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发表于 2024-12-21 16:49
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[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]实现了一个灰色预测模型(GM(1,1)),用于对历史数据进行预测。灰色系统理论是处理不确定性和小样本数据的一种方法,GM(1,1)模型是最常用的灰色预测模型之一。. F4 |1 v9 U& E% S: W
上面的代码实现了一个灰色预测模型(GM(1,1)),它基于灰色系统理论,主要用于处理小样本和不完全信息的问题。以下是代码中涉及的主要数学原理的详细解释:+ `0 b9 Y/ c( u
/ C, t2 _9 c( U+ _
### 1. 灰色系统理论 H+ @- m6 Z/ `0 P5 ]3 I/ U" U
; J3 h) g9 B P3 l& C; a* l- h+ J7 W- **灰色系统**:灰色系统是由邓小平于1980年代提出的,目的是为了处理信息不完全的系统。与传统方法不同,灰色系统基于已经存在的信息和系统的动态,结合不完全的信息进行预测和决策。
4 W8 r4 ~0 D$ R, f
5 \1 l& \1 w6 G4 ^# A ^### 2. 灰色预测模型 GM(1,1)( G- T8 [2 C* O
. }5 X/ p/ y1 b0 c8 l3 u4 }. DGM(1,1)模型是最简单的灰色模型,表示“灰色”与“预测”的结合,具体表示如下:
, r# e* y a' _- **GM(1,1)**中的“1”指的是模型中考虑的变量个数(自变量和因变量各1个),而另一个“1”则表示其是一个微分方程。/ E! }0 l+ Z" j
o, o% Y, |) g) x7 y0 X5 w#### 数学模型) O+ ]" A& }5 [
4 |6 V/ o T* C将需要预测的变量表示为 \(X(0) = [x_0(0), x_1(0), \ldots, x_{n-1}(0)]\),然后构造其累加生成序列 \(X(1)\):
V$ q# i; ~& d X1 @2 u
, [. Q: u6 F# t7 q) h$ Y! m. j" _7 P9 i0 C\[0 E% |; n% _# F% q7 b, J: z b
X(1) = [x_0(0), x_0(0) + x_1(0), \ldots, \sum_{j=0}^{n-1} x_j(0)]
1 b. Z- u7 B1 x6 L/ Y; U4 b\]
) B. \9 \8 Z. V) T* e `' P7 _9 h, h" h% J3 |' G' g
### 3. 公式推导
. [* z$ W! D. y6 A) k( L
- g8 P& a3 A1 @# e#### 3.1 数据矩阵与目标向量
( ^7 V! v2 V; i' S4 J3 n8 }& n8 i8 i" |+ p
在代码中构建了数据矩阵 \(B\) 和目标向量 \(Y\):: l& q7 A7 S* S; b: |) c; I: ?6 G
( Y$ A9 S" W u/ A3 z9 M" e\[/ z( I6 s; @% @; n
B = \begin{bmatrix}% Y5 Z4 u }" S7 E; Z) k& d
-0.5(X(1)[0] + X(1)[1]) & 1 \\$ ^7 C( Q4 }3 U
-0.5(X(1)[1] + X(1)[2]) & 1 \\2 C5 p3 ?% p! K$ `2 t9 d* [
\vdots & \vdots \\. |; A% S" K( {4 F9 q; P
-0.5(X(1)[n-2] + X(1)[n-1]) & 1
7 D) n; N9 P( T" h2 ?4 @; Y\end{bmatrix}
" y7 i# Y$ g: J" z. f+ S\]
+ \4 o5 ]# }+ R, W. i x4 l\[6 {; W& H* }8 ~6 o& @9 x
Y = \begin{bmatrix}
2 `) P5 V" M9 t" [7 \x_1(0) \\
5 S) Y- S+ m3 K5 @0 g6 Wx_2(0) \\% l( o( J/ @, w1 ~
\vdots \\
2 L, U" }$ M4 Nx_{n-1}(0)) E4 {) _$ C& j: N9 J+ X
\end{bmatrix}
# X: h6 N5 b- Z: O7 n4 X5 G( i\]
% M) `9 N2 G* n
# h! V) j6 K; k$ c- **参数识别**:1 W! q( H# o. y# h
将微分方程形式 \(-\frac{dx(t)}{dt} - ax(t) = u\) 转换为矩阵形式进行求解。& R' B ?$ A* J' f; r. l! S
3 F& E- Z# t- O) D2 v
#### 3.2 最小二乘法
- j& w' V5 F: c; B/ W6 T: N9 s$ x- s' v( f
通过最小二乘法求解参数:
$ \/ f+ f; \4 s/ A7 z& `- g# H5 o6 {8 L0 t/ Y( T
\[: b" y- [* F/ N8 Q- J5 ~, W* {
A = (B^TB)^{-1}B^TY- `( @! P) q7 p# L4 [
\]
4 N' ~5 T0 e- k0 r5 D F7 A1 n$ [+ p+ C- P# b
- 这里 \(A\) 包含了两个参数 \(a\) 和 \(u\),即:% t3 s }3 T8 T
- \(a\):表示数据的增长率0 O% F' a. K5 i; _% o' S; s- ]
- \(u\):表示系统的外部干扰
* N% b( Q u. x& ~$ ^) {4 b1 d4 y, a0 @ `0 c0 W) g0 ]/ T
### 4. 灰色预测& Q& u: {$ N/ g
8 O( \1 a& k1 S% R/ c
通过得到的参数 \(a\) 和 \(u\),利用以下公式更新预测值:
5 L$ B r& r$ ^0 U0 ?1 @# y
) ?$ i4 g4 x' H; t& t4 v* ~$ @& h\[, F; s. D x/ [
x_{k+1}(1) = (x_0(0) - \frac{u}{a}) \cdot (1 - e^{-a(k)}) + \frac{u}{a}
; ]' S0 y/ P% a. B; o2 g\]$ ?& M8 p) s* U1 d ^ Y
; }# P# n, ?0 O( G7 V9 Z. ?- 这里的预测值能够捕捉到数据的趋势,并在此基础上进行外推。/ i' ^) s- N0 `' J
I7 e9 E1 E7 z7 c
### 5. 模型精度检验2 T" E( C8 j$ X) Z& n5 _
: Q% Q/ t! P$ L9 M- }8 ~! ^
- **后验差比值 \(C\)**:3 a1 Z. C$ N" x) C! v4 v
\[2 B. G& B' r6 p, I, N
C = \frac{S_Y^2}{S_X^2}4 i c0 X1 C5 j$ z4 v2 ?
\]
' Y( i' L1 f" L' h 其中:; A" T3 G# V2 H, ?$ P
- \(S_Y^2\):残差方差$ Q6 e5 z+ t u
- \(S_X^2\):历史数据方差
( m) w$ ^8 | p# S) j% ~, G: k( B% `0 I: D+ O V& a5 S
- **小误差概率 \(P\)**:通过检查绝对误差落在合理范围内的比例来评估模型的精度。若概率 \(P\) 大于 0.95,则认为预测效果良好。' l% P; Z- D I0 U1 j
/ p' {2 O7 o, @$ W) n* b
' n2 Z% t! e, N9 i/ L( v
" C0 K9 H; o/ I+ u
8 g$ J: d+ J0 [: {" d1 _+ G# k3 y& P: i2 o3 y. j( y z
|
zan
|