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xkgczhfx_12 2013-7-27 09:32
算术公理1+1=2蕴涵着的基本原理与哲理 （作者：爱君，奇东，润东，安东，单位：山东省东营市河口区孤岛采油厂孤三区， 邮码：257200）。 摘要：辩证认识、辩证推理探讨纯粹数学与初等数学的基本理论，必然会丰富初等数学与纯粹数学的深刻内涵，运用数字进行辩证推理建立起数值逻辑公理系统的雏形（仅涉及正的），其公理系统蕴含着完整的运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，……的倍数关系、或者说2，3，4，5，6，7，8，9，10，……均为数学公理、2是数学首要公理，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（分数1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）从发展变化的公理系统中产生分化出来，占据整数的位置，充分地十足地体现其半整性质，最大的分数单位1/2与最大的小数单位0.5亦为小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……拥有半整性质提供科学的理论根据，半整性质又为奇数1，3，5，7，9，11，13，……能被2半整除提供科学的理论依据，…。 关键词：1、半整数，2、广义整数，3、分数单位，4、最大的分数单位是1/2，5、小数单位，6、最大的小数单位式0.5，6、素数，7、双素数，8、为什么1+1=2。 一、道白： 与时俱进，开拓创新是我们共同的责任，携手共创美好明天！求同存异！ 将正整数，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…… 化成分母是1的分数，即：0，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，7/1，8/1，9/1，10/1，……谁都会质问这样的数究竟是分数还是整数？如果说它们是分数但又体现整数性质、如果说它们是整数又是分数形式，什么样的数学术语能够体现其共同的特征？分数整，整数分数都是恰当的。 还有分数1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，……它们拥有半整性质，半整性质是它们自身所固有的先天属性，因为1/2是最大的分数单位，决定着它们拥有半整性质，这些特殊分数的特殊性质使用怎样的数学术语来体现其特有的性质？前无古人后有来者，量子力学中管它们叫作半整数，半整数拥有半整性质，需要提升理性认识，方切合实际，相互矛盾的事有的是，譬如光线是直线又有波粒二象性质，问题所在，就在于如何解放思想、与时俱进、开拓创新，理解接受新生事物、与时俱进开拓创新，数学理论的创新，1+1=2的基本原理与哲理，为量子力学奠定坚实基础，量子力学的费米子、玻色子的自旋又为1+1=2的基本原理与哲理提供科学的客观证据，难道说这一科学的证据与力度还不够吗？也许最缺少的是专家的支持，首先是量子力学家率先支持，更缺乏数学家的鼎力支持，…。 二、绪言（《古今数学思想》书中的道白与评论）：《古今数学思想》书中 指出：“对于数学基础的根本问题所提出的解答——经典集合论公理化、逻辑主义，形式主义，直觉主义——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的途径。在哥德尔1931年的工作以后的发展，也没有在实质上改变这种状况，…；该书中又指出：韦尔对数学的现状作了恰当的描述：关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决，我们不知道向哪里去找它的最后解答，…”,这就是纯粹数学的基本现状，…。《古今数学思想》 书中还指出：“…，数学中最重要的进展都不是由于要把逻辑形式完美化而得到的，而是由于基本理论本身的变革，是逻辑依靠数学，而不是数学依靠逻辑。”事实上逻辑与数学相互依赖,数学基本理论自身变革怎样变革、如何变革、从哪里作为起点开始变革至关重要，追根溯源，还是要上溯到2500多年前毕达哥拉斯时期，从最简单的算术谈起，无容置疑，潜无限数学理论依然是纯粹数学、应用数学的根基，因为无理数都取近似值，坚决突破玄学数学自然观的束缚、彻底打破纯粹数学（数学基础）的“三大数学流派”与“门户”之见，承认接受实无限数学理论千万不能排斥丢掉了潜无限数学真理，…。向为数学以及为纯粹数学做出过贡献的历代数学家致以崇高敬意！…。 三、建立起数学数值辩证逻辑公理系统（的雏形）：究竟是到数值逻辑系统外部探寻系统运算规律与深刻内涵？还是在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律与深刻内涵？很显然，要在数值逻辑系统内部探寻系统运算规律以及深刻内涵、建立起数学辩证数值逻辑公理系统（的雏形），使数学理论形成完整的理性认识，事实证明，数理逻辑亦不是万能逻辑，数理逻辑与实无限并未完全揭示出辩证数值逻辑公理系统运算规律与其深刻内涵，初等数学与纯粹数学的基本理论尚有诸多不足之处，这就是数学实无限理论和数理逻辑无法解决的数学矛盾与问题，关于数学的无限矛盾，实无限、数理逻辑不能解决的数学矛盾与问题，运用潜无限数学理论与潜无限的科学方法深化提升对有理数系统的认识，未尝不可，…，用那10个阿拉伯数字演绎数学真谛，1生2、2生3、“10”个阿拉伯数字派生无限，确切地说正整数数列： 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……如果从数学的数论、集合论、算术与哲学角度出发，运用算术的方法分别选取：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……，…分别地建立起最基本最原始的幼稚可笑的有理数数列群与子集合（为了节省版面本文分数线用斜线表示，敬请谅解，以下所涉及到的内涵是在毕达哥拉斯偶数能被2整除，奇数不能被2整除以及是在皮亚诺五项公设和亚里士多德潜无限基础上建立起的公理系统： 第1子系列：0/1，1/1，2/1，3/1，4/1，5/1，6/1，……， 第2子系列：0/2，1/2，2/2，3/2，4/2，5/2，6/2，……， 第3子系列：0/3，1/3，2/3，3/3，4/3，5/3，6/3，……， 第4子系列：0/4，1/4，2/4，3/4，4/4，5/4，6/4，……， 第5子系列：0/5，1/5，2/5，3/5，4/5，5/5，6/5，……， 第6子系列：0/6，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6，6/6，……， 第7子系列：0/7，1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，……， 第8子系列：0/8，1/8，2/8，3/8，4/8，5/8，6/8，……， 第9子系列：0/9，1/9，2/9，3/9，4/9，5/9，6/9，……， 第10子系列：0/10，1/10，2/10，3/10，4/10，5/10，6/10，……， ……，…… 