200911网友求助《带约束条件的多元函数求偏导》

数学者

已知多元函数F(x,y,z)=xyz，并且有x^2+y^2+z^2=1，求偏导dF/dx。

      注：由于约束条件的存在，x,y,z三者应该是相互制约的，但是它们三者的关系该如何确定呢？在下将y和z均看成是x的隐函数来进行求解，但是未遂 。在下也曾想过是否能用几何、代数、概率论或者运筹学等方法来加以解决，奈何学术浅薄，亦不能如愿。
      于是在下便来到这个数学的大平台向各位高手发出求助信号，万望各位大侠不吝指点，感激不尽！


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彩虹天堂

好像看过！！！！！！！！！！！！！！！！

数学者

楼上能否写一下求解过程呢？
Y=a1*P1+a2*P2+a3*P3+...+an*Pn; 其中a1+a2+a3+....+an=1，求dY/da1
下面是我的求解方法（受启发于2楼）：


下面给出4个变量时的求解过程：

    不足之处请望各位高手指点~

dreamofyou

Y=a1*P1+a2*P2+a3*P3+...+a12*P12  看做 等式一
a1+a2+a3+....+a12=1  为二
用隐函数微分存在定理  用雅各比 行列式 解

数学者

Y=a1*P1+a2*P2+a3*P3+...+a12*P12; 其中a1+a2+a3+....+a12=1，求dY/da1。
以上这个问题在下已经解决，等有空就放上来让大家评判评判~

数学者

回复 8# leo12ok


    这样的思路曾经尝试过，但处理后好像对不同ai=1-a1-...a[i-1]-a[i+1]-...a12,会有不同的结果~

leo12ok

回复 7# 数学者

引用二楼的思路：将约束条件转化到原函数中。

约束条件是a1+a2+...+a12 = 1，那么将除a1以外的其他任意变量ai用其他变量表示：

ai = 1-a1-a2-...-a[i-1]-a[i+1]-...-a12，带入到原函数中，直接a1求偏导，不知道可不可以。

数学者

如果把问题再扩展一下，变成如下形式：
Y=a1*P1+a2*P2+a3*P3+...+a12*P12; 其中a1+a2+a3+....+a12=1，求dY/da1。
又该如何下手呢？

数学者

按楼上这样变形后可以求出来，应该就是这样子了，多谢指点！

leo12ok

那将这个公式变下形：dF/dt=(df/dx)*(dx/dt)==> df/dx = (df/dt)/(dx/dt )怎么样呢？