一道较难的函数题 急!

wilsonlouis

题目：已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于
f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证:
8 U0 {! t8 h3 s(1)af[m/(m+1)]<0
" |9 ]0 w" e9 ]0 C+ s(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.

xiang1990

呵呵，有意思

wilsonlouis

这个题挺有意思的。
第一问：
8 E$ b5 f- r# E" o& b  J5 T/ G0 W* xa/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
$ i: j3 @: f* V9 Y/ N# n: _9 u/ ]: z此式两边同乘以m
得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0
∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2)
af[m/(m+1)]
# Y8 \9 o8 d4 {5 B- U=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]}
  W4 _- ?! ^* p( M7 F! D2 R# U=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)]
9 p+ I( S; X. E& W/ L+ Q! E=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)]
1 d1 ]  Z. b' q5 d% b∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0
∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
" R5 }! H6 S* m6 w) [" Z" T而(a^2)(m^2)>0
∴af[m/(m+1)]<0
/ `. a' ?' v! x8 G- f
第二问：
" |# a& ?5 T; n6 a9 |6 Q1 Sa/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
两边同时乘以(m+1):
a(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0
b=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m
. D8 L/ w( T6 o$ _( a- d* [- Daf(0)=ac
7 _. w% d1 a3 l- I$ R' F0 yaf(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m
6 S4 ~0 Z; {; b$ ?3 ~; G此时要利用第一问的结论：af[m/(m+1)]<0……①
/ o6 y) C) E& O# P9 o如果ac>0,即af(0)>0，与①式相乘
得：[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0
∴f(0)f[m/(m+1)]<0
9 ]6 `) r3 B1 ]7 }# ], M4 }4 Q1 w∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解
  |5 p: |# M4 `9 \如果ac<=0,那么-ac>=0
∴a^2/(m+2)-ac/m>0，即af(1)>0，与①式相乘
8 N0 f5 M7 g6 [5 G: }9 K5 U, ^! L( j得：=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
∴f(1)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解
; O3 x& T& }5 [& D1 ~8 B∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分
6 v) w% ?; o+ {0 \∴综上，方程f(x)=0在(0,1)内有解.
, H6 ~( m8 F; x. h- e结论得证！

现实不是小说

证明：（1）af[m/(m+1)]=a*[a*m^2/(m+1)^2+b*m/(m+1)+c];
5 T" N: }- B; g: J% F          有已知条件可得-a/(m+2)=b/(m+1)+c/m；
       代入得a^2*[m^2/(m+1)^2-1/(m+2)];
           通分化简可的结果，相信你也会。
6 t0 Y) e2 W* [      （2）af(0)=a*c;
# O- [5 P9 ~7 l% D                 af(1)=a^2+a*b+a*c;
                  讨论：
          1）如果ac=0,则c=0;
: N4 }1 G$ E0 g1 F: y* i                  af(1)=a^2*(1+b/a);
                   已知条件可化为1/(m+2)+b/a*1/(m+1)=0;
0 h7 ~7 s6 h4 A* q                   可得0>b/a>-1;
                    代入得af(1)>0;
                    结合（1）的结果可得方程f(x)=0在(0,1)内必有一零点；
5 H2 p2 D6 o0 I6 w8 C" ?         2）ac>0,自然得证；
         3）ac<0.
9 C6 M+ N; F& E* A! a                  a^2/(m+1)+a*b/(m+1)+a*c/m>0;
                 得a^2+a*b>0;
                 则(a^2+a*b+a*c)/m>0;
) E8 E: I6 r4 `                   因为m>0;
: x" X6 O: M7 N- [9 t. u                 a*f(1)>0;
                 得证。
             如有其他方法请提出宝贵意见，比邻赐教！！！！