标签: 十字路口

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	新手，想问问大家对这道题的看法	数模问题互助	SDZzz 2014-5-16	1 1357	2543139 2014-5-21 20:04

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分享十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究: ぃ誓言゛ 2014-6-8 13:04; 十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究王秀良　乔　木中国人民公安大学理科基础部　北京　１０００３８摘要城市交通十字路口是冲突交通流汇聚的节点安全问题十分突出黄灯在交通信号系统中起着非常重要的作用黄灯时间的长短设置直接影响城市交通的状况．建立保守黄灯时间数学模型通过逐步修订建立了更符合实际情况的有效黄灯时间的数学模型并在城市道路十字路口黄灯时间确定为４ｓ的情况下对安全停车距离进行了分析指出困境区域的存在性与进行深入研究的必要性．关键词交通工程黄灯时间模型运动学方程有效黄灯时间困境区域安全停车距离中图法分类号Ｕ４９１　ＤＯＩ１０．３９６３ｊ．ｉｓｓｎ．１００６－２８２３．２０１１．０５．００７　　　　收稿日期２０１１－０６－１５　　　　王秀良１９７６－男博士讲师主要研究领域为数学史应用数学０　引　　言２００４年颁布的中华人民共和国道路交通安全法实施条例第３８条规定绿灯亮时准许车辆通行但转弯的车辆不得妨碍被放行的直行车辆行人通行．黄灯亮时已越过停止线的车辆可以继续通行．红灯亮时禁止车辆通行．１近几年国内很多城市已经对路口信号灯灯序及黄灯闪烁时间进行了标准化设置．以北京市为例２００７年７月３日北京市交管局将机动车信号灯灯序全部统一为绿－黄－红－绿将黄灯过渡信号时间统一设置为４ｓ．这样方便了机动车驾驶员对信号灯放行次序的辨识驾驶员在到达路口前可以预判情况控制车速提高路口通行的安全性．调整后的信号灯灯序与国际惯例保持一致不同的国家关于黄灯时间的设定是不同的．美国联邦公路局在２００３年版的交通控制设施手册认为黄灯持续时间应该在近似３６ｓ的范围内路口限速越大则可增大对应黄灯的持续时间２．德国现行的交通控制行业行为规范交通信号控制指南中关于黄灯时间的规定依十字路口进口道处不同限速而有所不同黄灯时间３４５ｓ对应的限速分别为５０６０７０ｋｍｈ３．黄灯应该亮多长时间才能使停车线附近的车辆安全顺利地通过路口呢？本文建立了一个有效黄灯时间的数学模型并在城市道路十字路口黄灯时间确定为４ｓ的情况下分析车辆的安全停车距离．１　黄灯时间确定的数学模型１．１　保守黄灯时间的数学模型４－６设驾驶员反映时间Ｔ１汽车通过十字路口时间Ｔ２距停车线距离的驾驶时间Ｔ３则黄灯应亮时间为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３．见图１．图１　车辆在十字路口的平面示意图又令汽车的行驶速度为法定行驶限速度ｖ０十字路口的长度为Ｌ车身长度为Ｉ则汽车通过十字路口的时间为Ｔ２＝Ｉ＋Ｌｖ０．设汽车质量为ｍ刹车摩擦因数为ｆ汽车从刹车至停止的行驶距离为ｘｔ．由牛顿第二定律刹车过程应满足如下微分方程其中ｇ为重力加速度．ｍｄ２　ｘｄＴ２＝－ｆｍｇ１ｄｘｄｔｔ＝０＝ｖ０２ｘ０＝０３烅烄烆　　对式１积分将初始条件２代入得ｄｘｄｔ＝－ｆｇｔ＋ｖ０４　　当汽车在停车线前停止时由式４得ｔ１＝ｖ０ｆｇ５　　对式４再积分将式３代入得ｘｔ＝－１２ｆｇｔ２＋ｖ０ｔ６　　将式５代入式６得到停车距离ｘｔ１＝－１２ｆｇｖ０ｆｇ２＋ｖ０ｖ０ｆｇ＝ｖ２０２ｆｇ故有Ｔ３＝ｘｔｖ０＝ｖ０２ｆｇ．当汽车开始减速时设汽车的减速度为ａｍｓ２则有ｍａ＝ｆｍｇ即ａ＝ｆｇ所以Ｔ３＝ｘｔｖ０＝ｖ０２ｆｇ＝ｖ０２ａ．所以黄灯时间理论上的数值应为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌｖ０＋ｖ０２ａ７　　应用等不等式ａ＋ｂ≥２槡ａｂａ≥０ｂ≥０得Ｔ≥Ｔ１＋２Ｉ＋Ｌ槡ａ８　　当ａ取最大值时即汽车紧急制动所得的时间Ｔ就是黄灯应该闪烁的最短时间．根据资料各种路面与轮胎之间的动摩擦因数见表１．表１　路面与轮胎之间的动摩擦因数路面类型动摩擦因数干沥青与混凝土路面０．７００．８干碎石路面０．６００．７湿沥青与混凝土路面０．３２０．４　　取ｇ＝１０ｍｓ２ｆ＝０．