二分覆盖

韩冰

<>二分图是一个无向图，它的n 个顶点可二分为集合A和集合B，且同一集合中的任意两个顶点在图中无边相连（即任何一条边都是一个顶点在集合A中，另一个在集合B中）。当且仅当B中的每个顶点至少与A中一个顶点相连时，A的一个子集A' 覆盖集合B（或简单地说，A' 是一个覆盖）。覆盖A' 的大小即为A' 中的顶点数目。当且仅当A' 是覆盖B的子集中最小的时，A' 为最小覆盖。</P>
' m* B, a+ _& v* d0 a7 Y/ R- y<>例1-10 考察如图1 - 6所示的具有1 7个顶点的二分图，A={1, 2, 3, 16, 17}和B={4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15}，子集A' = { 1 , 1 6 , 1 7 }是B的最小覆盖。在二分图中寻找最小覆盖的问题为二分覆盖（ b i p a r t i t e - c o v e r）问题。在例1 2 - 3中说明了最小覆盖是很有用的，因为它能解决“在会议中使用最少的翻译人员进行翻译”这一类的问题。</P>
<>二分覆盖问题类似于集合覆盖（ s e t - c o v e r）问题。在集合覆盖问题中给出了k 个集合S= {S1 , S2 ,., Sk }，每个集合Si 中的元素均是全集U中的成员。当且仅当èi S'Si =U时，S的子集S' 覆盖U，S '中的集合数目即为覆盖的大小。当且仅当没有能覆盖U的更小的集合时，称S' 为最小覆盖。可以将集合覆盖问题转化为二分覆盖问题（反之亦然），即用A的顶点来表示S1 , ., Sk ，B中的顶点代表U中的元素。当且仅当S的相应集合中包含U中的对应元素时，在A与B的顶点之间存在一条边。</P>
<>例1 - 11 令S= {S1，. . .，S5 }, U= { 4，5，. . .，15}, S1 = { 4，6，7，8，9，1 3 }，S2 = { 4，5，6，8 }，S3 = { 8，1 0，1 2，1 4，1 5 }，S4 = { 5，6，8，1 2，1 4，1 5 }，S5 = { 4，9，1 0，11 }。S ' = {S1，S4，S5 }是一个大小为3的覆盖，没有更小的覆盖， S' 即为最小覆盖。这个集合覆盖问题可映射为图1-6的二分图，即用顶点1，2，3，1 6和1 7分别表示集合S1，S2，S3，S4 和S5，顶点j 表示集合中的元素j，4≤j≤1 5。</P>
<>集合覆盖问题为N P-复杂问题。由于集合覆盖与二分覆盖是同一类问题，二分覆盖问题也是N P-复杂问题。因此可能无法找到一个快速的算法来解决它，但是可以利用贪婪算法寻找一种快速启发式方法。一种可能是分步建立覆盖A' ，每一步选择A中的一个顶点加入覆盖。顶点的选择利用贪婪准则：从A中选取能覆盖B中还未被覆盖的元素数目最多的顶点。</P>
<>例1-12 考察图1 - 6所示的二分图，初始化A' = 且B中没有顶点被覆盖，顶点1和1 6均能覆盖B中的六个顶点，顶点3覆盖五个，顶点2和1 7分别覆盖四个。因此，在第一步往A' 中加入顶点1或1 6，若加入顶点1 6，则它覆盖的顶点为{ 5 , 6 , 8 , 1 2 , 1 4 , 1 5 }，未覆盖的顶点为{ 4 , 7 , 9 , 1 0 , 11 , 1 3 }。顶点1能覆盖其中四个顶点（ { 4 , 7 , 9 , 1 3 }），顶点2 覆盖一个( { 4 } )，顶点3覆盖一个（{ 1 0 }），顶点1 6覆盖零个，顶点1 7覆盖四个{ 4 , 9 , 1 0 , 11 }。下一步可选择1或1 7加入A' 。若选择顶点1，则顶点{ 1 0 , 11} 仍然未被覆盖，此时顶点1，2，1 6不覆盖其中任意一个，顶点3覆盖一个，顶点1 7覆盖两个，因此选择顶点1 7，至此所有顶点已被覆盖，得A' = { 1 6 , 1 , 1 7 }。</P>
3 [$ j0 b1 ~  o<>图1 - 7给出了贪婪覆盖启发式方法的伪代码，可以证明： 1) 当且仅当初始的二分图没有覆盖时，算法找不到覆盖；2) 启发式方法可能找不到二分图的最小覆盖。</P>
<>1. 数据结构的选取及复杂性分析</P>
