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控制论丛书[优选学（华罗庚）]

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lightyu

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自我介绍: 本人在北交大读“交通控制”专业博士，很多数学领域的问题想在些向大家学习。

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发表于 2009-11-20 14:50 |只看该作者 |正序浏览

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控制论丛书[优选学（华罗庚）]优选学
　　优选学

　　(optimization method)

　　在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法。它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域。

　　在中国，优选学中的一些理论和方法首先被应用于化工与电子行业中工艺参数的优选、仪器设备的调试控制等方面，然后逐步在石油、冶金、煤炭、建材、纺织、粮食加工、机械、医疗卫生等领域得到了开发和应用。70年代中期以来，优选与电子计算机相结合，在优化设计、新产品试制、模型参数的识别、经济决策、经济发展规划优选等方面取得了很好的效果和经验。

　　为了推广优选方法，中国数学家华罗庚在理论研究和开发研究工作的基础上，选定了几种理论上靠得住、又易于应用的方法，编写出《优选法平话》（署名齐念一，1971）和《优选法平话及其补充》(1971)等通俗小册子。他带领优选法推广小分队到国内大部分省、市、自治区，向生产单位介绍方法和应用案例，组织推广和应用。人们应用这些方法,取得了大量的优选法成果,在不增加投资、设备和人力的条件下，为实现优质、高产、低消耗，取得了明显的经济效益和社会效益。有些成果已编入《全国优选法成果汇编》(1977)等文集中。优选法几次被定为国内重点推广项目，并被国家经济委员会评为在国内应用范围广泛、效果明显的方法之一。

　　优选的数学模型与方法　一般的优选问题常可在数学上表达为在一定条件下求取最优解，即：

　　[805-1]式中为决策变量，()为目标函数,()≥0和()=0分别为不等式约束和等式约束。

　　决策变量可以是单变量,也可以是向量：=(,,…，)。当≥2时称为多变量优选问题。若是时间的函数 =()，则称为动态优选问题。当是随机变量时，称为随机优选问题。若目标函数()是向量函数：

　　[805-2]),称为多目标优选问题。同样,()和()可看作是的向量函数。当约束条件不存在时，称为无约束优化问题。

　　优选模型可分为下述三大类，分别有不同的方法求出模型的最优解（或近似最优解）。

　　① 目标函数或约束条件不能用明显的数学表达式表示，或有数学表达式能计算出每点的函数值，但()的导数不存在。此时只能通过实验(或计算)获得目标函数值。问题在于如何利用尽可能少的试验次数，尽快地找到最优解。选择最佳工艺条件和最佳配方、设备仪器调试等问题便属于这一类。这一类的优选方法有:0.618法(黄金分割法)；对分法；一批作多个试验的方法；分数法；抛物线法；因素轮换法；从好点出发法；各类爬山法；陡度法；平行线法；切块法；抛物体法,等等。

　　② 目标函数与约束条件均可用明显数学表达式表示。最简单的数学表达式是线性函数，此时可用线性规划的方法去求解。在一般情况，上述函数中的全部或一部分常常是非线性的，所对应的求解方法是非线性优化，或称非线性优选法。例如二次规划，最小二乘法，梯度法，牛顿类的方法，以及在第一类模型中所用的一些方法，等等。

　　③ 决策变量是某函数族中的元素。此时的优选模型是在一定的约束条件下求函数族中的最优函数。例如当决策变量和时间有关，即=()时的动态优化或多阶段优化模型，属于这一类。求解这类模型，除了在第一、二类模型中所用的方法外，还有变分法、动态规划、最大值原理和控制理论中的一些方法。

　　优选过程　对于实际问题的优选过程可用如右上图表示。

　　①确定问题　首先对优选问题作目标分析，即优选的目的是什么？达到这目的的手段以及影响此目的的因素有哪些？这些手段和因素受哪些条件的制约？以上有关的目的、手段、因素、条件中哪些是定性的？哪些是定量的？然后明确所要解决的问题的边界、本问题与外界的联系、决策方案的含义、决策的目标、方案效果的评价标准。

　　②方案可行性条件的研究　确定可供选择的方案集合以及这些方案的**条件。例如在工艺优选实验中，实验范围内部与外部的技术、经济、社会、资源等条件的**。

　　③ 确定决策变量决定用哪些变量或函数来描述决策方案。例如在无线电网络优化设计中，决策变量为电子元件的电阻、电容、电感的数值等。

　　④ 模型参数识别　优选模型中,除决策变量和控制变量外的其他参数称为模型参数，这些参数在模型中为给定的已知数，但在实际问题中往往还需要通过某些途径来确定。例如，反映外界条件**的市场需要量要根据市场预测来决定；计划模型中的人、财、物的消耗定额，需要进行定额分析来给出，等等。

　　⑤ 确定优选模型这一步是通过对目标函数及约束条件的分析以建立优选的数学模型。目标函数的分析是将决策目标分为能用数量描述的定量指标和不能用数量描述的定性指标，分析判断需要纳入优选数学模型的目标，其中哪些目标作为模型的目标函数；哪些目标将转换成约束条件并用控制变量进行控制（例如将投资均衡换成约束条件，用上下波动幅度来控制）；约束条件的分析是确定纳入模型的可行性**条件能否用决策变量和控制变量之间的函数关系表示，若能够，则写出约束条件方程。未列入目标函数或约束条件的那些评价标准和可行性**条件可留作方案最终评审的依据。

　　⑥ 求解数学模型　根据优选数学模型的特点,用相应的优选方法寻找出最优解。有时由于寻找最优解的代价太大，而实际情况又允许，只需寻找满意的近似最优解或合理解。

　　⑦ 敏感度与风险分析建立敏感度分析的有关模型，研究由于控制变量或模型参数的变化对最终方案的指标和合理性可能产生的影响，用以评价优选方案的稳定性和决策方案所冒的风险。

　　⑧ 优选方案评审由决策者组织各方面有关的专家，对优选数学模型输出的优选方案进行评审。仔细考察相应于优选方案的评价指标和敏感度分析的结果是否满足实际需要；未列入模型的其他评价标准和可行性**条件是否得到满足；还可以同经验方案进行对比以决定优劣。经过评审，往往需要对模型的概念作修改，即修改决策变量或模型中的目标函数和约束条件，也可能需要改变对模型参数的控制，然后重复③至⑧各步骤。

　　⑨ 确定最终优选方案评审通过的方案投入实际使用,经实践检验满意的方案便被确定为最终优选方案,否则还需进一步修改完善，重复上述的步骤。

　　从上述优选过程可以看出，在寻求管理或技术等领域中的最优方案时，用数学方法求出优选数学模型的最优解只是此过程的一个重要组成部分，但不是全部。优选过程还包括了在此以前的对实际问题的研究和目标分析、建立优选数学模型、模型和参数的识别、在求出数学模型最优解后的敏感度分析、对最优的（或近似最优的）决策方案的评审、以及信息的反馈等。

扩展阅读： 1.参考书目 2.华罗庚著：《优选学》，科学出版社，1984。 3.D.J.华尔德、C.S.皮特勒著，龙云程译：《优选法基础》，科学出版社，1975。(D. J. Wilde andC. S. Beightler, Foundation of Optimization, 2nd ed., Prentice-Hall,Enalewood Cliff,New Jersey, 1979. 4.R.Fletcher, Practical Methods of Optimization,John Wiley & Sons, New York, 1980.