８由ａ＝ｆｇ算得ａ＝８ｍｓ２．驾驶员的反应时间Ｔ１的确定是一个比较复杂的问题．速度时间道路位置空间等都是驾驶员安全考虑并进行分析判断的因素．另外反应时间也与驾驶员的年龄以及城市交通情况繁杂多变和危险情况有关．根据目前已有的研究成果８５％的驾驶员感知时间值在１１．８ｓ对于一些年老的驾驶员反应时间一般不小于２．５ｓ．根据美国各州公路和交通工作者协会建议对所有车速在确定安全停车距离时反应时间用２．５ｓ在确定交叉口时距时反应时间用２．０ｓ．本文将反应时间设为１２．５ｓ典型车身长度为Ｉ＝４ｍ路口宽度Ｌ设为２０４０ｍ．不同反应时间不同路口宽度下模型７算出的黄灯时间见表２．表２　黄灯闪烁最短时间表ＬｍＴ１ｓ１．０　１．５　２．０　２．５２０　３．５　４．０　４．５　５．０２５　３．７　４．２　４．７　５．２３０　３．９　４．４　４．９　５．４３５　４．１　４．６　５．１　５．６４０　４．３　４．８　５．３　５．８　　由表２可见绝大部分情况黄灯最小时间都超过了４ｓ．事实上在上式ａ＝ｆｇ中计算的是紧急刹车的最大减速度紧急刹车会导致比闯黄灯更大的危险．研究表明９０％的驾驶员会以不大于ａ＝３．４ｍｓ２的减速度减速这个减速度能够使驾驶员在潮湿的路面上刹车时保持驾驶控制．以ａ＝３．４ｍｓ２算得上表中最短的黄灯时间也超过了４ｓ．仔细考察式７发现其确定的黄灯时间太过理想化其中存在以下几个问题１式７中的黄灯时间虽然有效避免了相邻相位车流间的相互干扰当红灯亮时汽车的尾部刚好通过停车线．但实际上式７的黄灯时间相对比较保守２速度始终为一个定值这也与实际情况不符．１．２　有效黄灯时间的数学模型７－１１见图２汽车只要通过冲突点Ａ就可以了而没有必要等到车辆完全通过路口才结束黄灯信号令停车线与Ａ点的距离为Ｌ１因此黄灯时间计算公式改变为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌ１ｖ０＋ｖ０２ａ９　　进一步考察黄灯时间发现只要东西向的车辆在南北向的车辆到达可能冲突点Ａ之前汽车通过可能冲突点Ａ就可以了故式９进一步修正为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌ１ｖ０＋ｖ０２ａ－ｔ１１０７９８　第５期王秀良等十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究图２　相邻相位下冲突点产生过程示意图式中Ｔ１为南向驾驶员看到绿灯亮时的起步反应时间Ｔ′ １与汽车从停车线到达冲突点Ａ所用的时间见图３假定汽车起步时为匀加速直线运动令南向汽车从起步到达Ａ点的距离为Ｌ′ １以ｖ０２表示这段距离的平均速度则南向汽车到达冲突点Ａ所用时间为２Ｌ′ １ｖ０．所以有ｔ１＝Ｔ′ １＋２Ｌ′ １ｖ０故式１０变为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌ１ｖ０＋ｖ０２ａ－Ｔ′ １＋２Ｌ′ １ｖ０＝Ｔ１－Ｔ′ １＋Ｉ＋Ｌ１－２Ｌ′ １ｖ０＋ｖ０２ａ１１图３　修正前后交叉口通过距离对比示意图另外在黄灯时间的保守数学模型中把驾驶员的速度设为常数ｖ０也是不合实际的．设汽车驶入路口的速度ｖ服从区间ｖ０－ｖ２ｖ０＋ｖ２上的均匀分布则式１１的黄灯时间改变为Ｔ＝１ｖ∫ ｖ０＋ｖ２ｖ０－ｖ２Ｔｖｄｖ＝Ｔ１－Ｔ′ １＋ｖ０２ａ＋Ｉ＋Ｌ１－２Ｌ′ １ｖｌｎ２ｖ０＋ｖ２ｖ０－ｖ１２　　根据城市路面十字路口的实际情况令Ｌ１＝２３Ｌ东西Ｌ′ １＝１３Ｌ南北则式１２变为Ｔ＝Ｔ１－Ｔ′ １＋ｖ０２ａ＋Ｉ＋２３Ｌ东西－Ｌ南北ｖｌｎ２ｖ０＋ｖ２ｖ０－ｖ１３　　式１３表明黄灯时间的确定主要由以下几个因素决定刹车反应时间与起步反应时间的差两个方向路口的宽度差路口的限速度．令ａ＝３．４ｍｓ２Ｌ东西－Ｌ南北＝８ｍＴ１－Ｔ′ １＝０．２ｓｖ＝１１０ｖ０Ｉ＝４ｍＬ＝３０ｍＴ１＝２ｓ．不同车速不同模型的黄灯时间见表３．表３　不同车速不同模型的黄灯时间比较表以下车速ｋｍｈ－１时黄灯时间ｓ３０　４０　５０　６０模型７５．５　４．９　４．７　４．７北京实际４　４　４　４模型１３２．５　２．７　２．９　３．２　　表３表明模型１３计算出的黄灯时间更适于实际情况北京市交管局把黄灯时间设置为４ｓ是合理的．２　困境区域的研究１２－１３２００６年８月北京市交管部门对道路交通安全法实施条例第３８条规定做了进一步的解释黄灯闪烁的一刹那如果车辆在路口停止线外需要减速停车否则要按照闯红灯处罚罚款２００元记３分如果车辆已经越过停止线进入路口内则可以继续通过．