. H5 i! r: [6 ^: U: R<>为实现图13 - 7的算法，需要选择A' 的描述方法及考虑如何记录A中节点所能覆盖的B中未覆盖节点的数目。由于对集合A' 仅使用加法运算，则可用一维整型数组C来描述A '，用m 来记录A' 中元素个数。将A' 中的成员记录在C[ 0 :m-1] 中。对于A中顶点i，令N e wi 为i 所能覆盖的B中未覆盖的顶点数目。逐步选择N e wi 值最大的顶点。由于一些原来未被覆盖的顶点现在被覆盖了，因此还要修改各N e wi 值。在这种更新中，检查B中最近一次被V覆盖的顶点，令j 为这样的一个顶点，则A中所有覆盖j 的顶点的N e wi 值均减1。</P>
& d- `) f7 O  N<>例1-13 考察图1 - 6，初始时(N e w1 , N e w2 , N e w3 , N e w16 , N e w17 ) = ( 6 , 4 , 5 , 6 , 4 )。假设在例1 - 1 2中，第一步选择顶点1 6，为更新N e wi 的值检查B中所有最近被覆盖的顶点，这些顶点为5 , 6 , 8 , 1 2 , 1 4和1 5。当检查顶点5时，将顶点2和1 6的N e wi 值分别减1，因为顶点5不再是被顶点2和1 6覆盖的未覆盖节点；当检查顶点6时，顶点1 , 2 ,和1 6的相应值分别减1；同样，检查顶点8时，1，2，3和1 6的值分别减1；当检查完所有最近被覆盖的顶点，得到的N e wi 值为（4，1，0，4）。下一步选择顶点1，最新被覆盖的顶点为4，7，9和1 3；检查顶点4时，N e w1 , N e w2, 和N e w1 7 的值减1；检查顶点7时，N e w1 的值减1，因为顶点1是覆盖7的唯一顶点。</P>
* H8 q4 R% d, _* m, y<>为了实现顶点选取的过程，需要知道N e wi 的值及已被覆盖的顶点。可利用一个二维数组来达到这个目的，N e w是一个整型数组，New 即等于N e wi，且c o v为一个布尔数组。若顶点i未被覆盖则c o v [ i ]等于f a l s e，否则c o v [ i ]为t r u e。现将图1 - 7的伪代码进行细化得到图1 - 8。</P>
4 n  [2 H% W6 T0 ]' e" D2 M3 s<>m=0; //当前覆盖的大小</P>
<>对于A中的所有i，New=Degree</P>
<>对于B中的所有i，C o v [ i ] = f a l s e</P>
<>while (对于A中的某些i,New&gt;0) {</P>
. O8 [$ p! _& b<>设v是具有最大的N e w [ i ]的顶点；</P>
<>C [ m + + ] = v ;</P>
3 c$ }& R! X3 i/ H  k# U. M+ O% c<>for ( 所有邻接于v的顶点j) {</P>
<>if (!Cov[j]) {</P>
<>Cov[j]= true;</P>
<>对于所有邻接于j的顶点，使其N e w [ k ]减1</P>
<>} } }</P>
1 o2 X8 T! f5 W( q, C9 A2 {<>if (有些顶点未被覆盖) 失败</P>
<>else 找到一个覆盖</P>
: w: D; c/ z, }- I7 ~0 U<>图1-8 图1-7的细化</P>
+ M, G( _7 e+ v/ R; o# ?$ ~8 L<>更新N e w的时间为O (e)，其中e 为二分图中边的数目。若使用邻接矩阵，则需花(n2 ) 的时间来寻找图中的边，若用邻接链表，则需(n+e) 的时间。实际更新时间根据描述方法的不同为O (n2 ) 或O (n+e)。逐步选择顶点所需时间为(S i z e O f A)，其中S i z e O f A=| A |。因为A的所有顶点都有可能被选择，因此所需步骤数为O ( S i z e O f A )，覆盖算法总的复杂性为O ( S i z e O f A 2+n2) = O ( n2)或O (S i z e Of A2+n + e)。</P>
<>2. 降低复杂性</P>
