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歌德尔不完全性定理

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xitagrace

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发表于 2010-3-9 21:47 |只看该作者 |正序浏览

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本帖最后由 xitagrace 于 2010-3-11 11:39 编辑

哥德尔不完全性定理
   哥德尔是德国著名数学家,不完备性定理是他在1931年提出来的.这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化,更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑.该定理与塔斯基的形式语言的真理论,图灵机和判定问题,被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果.
　　哥德尔证明了任何一个形式体系,只要包括了简单的初等数论描述,而且是一致的,它必定包含某些体系内所允许的方法既不能证明也不能正伪的命题.
　　歌德尔第一不完全定理:设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论,如果S是一致的,则下文的T与非T在S中均不可证。
　　歌德尔第二不完全定理:如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
　　（第一不完备性定理：任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
　　第二不完备性定理：任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。）
从悖论开始
   悖论就是逻辑上的自相矛盾，似是而非，似非而是。注意，必须是逻辑上不同才是悖论。“先有鸡还是先有蛋”这句话就不是悖论，因为这个问题的关键在于如何定义鸡和蛋，和逻辑和悖论没一点关系。
　　最古老的悖论是两千多年前克里特岛的“说谎者悖论”，若你说它是假命题的话.就可推出它是真命题，反之亦然。其最简形式就是：
　　本命题是不可证明的。
　　这种悖论属于语义悖论，悖论还有循环悖论等。此处从略。
哥德尔不完全性定理的由来
   虽然与悖论打了几千年交道，可数学家们不觉得他们可怕，因为他们与数学无关。直到20世纪，一小撮聪明人才隐约觉察到，在悖论中有着一些深刻的数学理论。
　　事情要从崇尚理性的文艺复兴时期谈起，当时的学者如笛卡儿、莱布尼茨等都想创造一个理论解决一切问题。莱布尼茨甚至设想把逻辑学用数学符号表示，以后每逢争论，拿支笔一算就见分晓了。事实证明，莱布尼茨的对符号逻辑的建立起了很大作用。
　　莱布尼茨太超前了，没能完成他的夙愿。又过了200年，著名学者康托尔提出集合论，为统一数学提供了一线希望。
　　集合论的出现，标志着数学的诞生。有了集合论，人们就没必要（也不能）发明更广层次的理论了。
　　就在数学家踌躇满志的时候，集合论中出现了悖论。康托尔自己就发现了一个（包含一切集合的集合是否存在？），更严重的是罗素悖论，其中也出现了以自己为元素的集合。两个悖论搅得数学王国不得安宁，史称“第三次数学危机”。后来这种定义被公理排斥掉了，数学王国又恢复了平静。不过很快，人们就意识到，这不过是“虚假的繁荣”。
　　不识庐山真面目，只缘身在此山中。这两句话深刻地说明，只有站在更高的层次，才能看到更多的 “风景”。那么，我们有望看到整个数学的风景吗？
　　20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此劲有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，以保持公理系统最简洁）和“无矛盾性”（即相容性，公理和公理之间不能是自相矛盾的）。
　　值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是经过了彻底的形式化。他们存在于一门叫做元数学的分支中。元数学与一般数学理论的关系有点像计算机中应用程序和普通文件的关系。
　　希尔伯特是个乐观主义者，他的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。正当一切都越来越明朗之际，突然一声晴天霹雳。1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能在有限步内判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
哥德尔不完全性定理的影响
   哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”
　　但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生**性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。
　　有意思的是，在现在十分热门的人工智能领域，哥德尔不完全性定理是否适用也成为了人们议论的焦点。1961年，牛津大学的哲学家卢卡斯提出，根据哥德尔不完全性定理，机器不可能具有人的心智。他的观点激起了很多人反对。他们认为，哥德尔不完全性定理与机器有无心智其实没有关系，但哥德尔不完全性定理对人的**，同样也适用于机器倒是事实。
　　哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛，难怪哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中，排在第一的就是哥德尔。