如果再去分别探索在何范畴内系统的各个子系列各基数间存在着运算规律2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的（公理）倍数关系时、即分别探索在何范畴内各基数间存在着2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……的算术（数学）公理——辩证数值逻辑公理系统运算规律： 第1子系列：0/1=0，1/1=1，2/1 =2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1=6， ……， 第2子系列、第2环节： 2（0/2+1/2+2/2）=（1/2+2/2+3/2）=（0.5+2/2+1.5）， 第3环节：3（0/2+1/2+2/2）=（2/2+3/2+4/2）=（1/1+3/2+2/1）=（1+3/2+2）， 第4环节：4（0/2+1/2+2/2）=（3/2+4/2+5/2）=（1.5+4/2+2.5）， 第5环节：5（0/2+1/2+2/2）=（4/2+5/2+6/2）=（2/1+5/2+3/1）=（2+5/2+3）， 第6环节：6（0/2+1/2+2/2）=（5/2++6/2+7/2）=（2.5+6/2+3.5），……， 第3子系列、第2环节： 2（0/3+1/3+2/3+3/3）=(1.5/3+2.5/3+3.5/3+4.5/3） =(1/2+2.5/3+3.5/3+3/2）=（0.5+2.5/3+3.5/3+1.5）， 第3环节：3（0/3+1/3+2/3+3/3）=（3/3+4/3+5/3+6/3） =（1/1+4/3+5/3+2/1）=（1+4/3+5/3+2）， 第4环节： 4（0/3+1/3+2/3+3/3）=（4.5/3+5.5/3+6.5/3+7.5/3） =（3/2+5.5/3+6.5/3+5/2）=（1.5+5.5/3+6.5/3+2.5）， 第5环节：5（0/3+1/3+2/3+3/3）=（6/3+7/3+8/3+9/3） =（2/1+7/3+8/3+3/1）=（2+7/3+8/3+3）， 第6环节： 6（0/3+1/3+2/3+3/3） =（7.5/3+8.5/3+9.5/3+10.5/3）=（5/2+8.5/3+9.5/3+7/2） =（2.5+8.5/3+9.5/3+3.5）=（11/3 +12/3+13/3），……， 第4子系列、第2环节： 2（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（2/4+3/4+4/4+5/4+6/4） =（1/2+3/4+4/4+5/4+3/2）=（0.5+3/4+4/4+5/4+1.5）， 第3环节： 3（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（4/4+5/4+6/4+7/4+8/4） =（1/1+5/4+6/4+7/4+2/1）=（1+5/4+6/4+7/4+2）， 第4环节： 4（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4） =（6/4+7/4+8/4+9/4+10/4）=（3/2+7/4+8/4+9/4+5/2） =（1.5+7/4+8/4+9/4+2.5）， 第5环节：5（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4）=（8/4+9/4+10/4+11/4+12/4） =（2/1+9/4+10/4+11/4+3/1）=（2+9/4+10/4+11/4+3）， 第6环节：6（0/4+1/4+2/4+3/4+4/4） =（10/4+11/4+12/4+13/4+14/4）=（5/2+11/4+12/4+13/4+7/2） =（2.5+11/4+12/4+13/4+3.5）， ……， 第5子系列、第2环节： 2（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5） =（2.5/5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+7.5/5） =（1/2+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+3/2） =（0.5+3.5/5+4.5/5+5.5/5+6.5/5+1.5）， 第3环节：3（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5） =（5/5+6/5+7/5+8/5+9/5+10/5） =（1/1+6/5+7/5+8/5+9/5+2/1） =（1+6/5+7/5+8/5+9/5+2）， 第4 环节：4（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5） =（7.5/5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+12.5/5） =（3/2+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+5/2） =（1.5+8.5/5+9.5/5+10.5/5+11.5/5+2.5） 第5环节：5（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5） =（10/5+11/5+12/5+13/5+14/5+15/5） =（2/1+11/5+12/5+13/5+14/5+3/1） =（2+11/5+12/5+13/5+14/5+3）， 第6环节：6（0/5+1/5+2/5+3/5+4/5+5/5） =（12.5/5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+17.5/5） =（5/2+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+7/2） =（2.5+13.5/5+14.5/5+15.5/5+16.5/5+3.5），……， 第6子系列、第2环节： 2（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6） =(3/6+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+9/6) =(1/2+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+3/2) =(0.5+4/6+5/6+6/6+7/6+8/6+1.5)， 第3环节：3（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6） =（6/6+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+12/6） =（1/1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2/1） =（1+7/6+8/6+9/6+10/6+11/6+2）， 