但是对于那些接近停车线的车辆当黄灯闪烁时如果立即刹车一方面可能会造成后面的汽车反应不过来而可能发生追尾事故另一方面即使立刻减速停车也很可能当车停下后汽车也已经越过停车线而造成违章．具体情况见表４其中ａ＝８．０ｍｓ２Ｔ１＝１ｓ．表４　不同车速下车辆的反应距离刹车制动距离和停车距离表初速度ｋｍｈ－１反应距离ｍ制动距离ｍ停车距离ｍ３０　８．３　４．３　１２．６４０　１１．１　７．７　１８．８５０　１３．９　１２．１　２６．０６０　１６．７　１７．４　３４．１　　表４说明接近停车线的车辆即使采取立即刹车直到完全停止也要行驶一段距离立刻停下来是不现实的．如果在黄灯开始闪烁时停车线前的汽车选择继续冲过十字路口一方面汽车可能要突然加速而如果汽车已经在法定速度行驶很可能会造８９８武汉理工大学学报交通科学与工程版２０１１年　第３５卷成超速另一方面如果仍旧按照法定速度行驶又很可能当红灯变亮时汽车仍没完全通过十字路口而造成闯红灯违章．假定当黄灯闪烁时一辆汽车处在距离停车线Ｓ处汽车按限速度ｖ０行驶黄灯闪烁时间为Ｔ驾驶员的反应时间为Ｔ１若汽车在黄灯闪烁的时间内刚好通过十字路口到达对面的安全线则汽车通过十字路口的时间为Ｔ２＝Ｉ＋Ｌｖ０安全通过距离Ｓ的驾驶时间为Ｔ′ 则Ｔ′＝Ｔ－Ｔ２．其中Ｔ′包括驾驶员的反应时间Ｔ１．Ｓ为汽车选择通过十字路口时的安全通过距离此时Ｓ＝ｖ０Ｔ′＝ｖ０Ｔ－Ｔ２＝ｖ０Ｔ－Ｉ＋Ｌ．不同型号的车辆和不同宽度的十字路口车辆通过路口的时间Ｔ２不同．当汽车与停车线的距离大于Ｓ时汽车不能在黄灯闪烁的时间Ｔ内以速度ｖ０通过十字路口必须选择减速停车．若在黄灯闪烁的时间内汽车刚好在停车线处停止此时汽车通过的距离记为Ｓ１则Ｓ１＝ｖ０Ｔ１＋ｖ２０２ａ．Ｓ１是处在十字路口的汽车选择停车时的安全停车距离．显然Ｓ＜Ｓ１．假设黄灯开始闪烁时汽车距离停车线为Ｓ′．情况一如果Ｓ′ ＜Ｓ则驾驶员不用停车可以安全行驶过十字路口情况二如果Ｓ′ ＞Ｓ１则驾驶员必须选择安全减速停车情况三如果Ｓ＜Ｓ′ ＜Ｓ１驾驶员就面临一个两难的选择即如果选择继续行驶那么肯定在黄灯闪烁的时间Ｔ内无法完全通过十字路口而如果选择减速停车当汽车停止时肯定已经越过停车线．于是出现了一个让驾驶员进退两难的困境区域见图４．图４　黄灯时间内的困境区域示意图黄灯亮时接近停车线的汽车驾驶员要在瞬间决定是继续前行还是减速停车决策流程见图５．　　给定Ｓ和Ｓ１中的各个因素的数值举例来分析困境区域的具体情况其中Ｓ＝ｖ０Ｔ－Ｉ＋ＬＳ１＝ｖ０Ｔ１＋ｖ２０２ａｖ０＝６０ｋｍｈＴ＝４ｓＩ＝４ｍＬ＝２０ｍａ＝２．４ｍｓ２Ｔ１＝１ｓ．图５　黄灯亮时驾驶员的决策流程情况一　驾驶员以上述假定各相关因素值行驶时在距离停车线Ｓ′＝４０ｍ处时黄灯开始闪烁．由于此时Ｓ＝ｖ０Ｔ－Ｉ＋Ｌ＝４２．８ｍＳ′ ＜Ｓ驾驶员不必减速停车以原定速度ｖ＝６０ｋｍｈ能够安全通过十字路口．情况二　驾驶员在距离停车线Ｓ′＝５８　ｍ处黄灯开始闪烁．Ｓ１＝ｖ０Ｔ１＋ｖ２０２ａ＝５７．７ｍＳ′ ＞Ｓ１驾驶员必须减速停车他将在红灯亮时停在距离停车线０．３ｍ处休息．情况三　驾驶员在距离安全停车线Ｓ′＝５０ｍ处黄灯开始闪烁．由于此时Ｓ＝４２．８ｍＳ′ ＞Ｓ驾驶员必须减速停车否则如果汽车继续行驶则还在距离对面的安全停车线７．２ｍ处红灯已经亮了．但是如果驾驶员选择减速停车则在完全停止时需要行驶的距离为Ｓ１＝５７．７ｍ．显然又已经越过最近安全停车线７．７ｍ．此种情况驾驶员不能停车除非他以超出合理减速度刹车这样对后面的车辆安全有不利影响也不能继续行驶并安全合法的通过十字路口除非超过限速．此时驾驶员就处于困境区域之中．３　结束语在实际生活中当黄灯开始闪烁时驾驶员要根据当时的交通状态接近十字路口时的行驶速度以及距离停车线的距离迅速综合各种因素以后在很短的反应时间内正确的选择是减速还是继续行驶．对于大部分经验比较丰富的驾驶员来说上面的困境区域是不存在的他们总可以根据当时的交通环境做出正确的选择顺利通过或者安全停车．对于那些反映时间慢能够实施的减速度小不能正确的选择是停车还是继续行驶的驾９９８　第５期王秀良等十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究驶员新手上面的困境区域就总是存在的．中国城市交叉口的信号优化与配时问题已经存在很长时间现在城市路网压力越来越大道路建设最大的一个瓶颈就是十字交叉口的安全问题．在很多场合安全与效率难以两全十字交叉口经常又是冲突交通流汇聚的节点安全问题十分突出．研究表明每年城市交通事故５９％都发生在交叉路口因为闯黄灯或者闯红黄灯．