关于素数公式的初等证明[原创]

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海里游

具体一点，公式是什么，代入什么样的数字，得出那些数字，既然这个公式包括了所有素数，从头到尾的多算出几个，或从自然数的那一段到那一段共有多少素数，通过公式一代入一个也不少的求出来，那大家才佩服你呀，只是这么一证，也不知你是在证明n^2-n+p，还是证n^2-n+p的拓展，不管怎样n^2-n+p还是个代数式，你的三个是定理还是公式，没看出来，要是定理就不能说是公式，要是公式就是明明白白的代数式，也许我没认真看，我相信别人也不会认真看的，既然说是公式，就把公式摆出来，别人按你的要求一代，想算什么素数就算什么素数，那才叫素数公式。你计算的代数式一会加，一会减，一会平方，一会立方，不知再算什么。不能只是自我陶醉呀，希望能给一个清楚明白的计算。

liuxiaoqiang

对不起楼主，由于本人是新手，无发贴的权利，只好将我的一篇论文登在此处，与大家探讨。
& ~1 m$ Z& [0 @$ b用求根方法巧妙证明费马猜想
9 N/ ]% W3 ^/ l  k作者：刘孝强
一、费马猜想简介：
1.费马猜想： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n无正整数解。
2.费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它定理对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
: L. h: W& q) R# `3.这个猜想，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“猜想”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁•怀尔斯和他的学生理查•泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此猜想，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
* u% Z( K% _( {: _0 |" h  _' o甚至有许多数学家断言：费马猜想不可能用初等数学的方法证明。
* S8 e0 G, }/ H1 _# l. I. `二、求根方法证明费马猜想简介：
安德鲁•怀尔斯的证明十分繁琐，而本人以下的证明十分简明。
$ b9 i4 e3 W7 T1 V) I* P+ h1.我们知道费马猜想即：当n > 2时，不定方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。为了证明这个结果，只需证明方程x^4 + y4^ = z^4 (x , y，z) = 1和方程x^p + y^p = z^p (x , y，z) = 1［p是一个奇素数］均无正整数解即可。
n = 4的情形已由莱布尼茨和欧拉解决。
现在本人用求根方法来证明x^p + y^p = z^p ，(x , y，z)= 1［p是一个奇素数］无正整数解。
+ f8 ~  O* z0 f* }  G( \' X  {1 m因(x , y，z)= 1，很容易证明x和 y，要么均为奇数，要么为一奇一偶。
2.为了证明简单明了，我们先来看p=3的情形。我这种证明方法可推出p为任何奇素数的对费马猜想的一般证明：当p≥3的素数时，x^n+y^n=z^n无正整数解。
4 r( ]* f* `. z6 t. n! M# E用反证法。假定 x^3+y^3=z^3有正整数解。有x和 y要么均为奇数，要么为一奇一偶。不妨假设y为奇数。那么有：
z^3 = x^3 + y^3=（x + y）（x^2 + y^2－xy）。
+ ?3 h' l1 U' O- |: p6 H) J设x^2 + y^2－xy=A，即x^2 －xy + y^2－A =0，把此式看成关于x的一元二次方程。
为了后面的证明，我把x^2 －xy + y^2－A =0这样的方程称为标准方程。
即求x^2 －xy +y^2－A =0的解。用求根公式，有x=-（-y）±√（－y）^2－4（y^2－A）/2（注：√表示根号）= y±√（－y）^2－4y^2+4A/2= y±√4A－3y^2/2=  y±√4（x^2 + y^2－xy）－3y^2/2= y±√（2x －y）^2/2。因（2x －y）^2≥0，所以方程在实数范围内有根。这里需要讨论：
（1）当2x －y>0时，因x= y±√（2x －y）^2/2，可得x=x，或x = y/2 即y= 2x（这与2x －y>0相矛盾，舍去）。
（2）当2x －y<0时，因x= y±√（2x －y）^2/2，可得x=x，,或x = y/2 即y= 2x（这与2x －y<0相矛盾，舍去）。
) X/ b# i. J7 d% L（3）当2x －y=0时，因x= y±√（2x －y）^2/2，可得y= 2x。
综合上面三种情况：在实数范围内，x^2 －xy + y^2－A =0有实根x=x或x = y/2 即y= 2x。
但显然在正整数范围内，因y= 2x，有y为偶数，与前面假设y为奇数相矛盾。也就是说x^3+y^3=z^3在正整数范围内无解。
为进一步明白我的思路，现在来看x^5 + y^5=z^5的情况。这时有x和 y要么均为奇数，要么为一奇一偶。不妨假设y为奇数。那么：
. x! V* F: Z1 m9 e: o- {+ p7 dZ^5= x^5 + y^5=（x + y）（x^4 + xy^3－x^2y^2+ x^3y+y^4）
7 M8 e# C# V( k5 _设x^4 + xy^3－x^2y^2+x^3y+ y^4=M，又设x^4－x^2y^2+ y^4=M- xy^3 -x^3y =C，即x^4+ y^4－x^2y^2- C = 0，用代元法，设x^2=X ，y^2=Y，有：X^2+ Y^2－XY- C = 0，这就成了标准方程，从而可用证明标准方程的方法进行证明即可。采用上面的方法，在实数范围内，有由X = X或X= Y/2 即Y= 2X。但在正整数范围内，由Y= 2X，有y^2= 2x^2，这时y为偶数，与前面假设y为奇数相矛盾。也就是说x^5+y^5=z^5在正整数范围内无解。
现在来看费马猜想的一般情形：同样用反证法。假定x^P+y^P=z^P（p是一个奇素数）有正整数解。这时有x和 y要么均为奇数，要么为一奇一偶。不妨假设y为奇数。那么因z^P=x^P－y^P=（x + y）（x^P-1+xy^p-2+…－ x ^p-1/2y^p-1/2+…+ x^P-2y+ yP-1）,设（x^P-1+xy^p-2+…－ x ^p-1/2y^p-1/2+…+ x^P-2y+ y^P-1）=C，即x^P-1+…－ x^ p-1/2y^p-1/2+…+ x^P-2y + y^P-1－C=0，设D=C-（xy^p-2+…+ x^P-2y），采用上面的方法很容易推出方程：x^P-1－x^p-1/2y^p-1/2+y^P-1－D=0，用代元法设x^ P-1/2=X ，y^p-1/2=Y，有：X^2+ Y^2－XY- D = 0，这就成了标准方程，从而按证明标准方程的方法就可以证明：x^P+y^P=z^P（p是一个奇素数）无正整数解。
8 |* D$ n) I; Q& N# U" q  p证毕。
3 |; F8 C! X! t, c8 j
                         2010年12月3日

