详细晾晒A题思路

artoriuslei

这两天终于休息够了，晚上突然来了精神，就到社区来看看，顺便晾晾我们队的思路。
我们队选的是A题，总体上看对这道题的认识就是：问题一是要我们在一种简化的情况下思考出油的体积的模型，问题二是要我们将问题一所思考的模型应用在实际储油罐上，并且通过搜索找到最优的a和b，并用实验数据进行拟合优度检验。
* y* G1 a7 I6 R) g: N8 c; w- `具体说来，整个题的经历思路如下：
3 z, E6 s& J3 ?6 h7 i8 u6 [0 d9 z问题一：
首先是油的体积模型，我们以油罐的中轴线作为x轴，探针作为y轴建立了一个平面直角坐标系。在这个坐标系下，油面被我们用显示油高表示为了一条倾角为a的直线。从而我们采用了油罐的椭圆横截面作为积分变元进行积分，积分上下界取油罐的左右端点（如果没有油的地方就令横截面为0，条件为对应油面直线上的点的纵坐标小于-6）。
' ~) G8 r# H% ?: C; `在模型出来之后，我们先求得了附件一中无变位（a=0）的显示油高对应的理论油量（算法就是用matlab数值积分），发现求得的结果和附件一中的实验值有很大偏差，而且这个偏差还是和显示油高成线性关系的；然后，我们求得了附件一中变位（a=4.1）的显示油高对应的理论油量，又发现求得的结果和附件一中的实验值有很大偏差，而且这个偏差还是和显示油高成二次关系的。所以，我们分析了偏差的来源，最后发现，如果假设没有其他物理因素导致偏差，只有可能从下面两个方面出现偏差：题目给的小油罐的尺寸不是内径尺寸，也就说明存在罐壁的体积造成偏差，而且罐壁厚度不均（这个是最能说明有变位的时候的二次关系的，因为椭圆柱倾斜的时候油所覆盖的区域的截面大致呈圆锥曲线）；题目所给小油罐里面的探针和进出管道占有一定体积。所以通过对偏差的分析，我们求解了两种情况下的偏差和显示油高的函数，并用这个函数对我们接下来求得的无变位罐容表和有变位罐容表进行了修正。
1 I& F6 ~- G. B4 p, s0 o问题二：
首先是修改模型，其实坐标轴还是那么建，油面还是以显示油高（这个时候显示油高先由b处理成了和问题一中显示油高相同的逻辑形态）表示成了倾角为a的直线，积分上下界是油罐的最左端点和最右端点。但是积分的时候是用油罐的横截面圆（不管是球冠还是圆柱的横截面都是圆），并且求得了不同x所对应的横截面圆的半径r，从而用油面直线上的纵坐标表示出了横截面圆的面积（y小于r的认为是0）。
- a5 s2 b3 {+ s; m, S3 U! K然后还是像问题一一样，先看是否存在偏差，结果我们发现，我们用附件二中的显示油高所计算的a=0，b=0时的油的体积和附件二中的显示油量相差不超过千分之0.3.，所以说明问题二所给油罐尺寸即为内径尺寸，并且实际油罐肯定采用了类似超声探测的技术使得没有了探针的偏差。因此，问题二不需要进行偏差的修正。
接着就是计算实验数据的a和b了，我们采用了最小二乘法，建立了一个以残差平方和最小，决策变量为a，b的优化模型。并采用搜索的方法，先是a和b从0到10搜索了121组数据得到a=2~3，b=1~5（b对a的灵敏度极高），再以0.1的精度进行进一步搜索，得到a=2.05~2.15，b=4.3~4.5，进而以0.01为精度搜索得到a=2.10，b=4.35，残差平方和为537.83升平方。
5 S6 \, d8 Z* }) P进一步拟合优度检验，我们得到可决系数为0.999，非常高了，于是在H0假设可决系数大于0.99的情况下通过原假设。
/ _2 Z! G4 ]; o' g最后以这个a和b求得了10cm一跳的罐容表。
# _4 J; y+ J8 h& S（上述思想版权所有，不要抄袭）
# B+ n: J; b- }, D这就是我们的思路和求解过程。大家也来晾晾自己的思路嘛~
6 C6 `/ H+ o7 p4 c6 u# p3 z$ j
2 N1 Q! [' k+ H+ _4 {) k

chendongyi

很好很强大！

luqsong

etret
5 e) F0 x2 Y. |6 [
- \5 r/ l+ V2 l9 I. c   

12366

给我一个女人，我可以创造一个民族；给我一瓶酒，我可以带领他们征服全世界 。。。。。。。。。  

pku007

lz 你们检验的思想非常好
特别是 第一问 检验出来需要修正
! d9 P& z4 N2 B- i! n第二问检测出来不用修正
肯定是有国奖了

9 U. u) n) I5 ^9 ~2 N, v$ j不过我觉得如果你只是靠硬算积分的出来的
4 W- l5 ^. O9 y5 G$ A' o$ H（你们的模型是 计算体积与拟合体积残差 和最小 对吧）
8 _3 ]2 s; D& g! D& C- F" I可能有些问题
比如你说的以水平截面 计算积分
& a. \6 F4 h$ y0 V; T: x2 S实际上是很难精确的
* x8 {5 k" p5 }- w2 K水平面积包括三个部分
两端是 两个弓形 园的一部分
中间是 一个类似梯形
前两个弓形的半径 不是大球半径 需近似
) d- a( _( H4 D3 ?中间上下底是直线 但边是弧线 更难积分
也是近似
  b: p, F" a8 c1 M
所以你计算出来的体积可能有误差
- M/ g( q$ r3 A如果你们写作好 这叫误差
写作不好 则会被看成硬伤 对文章的打击比较大

, I/ [9 T. A1 p& C+ a1 g
0 m6 l1 y; @& ]# f1 q

broken1999

3 E; V# U9 ?3 ~4 p$ a
! ^& y* V& q+ x8 M  l& w 好长....      顶一个吧   不过说实话 比赛结束了 我真的怕看答案

zhou625315237

ezenmhuishi

artoriuslei

回复 pku007 的帖子
  ?, x, R/ X6 l( d( k5 \这样的，这个横截面积实际上还是通过积分求出来的，首先我们通过上面说的x求得了罐子不同位置的横截面半径r（这个是绝对可以很精确得到分段函数的），并且通过油面的直线方程得到对应位置的y，然后通过对2倍根号下r方减t方从-r到y对t积分，这样就可以得到横截面积了。再在计算的时候采用数值积分的方式处理，只要步长足够小，都可以把误差控制到千分之二（国家质量监督要求工程误差不得高于千分之二）以下。

   

gaoxian

顶顶！不错！我们没有拟合出来，一个在WORD里面要写六七行的式子怎么拟也不可能！哎，悲剧了，先提前祝贺了！

artoriuslei

回复 gaoxian 的帖子
/ Q! p, B. A2 |9 m
. l$ v" }" w; \2 a, C, S我们都还不晓得有没有机会报国家呢~主要是我们省每个高校都有5名的A题上报上限，我们学校做A题的有好几十个。。。