第4环节：4（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6） =（9/6+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+15/6） =（3/2+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+5/2） =（1.5+10/6+11/6+12/6+13/6+14/6+2.5）， 第5环节：5（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6） =（12/6+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+18/6） =（2/1+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3/1） =（2+13/6+14/6+15/6+16/6+17/6+3）， 第6环节：6（0/6+1/6+2/6+3/6+4/6+5/6+6/6） =（15/6+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+21/6） =（5/2+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+7/2） =（2.5+16/6+17/6+18/6+19/6+20/6+3.5），……， 第7子系列、第2环节： 2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7） =（1/2+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+3/2） =（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）， 第3环节：3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7） =（1/1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2/1） =（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）， 第4环节：4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7) =(3/2+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+5/2) =(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)， 第5环节：5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7） =（2/1+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3/1） =（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）， 第6环节：6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7) =(5/2+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+7/2) =(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5)，……， 第7系列、第2环节： 2（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =（3.5/7+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+10.5/7） =（1/2+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+3/2） =（0.5+4.5/7+5.5/7+6.5/7+8.5/7+9.5/7+1.5）， 第3环节：3（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =（7/7+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+14/7） =（1/1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2/1） =（1+8/7+9/7+10/7+11/7+12/7+13/7+2）， 第4环节：4（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =(10.5/7+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+17.5/7) =(3/2+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+5/2) =(1.5+11.5/7+12.5/7+13.5/7+14.5/7+15.5/7+16.5/7+2.5)， 第5环节：5（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =（14/7+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+21/7） =（2/1+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3/1） =（2+15/7+16/7+17/7+18/7+19/7+20/7+3）， 第6环节：6（0/7+1/7+2/7+3/7+4/7+5/7+6/7+7/7） =(17.5/7+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+24.5/7) =(5/2+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+7/2) =(2.5+18.5/7+19.5/7+20.5/7+21.5/7+22.5/7+23.5/7+3.5),……， 第8子系列：第2环节： 2（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8） =（4/8+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+12/8） =（1/2+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+3/2） =（0.5+5/8+6/8+7/8+9/8+10/8+11/8+1.5）， 第3环节： 