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升级   39% TA的每日心情 | 开心 2016-8-29 17:02 |
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从素数到1+1
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请不要把素数和1+1看得那么神秘,我们用清醒的思路,正确的方法对待它,就会变得清清楚楚,明明白白。欢迎各位老师对本文所提到的所有问题,提出宝贵的意见和建议。3 d4 [+ J$ a ^# i% ?' U
一、素数
6 }% R' d, y# ~. N' x4 v. Q 素数的定义:只能够被1和自身数整除的数,叫素数。(自身数≠1)。6 F) b4 K7 g% P; Q Y. j
素数并不是人们所认为的那么神秘,那么高贵。其实,它是无孔不入,无处不在的东西。正是因为素数完美无缺的特性,素数与合数相比较,素数不属于近亲结合的产物,我们又称它为美丽的素数。
5 p! {0 n8 I% X 合数的定义:两个或两个以上素数的乘积叫合数。也可以理解为素数倍数的数叫合数。(这里的倍数,指两倍以上)。; `* @: R% w9 C" G$ v
根据素数与合数的定义,大于0的自然数可以分为三种数:素数,合数,1。
# G% H: W1 C5 ^ M 合数与素数的关系是固定的,任何一个合数,可以拆分为一组素数之间的乘积,并且只可以拆分为一组素数之间的乘积。反过来也成立,两个或两个以上素数的乘积,可以组成一个合数,并且只可以组成一个合数。, r& b* a5 _, W9 Y# m
素数与等差数列的关系0 T3 l4 j, `. t
我们可以用素数与差差数列的关系计算素数,还可以解决中国一个古老的算术题“不计其数”,对于解决1+1也有很大的帮助。/ t6 X& g4 J# A
内容有:等差数列,A+BN,A为等差数列的首项,B为等差数列的公差。具体内容是:
' r) ?2 Q8 o+ a# ]2 p" l 内容一,A能够被B整除时,那么,该等差数列的每一项,都能够被B整除;
8 P/ K8 s1 F, \6 O+ D4 x 内容二,我们将B分解为几个素数的乘积,如果说,A能够被B所分解出来的1个或几个素数整除,那么,该等差数列的每一项,都能够被这1个或这几个素数整除;$ G9 O! {4 Z' c# i( B
内容三,如果首项,不能够被公差或者公差分解出来的素数整除,那么,该等差数列的每一项,都不能够被公差或者分解出来的素数整除;
8 _# R6 ?3 J- T5 B 内容四,如果说,公差不能够被素数S整除,那么,该等差数列的S个连续项中,必然有一个项被素数S整除,S个连续项分别除以素数S,其余数分别为:1,2,3,4,……S-1,0。1 E, v8 ?& v" z9 v1 W
素数的形成:根据素数的定义,因为,2只能够被1和自身数2整除,所以,2是素数。于是,第一个素数就诞生了。
) U, i# u, D' n1 X1 {; v 由于2是素数,那么,大于2的偶数,都能够被素数2整除,即≥4的偶数都不是素数。于是,剩余了大于2的奇数,具备形成素数的条件。大于2的奇数可以用1+2N表示,(这里的N≥1)。也可以理解为:由于2是素数,在自然数2之内,只有1不能够被2整除,所以,大于2的素数产生于1+2N之中。特性:大于2的素数除以2都余1。! N w, u: D4 W+ z4 ?