对城市道路十字路口的安全停车距离及困境区域等问题进行更深入的调查和研究对于缓解城市交通压力降低城市交通事故的发生率等方面都有积极的作用．参考文献１中华人民共和国公安部．中华人民共和国道路交通安全法Ｓ．北京人民交通出版社２００４．２美国运输部联邦公路局．交通控制系统手册Ｓ．李海渊译．北京人民交通出版社１９８７．３德国道路与交通工程研究学会．交通信号控制指南Ｓ．李克平译．北京中国建筑工业出版社２００６．４马子斌商学岭．道路交叉口处信号灯的黄灯时间和优化配时问题Ｊ．数学的实践与认识１９９５１８－１４．５张兰芳方守恩．公路平面交叉口合理间距研究Ｊ．重庆交通大学学报自然科学版２００８２７２２７６－２７８．６徐学珍田宏伟．快速路驾驶员反应时间的确定Ｊ．信息技术与信息化２００７４１０５－１０８．７钟连超叶彬强罗劲松．交通灯控制系统中黄灯时间的确定Ｊ．重庆工学院学报自然科学版２００８２２４１５４－１５６．８马　锐．十字路口黄灯闪亮时间的数学建模分析Ｊ．云南民族大学学报自然科学版２００４１３４３０２－３０４．９李建新毛保华．混合交通环境下有信号交叉口通行能力研究Ｊ．交通运输系统工程与信息２００１１２１１９－１２３．１０华杰工程咨询有限公司．公路项目安全性评价指南ＪＴＧＢ０５－２００４Ｓ．北京人民交通出版社２００４．１１姜启源谢金星叶　俊．数学模型Ｍ．３版．北京高等教育出版社２００３．１２王金梅王兆安邓　雯．与闯红灯违规相关的困境区域的研究Ｊ．西安交通大学学报２００５３９２２０５－２０９．１３高铁军．城市信控交叉口的过渡信号研究Ｄ．北京北京交通大学交通运输学院２００８．Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｗｉｔｈ　Ｒｅｇａｒｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｖａｌｏｆ　Ｙｅｌｌｏｗ　Ｌｉｇｈｔ　ａｎｄ　Ｄｉｌｅｍｍａ　Ｚｏｎｅ　ａｔ　Ｃｒｏｓｓｉｎｇ　ＲｏａｄＷａｎｇ　Ｘｉｕｌｉａｎｇ　Ｑｉａｏ　ＭｕＳｃｉｅｎｃｅ　Ｄｅｐｔ．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｐｅｏｐｌｅ＇ｓ　Ｐｕｂｌｉｃ　Ｓｅｃｕｒｉｔｙ　ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＢｅｉｊｉｎｇ１０００３８ＣｈｉｎａＡｂｓｔｒａｃｔＣｒｏｓｓｉｎｇ　ｒｏａｄｓ　ａｒｅ　ｔｈｅ　ｎｏｄｅｓ　ｏｆ　ｃｏｎｆｌｉｃｔｅｄ　ｔｒａｆｆｉｃ　ｆｌｏｗ　ｉｎ　ｕｒｂａｎ　ｔｒａｆｆｉｃ．Ｔｈｅ　ｓａｆｅｔｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓｇｅｔｔｉｎｇ　ｓｅｒｉｏｕｓ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｓ　ｏｆ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ａｒｅ　ｄｅｖｅｌ－ｏｐｅｄ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ｃｏｎｆｉｒｍｅｄ　ｉｎ　ｃｒｏｓｓｉｎｇ　ｒｏａｄ　ｏｆ　ｕｒｂａｎ　ｔｒａｆｆｉｃｓａｆｅｔｙ　ｓｔｏｐｐｉｎｇ　ｄｉｓ－ｔａｎｃｅ　ａｎｄ　ｄｉｌｅｍｍａ　ｚｏｎｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａｒｅ　ｄｒａｗ　ｆｏｒｔｈ　ｉｎ　ｒｏａｄ　ｔｒａｆｆｉｃ．Ｄｉｌｅｍｍａ　ｚｏｎｅ　ｉｓ　ｒｅａｌｌｙ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｉｎｓｏｍｅ　ｐｌａｃｅｉｔ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｔｏ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｓｔｕｄｙ．Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓｔｒａｆｆｉｃ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ｍｏｄｅｌｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔｔｉｍｅｄｉｌｅｍｍａ　ｚｏｎｅｓａｆｅｌｙ　ｓｔｏｐｐｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ; 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十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究王秀良　乔　木中国人民公安大学理科基础部　北京　１０００３８摘要城市交通十字路口是冲突交通流汇聚的节点安全问题十分突出黄灯在交通信号系统中起着非常重要的作用黄灯时间的长短设置直接影响城市交通的状况．建立保守黄灯时间数学模型通过逐步修订建立了更符合实际情况的有效黄灯时间的数学模型并在城市道路十字路口黄灯时间确定为４ｓ的情况下对安全停车距离进行了分析指出困境区域的存在性与进行深入研究的必要性．关键词交通工程黄灯时间模型运动学方程有效黄灯时间困境区域安全停车距离中图法分类号Ｕ４９１　ＤＯＩ１０．３９６３ｊ．ｉｓｓｎ．１００６－２８２３．２０１１．０５．００７　　　　收稿日期２０１１－０６－１５　　　　王秀良１９７６－男博士讲师主要研究领域为数学史应用数学０　引　　言２００４年颁布的中华人民共和国道路交通安全法实施条例第３８条规定绿灯亮时准许车辆通行但转弯的车辆不得妨碍被放行的直行车辆行人通行．黄灯亮时已越过停止线的车辆可以继续通行．红灯亮时禁止车辆通行．１近几年国内很多城市已经对路口信号灯灯序及黄灯闪烁时间进行了标准化设置．以北京市为例２００７年７月３日北京市交管局将机动车信号灯灯序全部统一为绿－黄－红－绿将黄灯过渡信号时间统一设置为４ｓ．这样方便了机动车驾驶员对信号灯放行次序的辨识驾驶员在到达路口前可以预判情况控制车速提高路口通行的安全性．调整后的信号灯灯序与国际惯例保持一致不同的国家关于黄灯时间的设定是不同的．美国联邦公路局在２００３年版的交通控制设施手册认为黄灯持续时间应该在近似３６ｓ的范围内路口限速越大则可增大对应黄灯的持续时间２．德国现行的交通控制行业行为规范交通信号控制指南中关于黄灯时间的规定依十字路口进口道处不同限速而有所不同黄灯时间３４５ｓ对应的限速分别为５０６０７０ｋｍｈ３．黄灯应该亮多长时间才能使停车线附近的车辆安全顺利地通过路口呢？本文建立了一个有效黄灯时间的数学模型并在城市道路十字路口黄灯时间确定为４ｓ的情况下分析车辆的安全停车距离．１　黄灯时间确定的数学模型１．１　保守黄灯时间的数学模型４－６设驾驶员反映时间Ｔ１汽车通过十字路口时间Ｔ２距停车线距离的驾驶时间Ｔ３则黄灯应亮时间为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３．见图１．图１　车辆在十字路口的平面示意图又令汽车的行驶速度为法定行驶限速度ｖ０十字路口的长度为Ｌ车身长度为Ｉ则汽车通过十字路口的时间为Ｔ２＝Ｉ＋Ｌｖ０．设汽车质量为ｍ刹车摩擦因数为ｆ汽车从刹车至停止的行驶距离为ｘｔ．由牛顿第二定律刹车过程应满足如下微分方程其中ｇ为重力加速度．ｍｄ２　ｘｄＴ２＝－ｆｍｇ１ｄｘｄｔｔ＝０＝ｖ０２ｘ０＝０３烅烄烆　　对式１积分将初始条件２代入得ｄｘｄｔ＝－ｆｇｔ＋ｖ０４　　当汽车在停车线前停止时由式４得ｔ１＝ｖ０ｆｇ５　　对式４再积分将式３代入得ｘｔ＝－１２ｆｇｔ２＋ｖ０ｔ６　　将式５代入式６得到停车距离ｘｔ１＝－１２ｆｇｖ０ｆｇ２＋ｖ０ｖ０ｆｇ＝ｖ２０２ｆｇ故有Ｔ３＝ｘｔｖ０＝ｖ０２ｆｇ．当汽车开始减速时设汽车的减速度为ａｍｓ２则有ｍａ＝ｆｍｇ即ａ＝ｆｇ所以Ｔ３＝ｘｔｖ０＝ｖ０２ｆｇ＝ｖ０２ａ．所以黄灯时间理论上的数值应为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌｖ０＋ｖ０２ａ７　　应用等不等式ａ＋ｂ≥２槡ａｂａ≥０ｂ≥０得Ｔ≥Ｔ１＋２Ｉ＋Ｌ槡ａ８　　当ａ取最大值时即汽车紧急制动所得的时间Ｔ就是黄灯应该闪烁的最短时间．根据资料各种路面与轮胎之间的动摩擦因数见表１．表１　路面与轮胎之间的动摩擦因数路面类型动摩擦因数干沥青与混凝土路面０．７００．８干碎石路面０．６００．７湿沥青与混凝土路面０．３２０．４　　取ｇ＝１０ｍｓ２ｆ＝０．８由ａ＝ｆｇ算得ａ＝８ｍｓ２．驾驶员的反应时间Ｔ１的确定是一个比较复杂的问题．速度时间道路位置空间等都是驾驶员安全考虑并进行分析判断的因素．另外反应时间也与驾驶员的年龄以及城市交通情况繁杂多变和危险情况有关．根据目前已有的研究成果８５％的驾驶员感知时间值在１１．