' n. b! I1 J% _6 Q  N! U# D, `& X) j<>通过使用有序数组N e wi、最大堆或最大选择树（max selection tree）可将每步选取顶点v的复杂性降为( 1 )。但利用有序数组，在每步的最后需对N e wi 值进行重新排序。若使用箱子排序，则这种排序所需时间为(S i z e O f B ) ( S i z e O fB =|B| ) （见3 . 8 . 1节箱子排序）。由于一般S i z e O f B比S i z e O f A大得多，因此有序数组并不总能提高性能。</P>
  o4 ~7 o& x; s8 H+ ^<>如果利用最大堆，则每一步都需要重建堆来记录N e w值的变化，可以在每次N e w值减1时进行重建。这种减法操作可引起被减的N e w值最多在堆中向下移一层，因此这种重建对于每次N e w值减1需( 1 )的时间，总共的减操作数目为O (e)。因此在算法的所有步骤中，维持最大堆仅需O (e)的时间，因而利用最大堆时覆盖算法的总复杂性为O (n2 )或O (n+e)。</P>
<>若利用最大选择树，每次更新N e w值时需要重建选择树，所需时间为(log S i z e O f A)。重建的最好时机是在每步结束时，而不是在每次N e w值减1时，需要重建的次数为O (e)，因此总的重建时间为O (e log S i z e OfA)，这个时间比最大堆的重建时间长一些。然而，通过维持具有相同N e w值的顶点箱子，也可获得和利用最大堆时相同的时间限制。由于N e w的取值范围为0到S i z e O f B，需要S i z e O f B+ 1个箱子，箱子i 是一个双向链表，链接所有N e w值为i 的顶点。在某一步结束时，假如N e w [ 6 ]从1 2变到4，则需要将它从第1 2个箱子移到第4个箱子。利用模拟指针及一个节点数组n o d e（其中n o d e [ i ]代表顶点i，n o d e [ i ] . l e f t和n o d e [ i ] . r i g h t为双向链表指针），可将顶点6从第1 2个箱子移到第4个箱子，从第1 2个箱子中删除n o d e [ 0 ]并将其插入第4个箱子。利用这种箱子模式，可得覆盖启发式算法的复杂性为O (n2 )或O(n+e)。（取决于利用邻接矩阵还是线性表来描述图）。</P>
<P>3. 双向链接箱子的实现</P>
$ z  ?8 |) _5 L9 ?- c<P>为了实现上述双向链接箱子，图1 - 9定义了类U n d i r e c t e d的私有成员。N o d e Ty p e是一个具有私有整型成员l e f t和r i g h t的类，它的数据类型是双向链表节点，程序1 3 - 3给出了U n d i r e c t e d的私有成员的代码。</P>
$ R6 o% R. c% T, o
2 m$ r# U/ o9 P; V; }& c; R9 T
7 i% R! w/ W7 J' c1 H<P>void CreateBins (int b, int n)</P>
<P>创建b个空箱子和n个节点</P>
; r4 f+ E0 R+ p7 w<P>void DestroyBins() { delete [] node;</P>
<P>delete [] bin;}</P>
<P>void InsertBins(int b, int v)</P>
& e) m4 I- S3 C" {. W$ I<P>在箱子b中添加顶点v</P>
: E% c4 e3 @4 Y' x  }8 T+ J: I/ A! p<P>void MoveBins(int bMax, int ToBin, int v)</P>
. R* X7 O. K$ |<P>从当前箱子中移动顶点v到箱子To B i n</P>
<P>int *bin;</P>
<P>b i n [ i ]指向代表该箱子的双向链表的首节点</P>
<P>N o d e Type *node;</P>
<P>n o d e [ i ]代表存储顶点i的节点</P>
: T1 A( Y2 j& B2 k" b<P>图1-9 实现双向链接箱子所需的U n d i r e c t e d私有成员</P>
<p>
<P>程序13-3 箱子函数的定义</P>
<P>void Undirected::CreateBins(int b, int n)</P>
