数学系本科和硕士阶段纯粹数学和应用数学专业---分析类参考书籍

厚积薄发

数学系本科和硕士阶段纯粹数学和应用数学专业---分析类参考书籍

A.数学分析（欧美及港台是先“初微”再“高微”，大陆受前苏联影响是混合讲授的，both ok！）（Mathematical analysis or Advanced calculus）

Textbook: 中科大史济怀版《数学分析教程》（2册，2013年第三版，此版改编更为经典！赞！）

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References：

1. W.Rudin：Principleof Mathematical analysis， 3rd edition（殿堂级高等微积分！久经考验的“高微”战士。尤其是多元的处理上比较近代了，流形（manifold）上微积分的学习并不让人轻松，此书倒数2,3章读清楚是要有耐心和时间的！）

2.北大方企勤86版数学分析（3册讲义+1本习题集+1本习题课教材）；北大张筑生90版数学分析新讲3册。（都是好书！但是重积分的介绍上是先引进了Jordan测度来“量”面积或体积，这样貌似初学更难接受。Textbook中的处理是不错的处理：先在矩形或长方体上讨论重积分，再过渡到有界区域上，先易后难！Textbook的一个亮点是在积分理论中初等的引入零测度集介绍Lebesgue定理，完全刻画Riemann积分。此定理一般实变函数论才会介绍，现在讲是初等的可以接受的。但是国内改革派在数学分析基础课程上就引入Lebesgue测度和积分，个人认为太急了，热豆腐烫嘴！（Riemann同志要是泉下有知，定然不爽!）一步一个脚印，自然循序渐进才是正道！）

3. 习题方面可以参考裴礼文以及刘玉琏版的习题集（因为有解答，可模仿学习！）

Remarks：1.很多老师教授数学分析都是“注疏”，即解释教科书而已。对问题的来龙去脉和整个课程的体系不甚了解，懵懵懂懂，让学生觉得概念定理等“分析”来的很野蛮，觉得不自然。此处Textbook处理的还是不错的。但是一开始觉得不知道为什么要学分析时，可以参考T.Tao的《Analysis》（有王昆扬老师的中译本），里面会告诉你：What isanalysis and why do we need analysis？ 顺便建议一下，一元微积分是基础，但是多元微积分尤其是两个欧式空间间的线性映射才是真正有意思和需要好好吸收的东西！此时线性代数将大显身手了，Jacobian矩阵将代替一元函数中导数或微分在多元中支撑大局，星耀前方！这点国内很多学校不以为然，把一元的奉为经典和全部，甚至认为多元是一元的“简单推广”，absurd！

2. 重视加强FourierAnalysis——分析学的中心！国内的一般教材就是叫你求个Fourier级数等等，那相当于微积分只学会了求数列极限而已！远远不够！这段的学习可以以北大张筑生版讲义的处理学习，关键是其中指出Fourier Analysis的起源是来自偏微分方程（PDE）中d’Alembert推导的波方程，并实实在在的求解了一个波方程的初边值问题。这已是不错的了。因为Textbook有反常重积分的介绍，其实可以对R以及R^d上Fourier transform 开个头，毕竟Fourier变换实在是太重要了！（可以继续举例用它求解热传导方程的Cauchy问题。有限区间初边值用分离变量法以及“离散和”-Fourier级数，全空间上用基于Fourier变换法。这到了后续数学物理方程中会深入学习的。）但是完整的介绍Fourier transform要到Lebesgue测度和积分理论以及分布（广义函数）理论的出现。（先混个脸熟。后面实分析，泛函分析中会再深入学习的！）

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B.复变函数论 （Complex analysis-俺的软肋，拜某哥所赐~发牢骚是允许的，不是吗？ ）

Textbook: 武大余家荣版《复变函数》（第四版）

References：

1.Brown and Churchill：Complexvariables and applications（现在到第八版了，是密歇根大学的教材，与Textbook较接近。）

