 使用 `plot(x, y)` 绘制了函数 `y = cos(15*x)` 的图形。

### 2. 计算理论值
% Y+ Z3 U( A* n6 m! j```matlab
syms x, A = int(cos(15*x), 0, 3*pi/2);   % 使用符号积分求取定积分
4 B5 ]7 M1 ?9 R  e( H```
3 ?, P  S( \( ~# @3 Y) _8 V) S# A- `syms x` 定义符号变量 `x`。
- `int(cos(15*x), 0, 3*pi/2)` 计算 `cos(15*x)` 从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的定积分 `A`，这个结果为理论值。
5 }9 b6 c0 v5 J
, _! h- n3 M/ {### 3. 定义步长并进行数值积分
```matlab
h0 = [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001];
# f% e  l9 l$ j9 }# m+ W  ?v = [];
for h = h0,
    x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];
    y = cos(15*x);
    I = trapz(x, y);            % 使用梯形法进行数值积分
    v = [v; h, I, 1/15 - I];    % 将步长、数值积分结果和错误存储到 v 中
* ~7 z4 y" g9 V" V. k# Bend
. b) W. w4 M: [2 u! p8 y: C```
. d/ U1 T! \/ d7 M. W& l& X- `h0` 是一个数组，包含了不同的步长值，用于进行数值积分。
, R( a; j8 t2 v; b) G4 z- `v = []` 初始化一个空数组 `v`，用于存储每种步长的结果。
- 对于每个步长 `h`，代码：
3 Y6 H$ \: D" G& B. U  - 创建新的 `x` 向量，从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \)，步长为 `h`，并确保包含 \( \frac{3\pi}{2} \)。
, m4 X8 G/ J0 z: r" O  - 计算 `y = cos(15*x)`。
  - 使用 `trapz(x, y)` 进行数值积分，得到的结果存储在 `I` 中。
: v% p1 h# J/ F: A  j( d% h  - 将当前步长 `h`、计算得到的数值积分 `I` 和与理论值 \( \frac{1}{15} \) 的误差 \( 1/15 - I \) 存储到 `v` 中。

% @! ^: X7 |4 w+ I2 F" W2 N### 总结
- t( {% m- h$ a/ z7 W这段代码通过图形显示、符号积分和数值积分来综合比较结果，展示了函数 `y = cos(15*x)` 的行为。通过不同的步长进行数值积分，并对结果与理论值进行比较，可以分析数值积分的精度随步长变化的情况。这是一种在数值分析中检验数值方法有效性的常见手段。



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