! r* _* c3 K  M' N4 y<P>{// 创建b个空箱子和n个节点</P>
- m( s4 K( c0 H' {( Y<P>node = new NodeType [n+1];</P>
<P>bin = new int [b+1];</P>
<P>// 将箱子置空</P>
" Q2 F3 Y: H8 B' A2 u7 d# t, m" Q  e<P>for (int i = 1; i &lt;= b; i++)</P>
<P>bin = 0;</P>
<P>}</P>
<P>void Undirected::InsertBins(int b, int v)</P>
<P>{// 若b不为０，则将v 插入箱子b</P>
<P>if (!b) return; // b为0，不插入</P>
# z3 G  z& @$ V4 b<P>node[v].left = b; // 添加在左端</P>
<P>if (bin) node[bin].left = v;</P>
2 A$ d" p; P5 I2 ~<P>node[v].right = bin;</P>
4 T+ C- z$ n) k* n" w, D<P>bin = v;</P>
% N0 n3 |6 j# C, y$ W& j0 o* ]<P>}</P>
$ ^( P' U6 s* w1 s8 w0 a5 |<P>void Undirected::MoveBins(int bMax, int ToBin, int v)</P>
, r6 m" f9 W! J, n4 V& Y/ a/ ~' }, B<P>{// 将顶点v 从其当前所在箱子移动到To B i n .</P>
  S( p8 U2 Q6 r# F<P>// v的左、右节点</P>
<P>int l = node[v].left;</P>
<P>int r = node[v].right;</P>
<P>// 从当前箱子中删除</P>
<P>if (r) node[r].left = node[v].left;</P>
) M6 [5 }9 e, k<P>if (l &gt; bMax || bin[l] != v) // 不是最左节点</P>
<P>node[l].right = r;</P>
<P>else bin[l] = r; // 箱子l的最左边</P>
8 N8 G( x/ j" r1 r1 k' [8 n<P>// 添加到箱子To B i n</P>
<P>I n s e r t B i n s ( ToBin, v);</P>
2 y+ q7 w' j- g$ f<P>}</P>
( ?7 e* r6 A! R" M<P>函数C r e a t e B i n s动态分配两个数组： n o d e和b i n，n o d e [i ]表示顶点i, bin[i ]指向其N e w值为i的双向链表的顶点, f o r循环将所有双向链表置为空。如果b≠0，函数InsertBins 将顶点v 插入箱子b 中。因为b 是顶点v 的New 值，b = 0意味着顶点v 不能覆盖B中当前还未被覆盖的任何顶点，所以，在建立覆盖时这个箱子没有用处，故可以将其舍去。当b≠0时，顶点n 加入New 值为b 的双向链表箱子的最前面，这种加入方式需要将node[v] 加入bin 中第一个节点的左边。由于表的最左节点应指向它所属的箱子，因此将它的node[v].left 置为b。若箱子不空，则当前第一个节点的left 指针被置为指向新节点。node[v] 的右指针被置为b i n [ b ]，其值可能为0或指向上一个首节点的指针。最后， b i n [ b ]被更新为指向表中新的第一个节点。MoveBins 将顶点v 从它在双向链表中的当前位置移到New 值为ToBin 的位置上。其中存在bMa x，使得对所有的箱子b i n[ j ]都有：如j&gt;bMa x，则b i n [ j ]为空。代码首先确定n o d e [ v ]在当前双向链表中的左右节点，接着从双链表中取出n o d e [ v ]，并利用I n s e r t B i n s函数将其重新插入到b i n [ To B i n ]中。</P>