2.中科大本家严镇军版复变函数（第二版，理工科非数学系用书，但是该书的特色就是指出复变与数学分析中的相同点，着重分析不同点及其原因！这是很要紧的。）

3.更丰富的内容可以参考两位大家的著作：E.M.Stein（陶哲轩的师傅）的complex analysis（Princeton大学等牛校的教材）以及中科大龚升版简明复分析（第二版）。不过读懂是需要耐心和时间的！

Remark：学习伊始，很多同学认为复平面C等同于2维实平面R^2，有了数学分析，还来个复变岂不是画蛇添足？非也！因为单从导数定义上看，实复形式一样。然则内涵大相径庭。复平面上可以任意角度方向和形式游荡，这就为复导数注入了新生命，使得其性质非常之好！实际上复变数函数一阶导数存在，可以推出任意阶导数存在。实际上有更强的结论---解析，即可展成幂级数。这是实微积分中没有的，数学分析中函数可导的话导函数都未必连续，更别说导后再导了！这点学习了Cauchy-Riemann方程后会开始明白的。 Cauchy积分理论，Weierstrass级数理论，Riemann几何映射理论此三大块从不同角度考虑看待解析函数或全纯函数，构成此课程的三大核心。每部分的理论和应用都别具一格，十分精彩成熟。再举一例说：Riemann映射定理粗略地说是复平面上任何单连通区域都可以保角映射成单位圆！这是只在复平面上才成立的绝妙结果！一维上不可能办到，多复变中亦然！再则，复变中的留数定理恐怕是计算一些实积分的有力工具。

C.实分析 （Real analysis-范围极广！）

C.1. 实变函数论

Textbooks:

1.北大周民强版实变函数论（第二版）（有配套辅导书）

2.E.M.Stein：Realanalysis-measure theory, integration, and Hilbert spaces Vol.3.2005（第1，2，3章Lebesgue测度，Lebesgue积分，微分与积分以及第6章抽象测度与积分。Stein的大名就是保障！大师在集合论上轻轻带过，直击核心---测度与积分！只是国内教材没有的手笔，集合论的喋喋不休使得很多同学整天可数不可数，简直是毁人不倦啊！当然了，集合中势的观点可以撇清很多事实，但是绝对不是核心!）

References：

1.Folland版Realanalysis（第二版），尤其是第6，7,8章L^p空间中的一些有用不等式，Radon测度以及Fourier变换（有了Lebesgue测度和积分可以对Fourier变换做很多事情了，等泛函分析中学到分布理论就可以做更多更广的事情了。八卦一下，Folland是Stein的弟子之一。）

2.复旦夏道行2010年版实变函数与泛函分析的上册共三章；华中科大胡适耕版实变函数（此书文采飞扬，生动有趣，值得一翻！）

Remark： 为什么要学习实变函数论？这个问题可以在Textbooks的前言以及中大邓东皋版实变函数简明教材前沿中找到精彩的回答！Anyway，Lebegue积分除了一维的条件收敛的广义Riemann积分外涵盖了Riemann积分！近代分析学基本都基于Lebegue积分了！如何学？这是需要耐心和时间的。

C.2. 调和分析初步 (An introduction to Harmonic analysis)

（“Analysis is dissolving into pieces.”----先分片猛打不等式，再拼接组合起来！ 主要是Fourier级数与积分，Hardy-Littlewood极大函数，以Hilbert变换和Riesz变换为背景的各种卷积型和非卷积型奇异积分，各种函数空间如Hardy空间与BMO空间，Sobolev空间与Besov空间等。俺是初学者，但还是厚颜无耻地给些参考书。调和分析真是门技术活！）

References：

1.    JavierDuoandikoetxea（西班牙人的名字怪~怎么读呢？）： Fourier Analysis，GSM, Vol. 29, 1995年版(北大用书)

2.    中科院郝成春版调和分析讲义，2012年。（科学网上有郝老师的博客，有此资料，他也是做PDE的，貌似讲义不错。俺不曾结识他，故没有做广告之嫌疑。我们年轻人是很有活力的！）

3.    Bahouri，Chemin和Danchin的Fourier analysis and nonlinear PDEs，2011.（前三章。希望借助调和分析这一强有力的工具做PDE的很值得一读！）

4.    最经典的当属E.M.Stein:singular integrals and differential properties of functions,1970年版。

