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【笔记】向大家推荐一篇方程论方面的文稿

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发表于 2009-5-9 12:55 |只看该作者 |正序浏览

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本帖最后由厚积薄发于 2010-2-16 10:33 编辑

对于(xψ1a)ψ3(xψ2b) =c这样一个方程，其中a、b及c为已知参数，ψ1、ψ2及ψ3为参数化的运算，你知道如何求解吗？不用说，求解这种含参数式运算的方程比登天还难。如果将运算数即方程中的x、a、b及c**为-1、0、1三个离散数，则可给出求解该类方程的一整套完整的概念和方法。如若不信请看《方程论》一文！这样一个课题具有简单性，方程所含运算非参数化时，因为只有三个离散数，不管方程的表达式多么复杂，它的解是什么，我们只要拿-1,0,1三个离散数一一代入方程就可以知道其中的任何一个是不是方程的解。当然，当我们讨论所含运算为参数化运算的方程的求解时是需要用到本文引进的概念系统的。正因为离散时简单，我们才敢讨论含参数式运算的双枝方程。
运算数为-1、0、1三个离散数时，其上定义的运算称为散三运算，若将多值及无定义考虑在内，则可定义出8的9次方即134217728个散三运算。接受这众多运算对读者可能有难度，笔者曾试图用单变元或多变元函数的概念代替文中的单变元或多变元运算的概念，这样就不涉及导入众多新运算的问题。但如果这样，就不可能将方程的范围扩展至含参数式运算，而这是非常重要的扩展。
此一整套概念和方法可以推广向运算数即x、a、b及c为实变数时的情形。整个文稿分三部分，第一部分（散三运算及其构造的方程——方程论之一，网址：中国预印本服务系统http://prep.istic.ac.cn/docs/1241522253418.html ）足够简单，笔者曾用不到六个小时的时间讲给文科生，可以听懂。当然当面讲解与独立阅读毕竟不一样，但也难不到哪里去。第二部分（若干结果的推广——方程论之二，网址：http://prep.istic.ac.cn/docs/1241522502317.html）
对第一部分的若干结果做了推广，应该讲有相当难度，但花些功夫是可以理解并掌握的。第三部分（若干问题的讨论——方程论之三，网址：http://prep.istic.ac.cn/docs/1241522656783.html）看似简单，但其中的某些观点要真正理解却未必简单。因为是泛泛而论，所以能理解多少是多少。如果你的研究方向是代数或拓扑，你会发现代数与拓扑的研究思路之外还存在第三条道路。方程论之三谈到了方程求解的这一全新理论与代数及拓扑的关系，指出了代数的狭隘及代数赖以存在的基础即算术定律的局限，指出了拓扑为何可以走的很远但走的很浅。如果你是研究泛函或微分方程的，则会树立一个信念，那就是对学科内的几乎所有问题都可以得到精确的量的结论，而不是只能给出拓扑结果或近似的数值结果。至于笔者的观点是否正确，相信看完全部文稿，读者会有自己的判断。
阅读完本文，你会觉得方程论的基本理论和方法可以如此简单。观念和方法的进步使得原本顶尖数学家都望而生畏的方程，普通人却可轻易给出其解。同时你会惊讶数学真理可以如此之美。请将这些概念和方法讲给更多的人，让他们也能体验它的简单，让他们也能欣赏它的美。
本人力图使叙述简单清晰准确，如有错误及含糊之处敬请指出。

zan

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xiang1990

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发表于 2012-8-18 11:14 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

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bluetian

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发表于 2009-9-8 10:06 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

1．“三次方程口一一bx~+ — d一0的正狠可能是一个(“可知”)或三个(“不可
知”)。汪莱指出若 < d，方程只有一个正根，若os> d则方程有三个正根。⋯ ⋯ 汪
口 d
菜的上述结论是有问题的。”@
z．“53，55，57三式或有二正根一负根，或有二虚根一负根，皆属不可知，当无疑义。惟
先生之证明，迁迥曲折，读之颇难得其要领。大致先生证此三条时原有附图，夸图既不传，
说又简约，遂无可捉摸矣。此册之末录第五十五条小变之术’一则，亦未得其解。”④
3．“可以得出下列结论：当g≤ 二坦(!生1；时，方程一，一+g一0
＼／
有正根，否则无正根。我们可以用一些高等数学的知识来证明上述结论是完全正确的。但
汪莱何以有这样光辉成就，却有待进一步的研究。”@
4．“至其审三次方程式干p 干qx+ r一0正根之有无，先生所立之条件极繁睛幽
秘，校读颇难·琮费数日之力，反覆推详，终觉于方程式论原理未合，盖未免贤者之过
矣。”@本文试以上述四个问题的思考结果为重点，对《衡斋算学》第二册、第五册、第七册
作一比较系统的讨论，以就正同道。