（作者单位：四川省万源市太平镇。QQ号：516030331）

sdqdzhxg

海里游 发表于 2011-11-12 19:18
7 z0 J4 x/ D( n( I具体一点，公式是什么，代入什么样的数字，得出那些数字，既然这个公式包括了所有素数，从头到尾的多算出几 ...

& e' c$ B- }6 e( n8 n+ r
! W' N# P& e, Y7 S+ d    感谢关注并参与讨论。任何一门科学知识的创新与发展，都应该是人类科学的一部分；都应该为社会大众所认知和接受，并成为人们认识自然服务社会的重要工具；而不应是人人都看不懂的天书。本人的论文也是按照这一原则，对所证明之问题，力求做到规范、严谨、通俗、直观的证明。现在看来，并不能如愿。对于你出的问题作如下解释说明。
1：
5 m3 K4 Z* _& K5 p9 R    定理3，是定理1定理2的推论，是判定特定整数域内之整数，是否为素数的充分必要条件；是判定特定整数域内之素数的充分必要条件的文字表达。
2：
) y) U/ S/ i0 D' P    <1>式是定理3的标准代数表达式。准确地说，<1>式是一个关于定特定整数域内之素数的函数表达式，它是一个关于整数域内，从小到大之素数的序数n，与小于第n+1个素数的平方的整数域内，素数的函数表达式；是对定理3的高度抽象概括；是全面计算和表达特定和整数域内之素数的唯一方法。
" [. }# P' _( n0 B7 ~/ a+ Z% w' ^    <1>式从形式上分：可分解为两个（等价的）式子，即加法算式和减法算式。从层次上分：也可分解为两个（等价的）式子，即指数算式（在算式当中素数的指数是一个变量）和非指数算式（在算式当中素数的指数是1）。很好的了解“唯一分解定理”有助于对本定理的理解。
4 R. a2 |: Q0 ]$ y+ [9 J/ S! u5 Y   论文中列举已知第一、第二、两个素数时，以及已知第一、第二、第三、三个素数时的情形及公式代入,希望能够帮助你的理解。这样回答不知你是否满意？
3 O1 y+ z2 L# {0 }" V

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楼主的，顶下，看贴要回

sdqdzhxg

meinv001.com 发表于 2011-12-8 17:42
9 e7 v' t4 q1 F$ n- ]楼主的，顶下，看贴要回

感谢光临,多多交流。