查看: 4518|回复: 2

【经典悖论漫游（下）】

字体大小: 正常放大

1253 主题	443 听众	-516 积分

复兴中华数学头子

TA的每日心情

	开心 2011-9-26 17:31

签到天数: 3 天

[LV.2]偶尔看看I

自我介绍: 数学中国网站（www.madio.cn）是目前中国最大的数学建模交流社区

群组: 越狱吧

群组: 湖南工业大学数学建模同盟会

群组: 四川农业大学数学建模协会

群组: 重庆交通大学数学建模协会

群组: 中国矿业大学数学建模协会

电梯直达

1^#

发表于 2004-9-29 15:13 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

【经典悖论漫游（下）】

0 O( \3 G4 u& K" Z" e- C- S

这是第三部分：由前提不自洽导致的悖论和由权变遭遇的悖论。（五）由前提不自洽导致的悖论这里我们将看到，前提不自洽，结论就无法自圆其说，甚至荒谬或没有结论。５－１“罗素是教皇” 从单纯的逻辑上来讲，荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论，哪怕推理过程无懈可击。有人曾经让罗素证明从“２＋２＝５”推出“罗素是教皇”。罗素证明如下：由于２＋２＝５，等式的两边同时减去２，得出２＝３；两边同时再减去１，得出１＝２；两边移位，得出２＝１。教皇与罗素是两个人，既然２＝１，教皇和罗素就是１个人，所以“罗素就是教皇”。这个荒谬的结论，就是由一个荒谬的假设引发出来的。５－２“亚里斯多德是类概念” 这是严格按照三段论推导出来的结果。请看：（１）亚里斯多德是哲学家，（２）哲学家是类概念，（３）所以，亚里斯多德是类概念。亚里斯多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）是希腊大哲学家和天文学家，曾就学于柏拉图，继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系，在西方的影响最大。他系统总结了三段论法原理，奠定了逻辑思维的基础。上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义悖论”。因为语句（１）中的哲学家和语句（２）中的“哲学家”不在一个层次上，前者是对象概念，后者是元概念。两个前提内涵不一致，结论就荒谬了。从根本上来讲这不是一个语言或语法问题，而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在３０年代提出“语言层次论”来，就一直受到人们的关注。５－３自相矛盾这个例子正相反，是一个因为前提不相容而推不出结论的经典例子。《韩非子．势难》介绍了这个预言：有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾最坚固，无论什么东西都戳不破；接着又夸他的矛最锐利，无论什么东西都能刺透。旁人问他：如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果，他回答不上来，因为两者相互抵触。这是一个既不可以同时为真，也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾，也就无法推出结论。５－４纸牌悖论纸牌悖论就是纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Ｊｏｕｒｄａｉｎ提出来的。我们同样推不出结果来。它最简单的形式是：５－５“悖论元” 下面这句话是对的，上面这句话是错的。这也是一个有名的悖论，叫乔丹真值（ＪｏｕｒｄａｉｎＴｒｕｔｈ－Ｖａｌｕｅ）悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。５－６“先有鸡，还是先有蛋？” 这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需要实际的考证，如考古学和生物学的研究成果等，才能打破这一循环。它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡生出来的。”单独来看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的假设。５－７“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不起来的大石头？” 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，说明他不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。这个“全能者悖论”的另一种表达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更了不起的事物吗？” ５－８“你会杀掉我” 这个故事有几个版本。大意是说：一夥强盗抓住了一个商人，强盗头目对商人说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了，我就把你放了；如果说错了，我就杀掉你。”商人一想，说：“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。推理一下：如果强盗把商人杀了，他的话无疑是对的，应该放人；如果放人，商人的话就是错的，应该杀掉，又回到前面的推理，这是一个悖论。聪明的商人找到的答案使强盗的前提互不相容。５－９“你会吃掉我的孩子” 这个例子与上面的例子逻辑同构。一条鳄鱼抢走了一个小孩，它对孩子的母亲说：“我会不会吃掉你的小孩？答对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案：“你会吃掉我的孩子。” ５－１０两小儿辩日这是《列子》里的一则预言：孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“日出时，太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。这不正是近大远小吗？”另一个却说：“日出时，太阳距离我们远，中午距离我们近。因为日出时我们不觉得热，中午却非常热。这不是近热远凉吗？”孔子不能答。