８ｓ对于一些年老的驾驶员反应时间一般不小于２．５ｓ．根据美国各州公路和交通工作者协会建议对所有车速在确定安全停车距离时反应时间用２．５ｓ在确定交叉口时距时反应时间用２．０ｓ．本文将反应时间设为１２．５ｓ典型车身长度为Ｉ＝４ｍ路口宽度Ｌ设为２０４０ｍ．不同反应时间不同路口宽度下模型７算出的黄灯时间见表２．表２　黄灯闪烁最短时间表ＬｍＴ１ｓ１．０　１．５　２．０　２．５２０　３．５　４．０　４．５　５．０２５　３．７　４．２　４．７　５．２３０　３．９　４．４　４．９　５．４３５　４．１　４．６　５．１　５．６４０　４．３　４．８　５．３　５．８　　由表２可见绝大部分情况黄灯最小时间都超过了４ｓ．事实上在上式ａ＝ｆｇ中计算的是紧急刹车的最大减速度紧急刹车会导致比闯黄灯更大的危险．研究表明９０％的驾驶员会以不大于ａ＝３．４ｍｓ２的减速度减速这个减速度能够使驾驶员在潮湿的路面上刹车时保持驾驶控制．以ａ＝３．４ｍｓ２算得上表中最短的黄灯时间也超过了４ｓ．仔细考察式７发现其确定的黄灯时间太过理想化其中存在以下几个问题１式７中的黄灯时间虽然有效避免了相邻相位车流间的相互干扰当红灯亮时汽车的尾部刚好通过停车线．但实际上式７的黄灯时间相对比较保守２速度始终为一个定值这也与实际情况不符．１．２　有效黄灯时间的数学模型７－１１见图２汽车只要通过冲突点Ａ就可以了而没有必要等到车辆完全通过路口才结束黄灯信号令停车线与Ａ点的距离为Ｌ１因此黄灯时间计算公式改变为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌ１ｖ０＋ｖ０２ａ９　　进一步考察黄灯时间发现只要东西向的车辆在南北向的车辆到达可能冲突点Ａ之前汽车通过可能冲突点Ａ就可以了故式９进一步修正为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌ１ｖ０＋ｖ０２ａ－ｔ１１０７９８　第５期王秀良等十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究图２　相邻相位下冲突点产生过程示意图式中Ｔ１为南向驾驶员看到绿灯亮时的起步反应时间Ｔ′ １与汽车从停车线到达冲突点Ａ所用的时间见图３假定汽车起步时为匀加速直线运动令南向汽车从起步到达Ａ点的距离为Ｌ′ １以ｖ０２表示这段距离的平均速度则南向汽车到达冲突点Ａ所用时间为２Ｌ′ １ｖ０．所以有ｔ１＝Ｔ′ １＋２Ｌ′ １ｖ０故式１０变为Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３＝Ｔ１＋Ｉ＋Ｌ１ｖ０＋ｖ０２ａ－Ｔ′ １＋２Ｌ′ １ｖ０＝Ｔ１－Ｔ′ １＋Ｉ＋Ｌ１－２Ｌ′ １ｖ０＋ｖ０２ａ１１图３　修正前后交叉口通过距离对比示意图另外在黄灯时间的保守数学模型中把驾驶员的速度设为常数ｖ０也是不合实际的．设汽车驶入路口的速度ｖ服从区间ｖ０－ｖ２ｖ０＋ｖ２上的均匀分布则式１１的黄灯时间改变为Ｔ＝１ｖ∫ ｖ０＋ｖ２ｖ０－ｖ２Ｔｖｄｖ＝Ｔ１－Ｔ′ １＋ｖ０２ａ＋Ｉ＋Ｌ１－２Ｌ′ １ｖｌｎ２ｖ０＋ｖ２ｖ０－ｖ１２　　根据城市路面十字路口的实际情况令Ｌ１＝２３Ｌ东西Ｌ′ １＝１３Ｌ南北则式１２变为Ｔ＝Ｔ１－Ｔ′ １＋ｖ０２ａ＋Ｉ＋２３Ｌ东西－Ｌ南北ｖｌｎ２ｖ０＋ｖ２ｖ０－ｖ１３　　式１３表明黄灯时间的确定主要由以下几个因素决定刹车反应时间与起步反应时间的差两个方向路口的宽度差路口的限速度．令ａ＝３．４ｍｓ２Ｌ东西－Ｌ南北＝８ｍＴ１－Ｔ′ １＝０．２ｓｖ＝１１０ｖ０Ｉ＝４ｍＬ＝３０ｍＴ１＝２ｓ．不同车速不同模型的黄灯时间见表３．表３　不同车速不同模型的黄灯时间比较表以下车速ｋｍｈ－１时黄灯时间ｓ３０　４０　５０　６０模型７５．５　４．９　４．７　４．７北京实际４　４　４　４模型１３２．５　２．７　２．９　３．２　　表３表明模型１３计算出的黄灯时间更适于实际情况北京市交管局把黄灯时间设置为４ｓ是合理的．２　困境区域的研究１２－１３２００６年８月北京市交管部门对道路交通安全法实施条例第３８条规定做了进一步的解释黄灯闪烁的一刹那如果车辆在路口停止线外需要减速停车否则要按照闯红灯处罚罚款２００元记３分如果车辆已经越过停止线进入路口内则可以继续通过．但是对于那些接近停车线的车辆当黄灯闪烁时如果立即刹车一方面可能会造成后面的汽车反应不过来而可能发生追尾事故另一方面即使立刻减速停车也很可能当车停下后汽车也已经越过停车线而造成违章．具体情况见表４其中ａ＝８．０ｍｓ２Ｔ１＝１ｓ．