3（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8） =（8/8+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+16/8） =（1/1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2/1） =（1+9/8+10/8+11/8+12/8+13/8+14/8+15/8+2）， 第4环节： 4（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8） =（12/8+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+20/8） =（3/2+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+5/2） =（1.5+13/8+14/8+15/8+16/8+17/8+18/8+19/8+2.5）， 第5环节： 5（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8） =（16/8+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+24/8） =（2/1+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3/1） =（2+17/8+18/8+19/8+20/8+21/8+22/8+23/8+3）， 第6环节： 6（0/8+1/8+2/8+3/8+4/8+5/8+6/8+7/8+8/8） =（20/8+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+28/8） =（5/2+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+7/2） =（2.5+21/8+22/8+23/8+24/8+25/8+26/8+27/8+3.5），……， 第9子系列：第2环节： 2（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9） =(4.5/9+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+13.5/9) =(1/2+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+3/2) =(0.5+5.5/9+6.5/9+7.5/9+8.5/9+9.5/9+10.5/9+11.5/9+12.5/9+1.5) =(6/9+7/9+8/9+9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9)， 第3环节： 3（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9） =（9/9+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+18/9） =（1/1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2/1） =（1+10/9+11/9+12/9+13/9+14/9+15/9+16/9+17/9+2）， 第4环节： 4（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9） =（13.5/9+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9 +19.5/9+20.5/9+21.5/9+22.5/9） =（3/2+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9 +19.5/9+20.5/9+21.5/9+5/2） =（1.5+14.5/9+15.5/9+16.5/9+17.5/9+18.5/9 +19.5/9+20.5/9+21.5/9+2.5） =（16/9+17/9+18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9）， 第5环节： 5（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9） =(18/9+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+27/9) =(2/1+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3/1) =(2+19/9+20/9+21/9+22/9+23/9+24/9+25/9+26/9+3)， 第6环节： 6（0/9+1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9） =（22.5/9+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9 +28.5/9+29.5/9+30.5/9+31.5/9） =（5/2+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9 +28.5/9+29.5/9+30.5/9+7/2） =（2.5+23.5/9+24.5/9+25.5/9+26.5/9+27.5/9 +28.5/9+29.5/9+30.5/9+3.5） = （26/9+27/9+28/9+29/9+30/9+31/9+32/9+33/9+34/9），……， 第10子系列：第2环节： 2（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10） =（5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10 +12/10|+13/10+14/10+15/10） =（1/2+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10 +12/10|+13/10+14/10+3/2） =（0.5+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10+11/10+12/10|+13/10+14/10+1.5）， 第3环节： 3（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10） =（10/10+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10 +16/10+17/10+18/10+19/10+20/10） =（1/1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10 +16/10+17/10+18/10+19/10+2/1） =（1+11/10+12/10+13/10+14/10+15/10 +16/10+17/10+18/10+19/10+2）， 第4环节： 