这是今天的一个科学常识问题，但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看，这里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前，应该搞清楚哪个标准更准确，或者都不准确。５－１１爱瓦梯尔应不应该付学费？传说古希腊人爱瓦梯尔（Ｅｕｌａｔｈｌｕｓ）向普洛太哥拉斯学习辩术（另有一说是学习法律）。他们的约定是：爱瓦梯尔先付一半学费，另一半学费等学成后在第一场辩护胜诉时再付，如果败诉，则学费不必再交。但是爱瓦梯尔毕业以后，没有担任辩护工作，不打算交另一半学费。普洛太哥拉斯准备告他，说：“如果我胜诉了，法官会判你付我学费；如果我败诉，根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说：“如果我胜诉，法官也会判我不付学费；如果我败诉，按照约定我也不必付另一半的学费。总之不付。”（见王九逵《逻辑与数学思维》）这个问题反过来看，逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说：“如果你告我，我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去不可能有结果。这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解决他们的纠纷，这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一个进行最终裁决。５－１２梵学者的“预言” 和上面的例子完全类似，这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为难她的父亲的故事。女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说：纸上写的可能发生，也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”，反之就写“不”。梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸，念到：“你将写一个 ‘不’字。”学者错了。实际上，他写个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。女儿的“不”有两重含义，它一方面与字面上的“是”相反，另一方面与实际上的“不”相反，双重标准。由于没有事先界定，梵学者也可以反过来和他的女儿作无限的争论。（六）由权变遭遇的悖论６－１阿雷斯（Ａｌｌａｉｓ）悖论下面两个式代表你将获得的收入，Ｘ是一个不定的量，你将选择哪一个，Ｓ１还是Ｓ２？（１）Ｓ１＝０．９Ｘ＋＄１００，０００（２）Ｓ２＝０．８９Ｘ＋＄２５０，０００显然，最好的选择取决于Ｘ是多少。当Ｘ＝＄１５，０００，０００，Ｓ１＝Ｓ２＝＄１３，６００，０００当Ｘ〉＄１５，０００，０００，Ｓ１〉Ｓ２当Ｘ〈＄１５，０００，０００，Ｓ１〈Ｓ２这个悖论对决策理论有较大影响。６－２纽卡（Ｎｅｗｃｏｍｂｓ）悖论这也是决策理论中的一个。有两个盒子Ａ和Ｂ放在桌子上：Ａ是透明的，可以看见里面有＄１，０００，Ｂ是不透明的，上面写着或者是＄１，０００，０００，或者是０。你可以在下面的两种选择中，只能取一个（１）或（２）：（１）只选择Ｂ（２）Ａ和Ｂ两个都选你会作出什么选择？有一个教授曾经作过一个实验：他让１０００个学生选，其中９９９个学生选择了（１），只有１个学生选择了（２）。而这９９９个学生一人只获得＄１，０００，而那１个学生却获得了＄１，０００，０００。为什么呢？因为这个教授事先已经作了预测，并作出这样的安排：如果选（２）Ｂ盒子里就不放任何一分钱，如果选择（１）Ｂ盒子里就放＄１，０００，０００。而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果，重新再选，会选哪一项。注意，这一回，教授可能又作出了新的预测。６－３谷“堆”的定义如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义 “堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。这是连锁（Ｓｏｒｉｔｅｓ）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Ｅｕｂｕｌｉｄｅｓ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ｓｏｒｏｓ”在希腊语里就是“堆” 的意思。最初是一个游戏：你可以把１粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把２粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把３粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一个谷堆的存在，你从哪里区分他们？它的逻辑结构：１粒谷子不是堆，如果１粒谷子不是堆，那么，２粒谷子也不是堆；如果２粒谷子不是堆，那么，３粒谷子也不是堆；－－－如果９９９９９粒谷子不是堆，那么，１０００００粒谷子也不是堆；－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－因此，１０００００粒谷子不是堆。按照这个结构，无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的话题（见《不列颠百科全书》）。６－４秃头的定义这也是连锁悖论中的一例，和上面的游戏完全一样。最早叫Ｆａｌａｋｒｏｓ谜：你可以把只有１根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有２根头发的叫秃头吗？能；你可以把只有３根头发的叫秃头吗？也能。但是你不会把有一万根头发的人叫秃头。你从哪里区分他们？６－４“一整袋谷子落地没有响声” 在古希腊，还流传着这样一个故事：如果１粒谷子落地没有响声，２粒谷子、３粒谷子落地也没有响声，类推下去，１整袋谷子落地也不会有响声。响声是由振动引起的，１粒谷子落地可能引起的振动太小，人耳听不到，但是用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大，人耳自然就可以听得到了。