D.泛函分析（Functional analysis）

Textbook：北大张恭庆版泛函分析讲义（上册）（有配套辅导书）

References：

1.E.M.Stein：Functionalanalysis-introduction to further topics Vol.4.2011（前4章）

2.复旦夏道行2010年版实变函数与泛函分析的下册的前两章

3.K.Yosida： Functional analysis(第六版)（这是字典非教科书！但会查以及如何查就不像新华字典那么容易了！)

Remarks：

1.    Textbook的使用一般是本科（前两章），硕士（后两章+other elected topics）。

2.     做PDE的对Sobolev空间这块要加强！Textbook的第三章广义函数与Sobolev空间是不够的！可参考C.Evans：PDEs, GSM, 1998年 (2010年有第二版)中的第5章；法国科学院院士H.Brezis的Analyse Fonctionnelle—Theorie et applications（有中译本和英译本，最后三章。本身前7章也是极好的泛函分析教材！）；L.Tartar：An Introduction to Sobolev Spaces andInterpolation Spaces（2000年的讲义，前100页讲Sobolev空间，貌似Courant研究所有些牛人用此讲义授课。）

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E.微分方程（Differentialequations）

E.1.常微分方程（Ordinarydifferential equations-ODE）

References：

1.     北大丁同仁版常微分方程教程（第二版）（说它是国内最好的ODE教材，没人会否认！）

2.     四川大学张伟年版常微分方程（有配套参考书），简明深刻！很不错！我个人很喜欢！但是由于张老师是做动力系统的，所以关于最后部分有所偏重。但是做PDE的应该加上“用ODE的首次积分解一阶偏微分方程”的内容，这可以参考1.中外，还可以参考华中师大朱长江版偏微分方程教程的前两章以及中大王高雄版的ODE最后一章（此书本身也是一本通俗易懂的教科书。）

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E.2.偏微分方程（Partialdifferential equations-PDE）

E.2.1.数学物理方程或古典PDE（以微积分为主要工具~）

Textbooks：

1.复旦谷超豪等数学物理方程（第二版。好像有新版了，内容几乎没变，但是样子难看了，第二版的书外观秀丽得很！另外有配套的指导书，不易买到了，俺有一本是本科同学赠送的，感谢啊！）

2.北大姜礼尚版数学物理方程讲义（第一版或第二版，新版的请视若无睹~）

3.华中师大朱长江版偏微分方程教程（全面清楚！）

Reference：C.Evans：PDEs, GSM, 1998年 (2010年有第二版)的前四章

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E.2.2.近代线性PDE基础（以泛函分析为主要工具，主要研究线性椭圆，线性抛物与双曲等发展方程）

References：

1.     C.Evans：PDEs, GSM,1998年 (2010年有第二版)的第5,6,7三章。

2.     吉利大学尹景学（现在华南师大）版椭圆与抛物方程引论，2003，前九章。以前中大用了几届，现在朱老大开始用韩青和林芳华版的二阶椭圆PDE讲义（我们早几届也用过）了。

3.     复旦陈恕行版现代偏微分方程概论（1983年版和2005新版）

4.     J.Smoller版（2002年）的Part(I)：Basic linear theory （注意：本书第三部分Shock Waves更是经典，主要是讲双曲守恒律和激波理论等~）

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E.2.3.非线性偏微分方程（ Nonlinear PDEs）

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遗憾啊…[tthread=dakunzi77, 大鲲子]http://app.qlogo.cn/mbloghead/cad68de8f0ed087f0686[/tthread]

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学习了！      

从玲开始

楼主，有没有数学分析和高等代数完整的全套自学视屏讲解，任意版本，我可以自己买书！先谢谢！

风魔佩伊Ж晓

先赞一个！！！

他山石

很好不错不错

不自洽的爱

那我现在在数学分析上就是生存之民工。。学习了，谢谢

不自洽的爱

那我现在在数学分析上就是生存之民工。。学习了，谢谢

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竟然看到我们院的前院长的书了。