- a- R: L# S2 U<P>4. Undirected::BipartiteCover的实现</P>
<P>函数的输入参数L用于分配图中的顶点（分配到集合A或B）。L [i ] = 1表示顶点i在集合A中，L[ i ] = 2则表示顶点在B中。函数有两个输出参数： C和m，m为所建立的覆盖的大小， C [ 0 , m - 1 ]是A中形成覆盖的顶点。若二分图没有覆盖，函数返回f a l s e；否则返回t r u e。完整的代码见程序1 3 - 4。</P>
4 h0 ^9 M1 Q  V7 N/ U* V<P>程序13-4 构造贪婪覆盖</P>
<P>bool Undirected::BipartiteCover(int L[], int C[], int&amp; m)</P>
+ {4 ^/ w. J% y: E<P>{// 寻找一个二分图覆盖</P>
& T) ^( B( ?3 O4 Q+ N1 K9 W<P>// L 是输入顶点的标号, L = 1 当且仅当i 在Ａ中</P>
( n3 ]6 D# f0 W/ M- Z) h<P>// C 是一个记录覆盖的输出数组</P>
  k3 ~5 S9 ^# O4 t<P>// 如果图中不存在覆盖，则返回f a l s e</P>
8 L0 y( I9 |, y  z* [  v<P>// 如果图中有一个覆盖，则返回t r u e ;</P>
( m: s, |& Q* j. s: V5 J<P>// 在m中返回覆盖的大小; 在C [ 0 : m - 1 ]中返回覆盖</P>
# r2 e$ h; H/ }( Y# k7 @<P>int n = Ve r t i c e s ( ) ;</P>
8 |3 w# q: m; @' O1 I1 U<P>// 插件结构</P>
6 \7 P. S+ k5 l5 `) H; n* y<P>int SizeOfA = 0;</P>
<P>for (int i = 1; i &lt;= n; i++) // 确定集合A的大小</P>
/ O% f. ^4 L3 p9 {" ^( ]4 D, m1 b<P>if (L == 1) SizeOfA++;</P>
<P>int SizeOfB = n - SizeOfA;</P>
<P>CreateBins(SizeOfB, n);</P>
4 y' n- r* X3 _+ i5 V" Y<P>int *New = new int [n+1]; / /顶点i覆盖了Ｂ中N e w [ i ]个未被覆盖的顶点</P>
  B  r5 t- u* W8 {$ n<P>bool *Change = new bool [n+1]; // Change为t r u e当且仅当New 已改变</P>
<P>bool *Cov = new bool [n+1]; // Cov 为true 当且仅当顶点i 被覆盖</P>
! ?  [4 O& M  c) K& f<P>I n i t i a l i z e P o s ( ) ;</P>
3 c4 W6 Y  \8 U: N- w<P>LinkedStack<INT> S;</P>
<P>// 初始化</P>
# ]" P. _" G- w" t<P>for (i = 1; i &lt;= n; i++) {</P>
<P>Cov = Change = false;</P>
8 o6 y/ P" E/ w5 g( t<P>if (L == 1) {// i 在A中</P>
<P>New = Degree(i); // i 覆盖了这么多</P>
<P>InsertBins(New, i);}}</P>
<P>// 构造覆盖</P>
<P>int covered = 0, // 被覆盖的顶点</P>
& }' {! h! g# B( b" y# O<P>MaxBin = SizeOfB; // 可能非空的最大箱子</P>
. m) p/ u* y7 F  J- r: r2 _<P>m = 0; // C的游标</P>
<P>while (MaxBin &gt; 0) { // 搜索所有箱子</P>
<P>// 选择一个顶点</P>
<P>if (bin[MaxBin]) { // 箱子不空</P>
