黄金分割法求一维函数的极值

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### 黄金分割法的基本概念

% ]; E- v( Y+ {) P黄金分割法是一种用于求解一维优化问题（特别是寻找函数极值）的方法。其基本思想是通过在给定区间内选择特定的点来逐步缩小搜索范围，最终定位到函数的极值（最大值或最小值）点。
% f) p4 f1 M3 \
#### 黄金分割比

黄金分割法使用的比例称为黄金分割比，约为 \( \phi = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618 \)。这个比例具有优良的数学性质，可以有效地减小搜索区间。

### 实施步骤
/ a" |( I0 B* F5 f$ [
% t7 J. T0 s2 F( v* U: E1. **初始化区间**：
' h7 w! Y1 D: k" C8 a3 W+ h   选择一个包含极值的区间 \([a, b]\)，并设置一个容忍度（或精度）值 \(tol\)，用于判断何时停止搜索。

; ?' S' t8 P! A5 R$ v2. **计算分割点**：
- j5 j: o6 H  D2 z' o) U! o   计算两个点 \(x_1\) 和 \(x_2\)：
- T9 L: i  R* q# T   - \( x_1 = b - \phi \cdot (b - a) \)
   - \( x_2 = a + \phi \cdot (b - a) \)

0 T- f) ]0 F% C  T! r: w   这些点按照黄金分割比例将整个区间分为两部分。
3 Q: R7 |: n- H' ]: L/ _. D
3. **评估函数值**：
$ X, ]* h+ B$ [   计算这两个分割点的函数值：
   - \( f_1 = f(x_1) \)
   - \( f_2 = f(x_2) \)
& {* G/ ~7 M9 S' x" c
4. **缩小区间**：
   根据函数值的比较来决定缩小哪个部分的区间：
   - 如果 \( f_1 < f_2 \)，则在 \(x_2\) 右侧的区间不可能包含最小值，将右端点更新为 \(b = x_2\)。
   - 如果 \( f_1 \geq f_2 \)，则在 \(x_1\) 左侧的区间不可能包含最小值，将左端点更新为 \(a = x_1\)。
; n$ j# `6 }9 |: w  n
5. **迭代**：
4 J8 ]+ ?# c  h0 m0 q. v9 r   重复步骤 2 到 4，直到区间的长度 \((b - a)\) 小于容忍度 \(tol\)。

2 [2 P, V4 _0 \3 T" X0 N: X/ e) N6. **输出结果**：
   最后，计算区间中点 \((a + b)/2\) 作为极值点，并返回这个点的函数值。

### 具体示例

假设我们想要找到函数 \(f(x) = (x - 2)^2\) 在区间 \([0, 5]\) 内的最小值。实施步骤如下：

1. **初始化**：
   - 区间 \([0, 5]\)
   - 容忍度 \(tol = 1 \times 10^{-5}\)
  V" n' ], m  g& \( G0 C( k/ a
2. **计算分割点**：
   - 计算 \(x_1\) 和 \(x_2\)
" Q9 \+ `6 \- {: A: o5 u: T' ^' B
3. **评估函数值**：
   - 计算 \(f(x_1)\) 和 \(f(x_2)\)

2 Z; @) B8 O! x, I& s4 k% O4. **缩小区间**：
0 d: u, E0 a  ^' N3 N   - 根据比较结果更新 \(a\) 和 \(b\)
1 c2 C+ L, K$ a* w& f
. j) c3 n. Y5 g3 b4 ?/ c; \* ]5. **迭代**：
   - 循环直到 \(b - a < tol\)
4 d( t7 x( r* z2 q% n4 F
6. **输出**：
4 N- }; g" w! N) P2 j1 S   - 找到极小值点和最小值。
) D$ X6 b  d0 q
/ B# w, T; z+ c5 q8 Z6 m' i, g### 优势与局限

; ]8 G! L% n- B) V5 s( @' E**优势**：
- 收敛速度较快，特别适合于平滑函数。
0 y! f& Q+ ^/ ^- 简单易实施，对于不需要求导的函数也有效。
% @' O, @8 H1 B( {4 C9 k' `
& F8 F; |" O( G: t; _**局限**：
7 W0 y* e9 s3 N, ^' E& C- 只能用于一维问题，对于多维问题不适用。
- 在函数已有许多极值的情况下可能找不到全局极值。
" W1 e* |2 e- ^8 s, Q- h+ U
( b! w1 b) n$ I; `8 _% W( s3 o### 结论
) U; e" h- A$ J6 F+ f) O
& d! u, [( x( t$ v( }: w+ B6 V黄金分割法是一种高效且简单的优化方法，适用于求解一维函数的极值问题。通过迭代缩小搜索区间，能够逐步接近目标收益，并实现优化。