1+2N的数为:3,5,7,9,11……。根据古人的说法,素数2删除后,大于2的第一个数是素数,于是,第2个素数3诞生了。
8 |- g, h& D3 t. }0 X 因为,素数3乘以小于3的数,或者是素数3本身,或者是素数2已经删除了的合数,或者是自然数1,所以说,在素数2删除后的剩余数中,小于3*3=9的数,除1以外,其它都是素数。得知,5和7也是素数。后面都是这样:前面的素数删除因子,都删除后,紧接着的素数平方之内的剩余数,除自然数1外,都是素数。
9 H4 n o' {2 M- ^+ c 因为,素数2*3=6,在自然数6以内,不能够被素数2和3分别整除的数,只有1和5。如果,能够被素数2和3分别整除的数2,3,4,6中的任何一个数加上6N,都必然能够被素数2或者3整除,故它们分别加上6N都不能够成为素数。即大于3的素数,只能够产生于在6之内不能够被素数2,3分别整除的1和5分别加上6N之中,即:1+6N和5+6N之中。) ^# C8 ]& t3 `- `
因为,1+6N等差数列中的首项,1除以3余1,所以,1+6N数列产生的素数除以3都余1,这是大于3的素数的特性;8 p# O( o: i7 W+ R3 z8 v
因为,5+6N等差数列中的首项,5除以3余2,所以,5+6N数列产生的素数除以3都余2,这也是大于3的素数的特性;
2 g% P0 z( K6 [, T9 C& D 于是,素数的产生,从这里开始,形成了两条线路。(这是解决1+1的关键)。% R! t% m% c- a, ^, ^- X7 X: ~
因为,大于3的素数是5,也就是说素数3后面一个素数删除因子应该为5。我们对这两个素数2,3删除后的等差数列,各取5项。(后面,都是按下一个素数删除因子的质取项数)。
. I" U8 o- }' G; }% S3 C. k& g 1+6N数列有:1,7,13,19,25;
7 b0 T8 h- k$ a: h8 R% w0 f 5+6N数列有:5,11,17,23,29。 o4 r B# O; s2 t. z9 }
在这两个数列中,小于5*5=25的数中,除了自然数1外,都是素数。8 ~3 e) ]: B [1 j" r
因为,这两个等差数列的公差是6,6不能够被素数删除因子5整除,所以,5个连续项中必然有一个数能够被素数5整除,对于1+6N数列,即除以3余1的数列取5项为:1,7,13,19,25,31,37……。又有1/5余1,7/5余2,13/5余3,19/5余4,25/5余0,31/5余1,37/5余2,……。在等差数列的循环项余数中,删除余0的25这个项,其余循环项的余数仍然存在。+ F! f7 z- L5 P; p
对于5+6N数列,即除以3余2的数列取5项为:5,11,17,23,29,35,41……。又有5/5余0,11/5余1,17/5余2,23/5余3,29/5余4,35/5余0,41/5余1……。这样的循环项余数中,删除余0的5这个项,其余的循环项余数仍然存在。
& s" x5 w& G5 ^# r7 J. _* [ 我们再看上面的两个等差数列,公差是一样的,首项都不能够被公差(公差分解出来的素数)整除,公差不能够被素数删除因子5整除。所以,它们的循环项的余数是一样的。故在后面的这种情况下,只须要寻找到一个数列循环项的余数,根据每个数列的首项余数顺推即可。! X$ d( R) ^: ~& T# F
因为,2*3*5=30,在30之内不能够被素数2,3,5整除的数有:1,7,13,19;11,17,23,29。那么,大于5的素数必然存在于以这8个数为首项,以30为公差的等差数列之中。2 D/ y, H1 o% F! `( `8 v
于是,除以3余1的线路出现了四个分枝:1+30N(除以5余1),7+30N(除以5余2),13+30N(除以5余3),19+30N(除以5余4);除以3余2的线路也出现了四个分枝:11+30N(除以5余1),17+30N(除以5余2),23+30N(除以5余3),29+30N(除以5余4)。' J3 H( j5 l8 Q) l/ a8 m( E
现在该素数7删除了,我们在这8个数列中任意取一个数列求循环项的余数。& h- l1 ^! `& i) A: V
1+30N数列有:1,31,61,91,121,151,181。余数循环排列为:1,3,5,0,2,4,6;* i: h# ^" E" h& v. s( r
其它数列,我们只须要知道首项除以7的余数,就可以按上面的余数排列类推。
; s( K3 h7 n7 _/ C* G. y9 y 7+30N数列有:7,37,67,97,127,157,187。余数循环排列为:0,2,4,6,1,3,5;
0 L8 W# F1 c7 F* h% I% o- O5 \7 [5 s- N 13+30N数列有:13,43,73,103,133,163,193。余数循环排列为:6,1,3,5,0,2,4;
0 E+ @$ x/ f1 j3 C [" H 19+30N数列有:19,49,79,109,139,169,199。余数循环排列为:5,0,2,4,6,1,3;
