序理想

lilianjie1

序理论中理想的最一般的定义如下：

9 B2 _5 t8 H  e% m+ s: `; ]偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
# _. Y! {( w- f! `& eI是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
; G$ M: q* |. p* R/ w2 m+ @  o理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：

I是下闭的。
I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
4 A7 F% {- U% T/ _, G) ?6 v$ r真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。
" N) L3 S" l. P$ r( e2 H+ b# W

lilianjie1

滤子的最一般定义是：

2 |) A9 m3 i  M3 I偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
' E2 R3 L3 f% _/ D" G4 f" ^5 U
∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
( s% V! y8 o) O3 U7 mF 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
1 w2 u* r% v% E5 `' D: T

; p" ?  E, M+ T, B7 ^滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。
6 e$ }# r9 m% I7 a

孤寂冷逍遥