表４　不同车速下车辆的反应距离刹车制动距离和停车距离表初速度ｋｍｈ－１反应距离ｍ制动距离ｍ停车距离ｍ３０　８．３　４．３　１２．６４０　１１．１　７．７　１８．８５０　１３．９　１２．１　２６．０６０　１６．７　１７．４　３４．１　　表４说明接近停车线的车辆即使采取立即刹车直到完全停止也要行驶一段距离立刻停下来是不现实的．如果在黄灯开始闪烁时停车线前的汽车选择继续冲过十字路口一方面汽车可能要突然加速而如果汽车已经在法定速度行驶很可能会造８９８武汉理工大学学报交通科学与工程版２０１１年　第３５卷成超速另一方面如果仍旧按照法定速度行驶又很可能当红灯变亮时汽车仍没完全通过十字路口而造成闯红灯违章．假定当黄灯闪烁时一辆汽车处在距离停车线Ｓ处汽车按限速度ｖ０行驶黄灯闪烁时间为Ｔ驾驶员的反应时间为Ｔ１若汽车在黄灯闪烁的时间内刚好通过十字路口到达对面的安全线则汽车通过十字路口的时间为Ｔ２＝Ｉ＋Ｌｖ０安全通过距离Ｓ的驾驶时间为Ｔ′ 则Ｔ′＝Ｔ－Ｔ２．其中Ｔ′包括驾驶员的反应时间Ｔ１．Ｓ为汽车选择通过十字路口时的安全通过距离此时Ｓ＝ｖ０Ｔ′＝ｖ０Ｔ－Ｔ２＝ｖ０Ｔ－Ｉ＋Ｌ．不同型号的车辆和不同宽度的十字路口车辆通过路口的时间Ｔ２不同．当汽车与停车线的距离大于Ｓ时汽车不能在黄灯闪烁的时间Ｔ内以速度ｖ０通过十字路口必须选择减速停车．若在黄灯闪烁的时间内汽车刚好在停车线处停止此时汽车通过的距离记为Ｓ１则Ｓ１＝ｖ０Ｔ１＋ｖ２０２ａ．Ｓ１是处在十字路口的汽车选择停车时的安全停车距离．显然Ｓ＜Ｓ１．假设黄灯开始闪烁时汽车距离停车线为Ｓ′．情况一如果Ｓ′ ＜Ｓ则驾驶员不用停车可以安全行驶过十字路口情况二如果Ｓ′ ＞Ｓ１则驾驶员必须选择安全减速停车情况三如果Ｓ＜Ｓ′ ＜Ｓ１驾驶员就面临一个两难的选择即如果选择继续行驶那么肯定在黄灯闪烁的时间Ｔ内无法完全通过十字路口而如果选择减速停车当汽车停止时肯定已经越过停车线．于是出现了一个让驾驶员进退两难的困境区域见图４．图４　黄灯时间内的困境区域示意图黄灯亮时接近停车线的汽车驾驶员要在瞬间决定是继续前行还是减速停车决策流程见图５．　　给定Ｓ和Ｓ１中的各个因素的数值举例来分析困境区域的具体情况其中Ｓ＝ｖ０Ｔ－Ｉ＋ＬＳ１＝ｖ０Ｔ１＋ｖ２０２ａｖ０＝６０ｋｍｈＴ＝４ｓＩ＝４ｍＬ＝２０ｍａ＝２．４ｍｓ２Ｔ１＝１ｓ．图５　黄灯亮时驾驶员的决策流程情况一　驾驶员以上述假定各相关因素值行驶时在距离停车线Ｓ′＝４０ｍ处时黄灯开始闪烁．由于此时Ｓ＝ｖ０Ｔ－Ｉ＋Ｌ＝４２．８ｍＳ′ ＜Ｓ驾驶员不必减速停车以原定速度ｖ＝６０ｋｍｈ能够安全通过十字路口．情况二　驾驶员在距离停车线Ｓ′＝５８　ｍ处黄灯开始闪烁．Ｓ１＝ｖ０Ｔ１＋ｖ２０２ａ＝５７．７ｍＳ′ ＞Ｓ１驾驶员必须减速停车他将在红灯亮时停在距离停车线０．３ｍ处休息．情况三　驾驶员在距离安全停车线Ｓ′＝５０ｍ处黄灯开始闪烁．由于此时Ｓ＝４２．８ｍＳ′ ＞Ｓ驾驶员必须减速停车否则如果汽车继续行驶则还在距离对面的安全停车线７．２ｍ处红灯已经亮了．但是如果驾驶员选择减速停车则在完全停止时需要行驶的距离为Ｓ１＝５７．７ｍ．显然又已经越过最近安全停车线７．７ｍ．此种情况驾驶员不能停车除非他以超出合理减速度刹车这样对后面的车辆安全有不利影响也不能继续行驶并安全合法的通过十字路口除非超过限速．此时驾驶员就处于困境区域之中．３　结束语在实际生活中当黄灯开始闪烁时驾驶员要根据当时的交通状态接近十字路口时的行驶速度以及距离停车线的距离迅速综合各种因素以后在很短的反应时间内正确的选择是减速还是继续行驶．对于大部分经验比较丰富的驾驶员来说上面的困境区域是不存在的他们总可以根据当时的交通环境做出正确的选择顺利通过或者安全停车．对于那些反映时间慢能够实施的减速度小不能正确的选择是停车还是继续行驶的驾９９８　第５期王秀良等十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究驶员新手上面的困境区域就总是存在的．中国城市交叉口的信号优化与配时问题已经存在很长时间现在城市路网压力越来越大道路建设最大的一个瓶颈就是十字交叉口的安全问题．在很多场合安全与效率难以两全十字交叉口经常又是冲突交通流汇聚的节点安全问题十分突出．研究表明每年城市交通事故５９％都发生在交叉路口因为闯黄灯或者闯红黄灯．对城市道路十字路口的安全停车距离及困境区域等问题进行更深入的调查和研究对于缓解城市交通压力降低城市交通事故的发生率等方面都有积极的作用．参考文献１中华人民共和国公安部．中华人民共和国道路交通安全法Ｓ．北京人民交通出版社２００４．２美国运输部联邦公路局．