# H2 k8 M6 A; L+ r: x( ~ 11+30N数列有:11,41,71,101,131,161,191。余数循环排列为:4,6,1,3,5,0,2;
& g5 k) A& r8 L# K0 I0 Y0 |. V 17+30N数列有:17,47,77,107,137,167,197。余数循环排列为:3,5,0,2,4,6,1;
1 {1 h$ V* B2 y1 Z 23+30N数列有:23,53,83,113,143,173,203。余数循环排列为:2,4,6,1,3,5,0,;* V) O9 ]9 Q! S' q9 {- N+ C
29+30N数列有:29,59,89,119,149,179,209。余数循环排列为:1,3,5,0,2,4,6;0 s2 d0 ?9 u2 _
删除余数为0的项数后,剩余的48个数,因为,这48个数是素数2,3,5,7删除后的剩余数,所以,小于11*11=121的数中,除了自然数1,其它的数都是素数。# I5 V+ n2 I3 N# k2 ^) e
我们以这48个数为首项,以2*3*5*7=210为公差,组成48个等差数列,一方面前面的8个素数生成线路,又变为8*(7-1)=48条线路。即前面的8条线路中的每一条线路,都有除以7分别余1,2,3,4,5,6的数列;另一方面,下面该素数11删除了,每个数列取11项,按循环余数,很容易寻找到删除项(当然,对合数的删除还有另外一种方法,马上告诉你)。: }) D8 r! E5 q9 I5 @
在上面的48个数中,有121,143,187,209,169虽然不是素数,我们以121为例,不能说除以3余1,除以5余1,除以7余2的素数断送在121了,并非如此,121+210N有:331,541,751,961,1171,1381,1591,1801,2011,……。其中,331,541,751,1171,1381,1801,2011都是这种类型素数的代表,所以说,任何一种余数的素数都是完美无缺的。* O' R6 M* m4 h- Y; y" W
对于合数的删除方法,我们以上面的8个等差数列为例:4 ^; F% |/ A4 }$ W( C
1+30N数列有:1,31,61,91,121,151,181。, h: L) a5 R1 w# D! r6 N9 H
7+30N数列有:7,37,67,97,127,157,187。
* F- T; S/ k" I* c8 h) V 11+30N数列有:11,41,71,101,131,161,191。% W t; f8 o- } ^; D; \8 Q
13+30N数列有:13,43,73,103,133,163,193。
8 w% M1 B& g! e7 c 17+30N数列有:17,47,77,107,137,167,197。. Z' l E! t1 u& n, r
19+30N数列有:19,49,79,109,139,169,199。) o% D8 G+ K5 s, e, G0 x8 D& U
23+30N数列有:23,53,83,113,143,173,203。
: j, {9 [: F" @; ^ r6 Y3 V 29+30N数列有:29,59,89,119,149,179,209。
8 K! g. j2 u' n$ k! ?, d 我们对首项按由小到大的排列顺序,以首项分别乘以删除因子7,对于其得数按从左到右竖起寻找,也就是由小到大的顺序进行寻找是相当方便的。如果你想在上面这个表中,素数7删除后,再删除素数11的合数,209/11=19,再用11乘以素数7删除后≤19的剩余数即可,即11分别乘以1,11,13,17,19,就可以删除11在209之内所有倍数的数。后面的计算方法,照此办理,这里不再多说。
8 m9 y% G5 |. b9 W( K 这里应用的原理是:素数与合数的关系是固定的。即,素数2删除了素数2的倍数的数后,剩余1+2N的数不可能被素数2整除,在1+2N这个数列中存在素数3所组成的合数,但素数3在1+2N数列中所组成的合数,不可能拆分为素数的乘积,或者素数2所组成的合数的乘积,所以,我们要在素数删除后的剩余数1+2N中寻找素数3的合数,只有用3*(1+2N)才能够在1+2N的数列中寻找到删除数;
% U6 _( I& |9 M% h) n1 G& x 同理,素数2,3删除后的剩余数为:1+6N和5+6N,素数5在这两个数列中删除5的倍数的数,也只能够乘以这两个数列中的数所组成的合数,才能够在这两个数列中寻找到删除数,反过来,在这两个数列中能够被素数5整除的数,不可能被素数2和3整除;
# R. Y2 o& C3 p. l3 t8 \4 e& R. f 上面表中的8个数列为素数2,3,5删除后的剩余数列,在表中能够被素数7或素数11整除的合数,不可能拆分为含素因子2,3,5。所以,素数7的删除数为7分别乘以首项的数字。正因为这个因素,我们形成了《素数的综合计算方法》。9 c" ?5 O! U: y+ c6 b9 p) R0 N
因为,素数针对素数删除因子的余数(除0以外),是完美无缺的,所以,素数是永远存在的。 |
zan
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