" g$ b3 i, M; d$ J; v- ?% U<P>int v = bin[MaxBin]; // 第一个顶点</P>
, h* ]' o4 h+ _5 B# o<P>C[m++] = v; // 把v 加入覆盖</P>
/ g+ Z$ [1 e6 B# m<P>// 标记新覆盖的顶点</P>
$ V( H/ d$ V0 ~% e) {<P>int j = Begin(v), k;</P>
<P>while (j) {</P>
<P>if (!Cov[j]) {// j尚未被覆盖</P>
( d$ H# M) m( M8 P3 ]9 J<P>Cov[j] = true;</P>
% d$ j2 k' F! u9 a. w& ]<P>c o v e r e d + + ;</P>
<P>// 修改N e w</P>
) t4 Q8 Z  p  n: \, P  z! t) v<P>k = Begin(j);</P>
) w# ~. A* S. S, g<P>while (k) {</P>
/ }9 ?) U  h5 Q3 M<P>New[k]--; // j 不计入在内</P>
<P>if (!Change[k]) {</P>
, f7 z3 B+ O% R5 k# V) z1 K<P>S.Add(k); // 仅入栈一次</P>
<P>Change[k] = true;}</P>
<P>k = NextVe r t e x ( j ) ; }</P>
<P>}</P>
& R& Q3 s. K. j* D# z<P>j = NextVe r t e x ( v ) ; }</P>
<P>// 更新箱子</P>
<P>while (!S.IsEmpty()) {</P>
% @1 @% n" K$ k$ K% d<P>S . D e l e t e ( k ) ;</P>
<P>Change[k] = false;</P>
<P>MoveBins(SizeOfB, New[k], k);}</P>
<P>}</P>
<P>else MaxBin--;</P>
<P>}</P>
# m$ k3 r3 c0 h<P>D e a c t i v a t e P o s ( ) ;</P>
5 L( A! Y" ^! d9 Q6 l, V3 ?<P>D e s t r o y B i n s ( ) ;</P>
<P>delete [] New;</P>
<P>delete [] Change;</P>
6 G- L. Y! L6 Y* ~7 `<P>delete [] Cov;</P>
$ R; I+ k, c1 ?7 }<P>return (covered == SizeOfB);</P>
<P>}</P>
6 W4 X/ V) C: G" B<P>程序1 3 - 4首先计算出集合A和B的大小、初始化必要的双向链表结构、创建三个数组、初始化图遍历器、并创建一个栈。然后将数组C o v和C h a n g e初始化为f a l s e，并将A中的顶点根据它们覆盖B中顶点的数目插入到相应的双向链表中。</P>
* K, ?0 f7 G. R8 N* c<P>为了构造覆盖，首先按SizeOfB 递减至1的顺序检查双向链表。当发现一个非空的表时，就将其第一个顶点v 加入到覆盖中，这种策略即为选择具有最大Ne o v [ j ]置为t r u e，表示顶点j 现在已被覆盖，同时将已被覆盖的B中的顶点数目加1。由于j 是最近被覆w 值的顶点。将所选择的顶点加入覆盖数组C并检查B中所有与它邻接的顶点。若顶点j 与v 邻接且还未被覆盖，则将C盖的，所有A中与j 邻接的顶点的New 值减1。下一个while 循环降低这些New 值并将New 值被降低的顶点保存在一个栈中。当所有与顶点v邻接的顶点的Cov 值更新完毕后，N e w值反映了A中每个顶点所能覆盖的新的顶点数，然而A中的顶点由于New 值被更新，处于错误的双向链表中，下一个while 循环则将这些顶点移到正确的表中。</P>

daomeidan1234

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mengfanqi

<>good!</P>