应该注意，古希腊辩论家的用意不在于此，他们并不是真的要探讨事实，而是试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系列，那么其间也会有一个变化的模糊区域。６－５预料之外的绞刑时间这个悖论在英语里叫“ＰａｒａｄｏｘｏｆｔｈｅＵｎｅｘｐｅｃｔｅｄＨａｎｇｉｎｇ”；最早从口头传开是在本世纪四十年代。一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布：“绞刑时间将在下一周七天中的某一天中午进行，但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道：“我将不可能在下个星期六赴刑，这是最后一天。因为星期五下午我还活着，那么我知道星期六中午我一定被处死。但是，但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推理，他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此，法官的判决将无法执行。这种连锁悖论式的推理并不难理解，法官的判决可以在下个星期六以外的任何一天被执行，囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论的结构完全一致。６－６“卵有毛” 惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛，惠施却反对。辩者说：“如果鸡蛋里没毛，那么孵出来的小鸡怎么身上有毛？”惠施说：“ 鸡蛋里只有蛋清和蛋黄，没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了？小鸡身上的毛是小鸡身上的毛，不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。辩论双方都以“眼见为实”做标准，从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。不知道生物学对此会作出什么解释，从方法上来讲，他们没有界定毛从无到有的界限，似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。６－７宝塔从有到无这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔，如果从下面抽走它的砖，一块一块地抽，这是量变。当到达一定的度时，宝塔倒塌了，发生了质变，说明宝塔没有了。我们可以看到一准确的“度”。但是现在从上面拿走它的砖，一块一块地抽，这也是量变。直到拿完，宝塔不存在了，发生了质变，但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度” 了。６－８孪生子佯谬这是一个与相对论有关的悖论（ＴｗｉｎＰａｒａｄｏｘ）。爱因斯坦的成就之一，就是引进了一个定律，用Ｃ表示恒定的真空光速，把它纳入自然常数之列，作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定，引出了相对论的两个著名的“佯谬”，它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。 “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟，比静止参考系中的钟走得慢。根据这一结论，我们可以得出这样的一个结果：一个乘飞船按接近光速的速度在太空旅行的人，当他返回地球的时候，就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因为他的生物钟，比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光速的速度。在１９０５年，爱因斯坦的狭义相对论确立以前，牛顿定律是速度远远小于光速条件下的定律，机械自然观统驭着人们的空间想象，因此无法解释这一现象。爱因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的，它取缔了牛顿“绝对时间”的概念，使 “绝对运动”概念也失去了立足之地。６－９“会变的尺” 这是相对论引出的另一个“佯谬”：一把快速运动着的尺子，它和静止状态相比，在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的，后来形成了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为，这种收缩可以用两个参考系之间存在着的相对速度来解释（见聂运伟编著的《相对论的摇篮：爱因斯坦传》）。６－１０夜空为什么是暗的？这是有名的奥伯斯（Ｏｌｂｅｒｓ，ＨｅｉｎｒｉｃｈＷｉｌｌｈｅｌｍ）悖论：如果空间无限延展，而且星体均匀分布，我们的任何视线都应该碰到起码一颗星球。那么，天空不是应该一直都是明亮的吗？这个结论显然与事实不符。这个问题早在１６１０年开普勒就注意到，直到１８２３年德国天文学家奥伯斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测，如宇宙只有有限的星体、星体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少，遥远的光还没有到达地球等等。“大爆炸”理论出现以后，宇宙的年龄不是无限的，被人为是一个最重要的原因。从“ 大爆炸”开始算起，宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将光充满夜空（《星期日电讯》１９９７年１０月５日）。后记本文所记都是流传很广的常见悖论。随着现代数学、逻辑学、物理学和天文学的快速发展，又有不少新的悖论大量涌现，人们在孜孜不倦地探索，预计他们的成果将极大地改变我们的思维观念。本文罗列的悖论解释多为一管之见，错误难免，希望读者批评指正。

zan

转播0 淘帖0 分享1 收藏0 支持0 反对0 微信

数学中国网站是以数学中国社区为主体的综合性学术社区，下分建模、编程、学术理论、工程应用等版块。从2003年11月建站以来一直致力于数学建模的普及和推广工作，目前已经发展成国内会员最多，资源最丰富，流量最大的数学建模网络平台。我们始终秉承服务大众的理念，坚持资源共享、共同进步的原则，努力营造出严肃、认真、务实、合作的学术氛围，为中国数学的发展做出应有的贡献。

使用道具举报