交通控制系统手册Ｓ．李海渊译．北京人民交通出版社１９８７．３德国道路与交通工程研究学会．交通信号控制指南Ｓ．李克平译．北京中国建筑工业出版社２００６．４马子斌商学岭．道路交叉口处信号灯的黄灯时间和优化配时问题Ｊ．数学的实践与认识１９９５１８－１４．５张兰芳方守恩．公路平面交叉口合理间距研究Ｊ．重庆交通大学学报自然科学版２００８２７２２７６－２７８．６徐学珍田宏伟．快速路驾驶员反应时间的确定Ｊ．信息技术与信息化２００７４１０５－１０８．７钟连超叶彬强罗劲松．交通灯控制系统中黄灯时间的确定Ｊ．重庆工学院学报自然科学版２００８２２４１５４－１５６．８马　锐．十字路口黄灯闪亮时间的数学建模分析Ｊ．云南民族大学学报自然科学版２００４１３４３０２－３０４．９李建新毛保华．混合交通环境下有信号交叉口通行能力研究Ｊ．交通运输系统工程与信息２００１１２１１９－１２３．１０华杰工程咨询有限公司．公路项目安全性评价指南ＪＴＧＢ０５－２００４Ｓ．北京人民交通出版社２００４．１１姜启源谢金星叶　俊．数学模型Ｍ．３版．北京高等教育出版社２００３．１２王金梅王兆安邓　雯．与闯红灯违规相关的困境区域的研究Ｊ．西安交通大学学报２００５３９２２０５－２０９．１３高铁军．城市信控交叉口的过渡信号研究Ｄ．北京北京交通大学交通运输学院２００８．Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｗｉｔｈ　Ｒｅｇａｒｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｖａｌｏｆ　Ｙｅｌｌｏｗ　Ｌｉｇｈｔ　ａｎｄ　Ｄｉｌｅｍｍａ　Ｚｏｎｅ　ａｔ　Ｃｒｏｓｓｉｎｇ　ＲｏａｄＷａｎｇ　Ｘｉｕｌｉａｎｇ　Ｑｉａｏ　ＭｕＳｃｉｅｎｃｅ　Ｄｅｐｔ．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｐｅｏｐｌｅ＇ｓ　Ｐｕｂｌｉｃ　Ｓｅｃｕｒｉｔｙ　ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＢｅｉｊｉｎｇ１０００３８ＣｈｉｎａＡｂｓｔｒａｃｔＣｒｏｓｓｉｎｇ　ｒｏａｄｓ　ａｒｅ　ｔｈｅ　ｎｏｄｅｓ　ｏｆ　ｃｏｎｆｌｉｃｔｅｄ　ｔｒａｆｆｉｃ　ｆｌｏｗ　ｉｎ　ｕｒｂａｎ　ｔｒａｆｆｉｃ．Ｔｈｅ　ｓａｆｅｔｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｓｇｅｔｔｉｎｇ　ｓｅｒｉｏｕｓ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｓ　ｏｆ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ａｒｅ　ｄｅｖｅｌ－ｏｐｅｄ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ｃｏｎｆｉｒｍｅｄ　ｉｎ　ｃｒｏｓｓｉｎｇ　ｒｏａｄ　ｏｆ　ｕｒｂａｎ　ｔｒａｆｆｉｃｓａｆｅｔｙ　ｓｔｏｐｐｉｎｇ　ｄｉｓ－ｔａｎｃｅ　ａｎｄ　ｄｉｌｅｍｍａ　ｚｏｎｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａｒｅ　ｄｒａｗ　ｆｏｒｔｈ　ｉｎ　ｒｏａｄ　ｔｒａｆｆｉｃ．Ｄｉｌｅｍｍａ　ｚｏｎｅ　ｉｓ　ｒｅａｌｌｙ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｉｎｓｏｍｅ　ｐｌａｃｅｉｔ　ｉｓ　ｖｅｒｙ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ｔｏ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｓｔｕｄｙ．Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓｔｒａｆｆｉｃ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔ　ｔｉｍｅ　ｍｏｄｅｌｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｙｅｌｌｏｗ　ｌｉｇｈｔｔｉｍｅｄｉｌｅｍｍａ　ｚｏｎｅｓａｆｅｌｙ　ｓｔｏｐｐｉｎｇ　ｄｉｓｔａｎｃｅ; 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