4（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10） =（15/10+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10 +21/10+22/10+23/10+24/10+25/10） =（3/2+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10 +21/10+22/10+23/10+24/10+5/2） =（1.5+16/10+17/10+18/10+19/20+20/10 +21/10+22/10+23/10+24/10+2.5）， 第5环节： 5（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10） =（20/10+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10 +26/10+27/10+28/10+29/10+30/10） =（2/1+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10 +26/10+27/10+28/10+29/10+3/1） =（2+21/10+22/10+23/10+24/10+25/10 +26/10+27/10+28/10+29/10+3）， 第6环节： 6（0/10+1/10+2/10+3/10+4/10+5/10+6/10+7/10+8/10+9/10+10/10） =（25/10+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10 +31/10+32/10+33/10+34/10+35/10） =（5/2+26/10+2710+28/10+29/10+7/10 +31/10+32/10+33/10+34/10+7/2） =（2.5+26/10+27/10+28/10+29/10+30/10 +31/10+32/10+33/10+34/10+3.5），……， ……，…… （一）、数学数值辩证逻辑公理系统（以下简称为数值逻辑公理系统或系统）： 关于上述初等数学与纯粹数学的起点，即最简单、最原始幼稚可笑的未被引起人们足够重视、未形成完整理性认识的数值运算我们无法将其一一列出，上述运算是否蕴涵着数学数值逻辑系统运算规律和深刻的内涵？单凭直觉无法正确回答，…，目前，只能实事求是，实话实说，常言道，最简单的、最质朴的恰恰是最深奥的、最难以理解接受的，数学是被应验了，我们将上述运用亚里士多德潜无限数学理性认识及其是在毕达哥拉斯偶数能被2整除，奇数不能被2整除以及是在皮亚诺五项公设基础上建立起的公理系统： 在自然辩证法（哲学）指导下、在数论、集合论内涵条件下形成的特殊运算规律与普遍运算规律以及深刻内涵辩证地概括地归纳为：总之，数学辩证数值逻辑系统的各个子系列除了第1系列0/1=0，1/1=1，2/1=2，3/1=3，4/1=4，5/1=5，6/1，7/1，8/1，9/1，10/1，…例外，上述辩证数值逻辑公理系统运算规律，系统的各个子系列无论是在奇数子系列、还是在偶数子系列范畴内均派生子集合，派生子集合是指（既约分数）1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，15/2，17/2，……从系统发展变化的过程中产生分化出来占据整数的位置充分地十足地体现其半整性质，因为1/2是最大的分数单位，所以决定着分数1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，15/2，17/2，……拥有半整性质；换言之，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…在系统在各个子系列发展变化的过程中纷纷产生分化出来、均占据整数的位置，揭示着它们的绝对值比其他小数的绝对值整装，小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5,…充分地十足地体现其半整性质，蕴涵着完整的算术（数学）公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍数关系，2是数学（算术）的首要公理，当系统子系列在10，100， 1000，10000，…的范畴内：均派生子集合，不仅揭示着小数0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，…拥有半整性质，而且在向纵深发展地潜无限的过程中有太多太多的基数是超越数数值的有限形式、甚至与其相吻合，形成有限不循环小数或潜无限不循环小数（例如31415926/10000000=3.1415926等等），a_1/10+a_2/〖10〗^2 +a_3/〖10〗^3 +a_4/〖10〗^4 +a_5/〖10〗^5 +……+a_n/〖10〗^n 是超超越数的有限形式，是十进制小数的典型代表，在此基础上引进有限不循环小数（潜无限•不循环小数）的概念与定义，有限不循环小数（潜无限不循环小数）是数学真理最新发现之一，譬如：圆周率π=3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，…等等就是有限•不循环小数（潜无限不循环小数），具有替代无理数数值的数学实际意义与应用价值（无理数的近似值），…；现将数学数值辩证逻辑公理系统各个子系列笼统的、通项的表达为（仅以正的为代表，符号↓：意指系统的各个子系列均相互派生子集合）： { }1↓{ }3↓ { }5↓…（此结构式上下交错对应莫散开） { }2 ↓ { }4 ↓ { }6 … 或者表达为： { }1↓{ }3↓ { }5↓…（此结构式上下交错对应莫散开） { }2 ↓ { }4 ↓ { }6 … 或者表达为： { }1↓{ }5↓{ }a,a=1,2,3,4,5,6,…, { }2↓{ }4↓{ }a 第1环节：1∑{ }1=∑{ }1，第2环节：2∑{ }1=∑{ }2， 第3环节：3∑{ }1=∑{ }3，第4环节：4∑{ }1=∑{ }4， 第5环节：5∑{ }1=∑{ }5，第6环节：6∑{ }1=∑{ }6， 第7环节：7∑{ }1=∑{ }7，第8环节：8∑{ }1=∑{ }8， 第9环节：9∑{ }1=∑{ }9，第10环节：10∑{ }1=∑{ }10，…， ……，…；或者表达为：系统中的∑{ }1、∑{ }3、…意指系统各个子系列1，3，5，7，9，11，13，…奇数环节上的基数的和，∑{ }2、∑{ }4、…意指系统各个子系列2，4，6，8，10，12，…偶数环节上的基数之和，{ }、{ }、…亦是系统的子集合，∑{ }1与∑{ }2它们是集合族、有无穷个子集合或有无穷个数组，其他依次类推，很显然，假如说{ }和{ }的基数是实无限，那么它的基数有理数与无理数一下子就会全部冒出来，究竟具体有多少、是多少？实无限无人无法具体知晓、如果采纳实无限手段依然遭遇到我们的前人所遭遇的结果，因此务必突破传统数学思维观念实无限与传统经典数论、集合论的束缚，本文并不否定实无限的科学性、亦不否定无理数的客观存在，亦不否认数理逻辑比数值逻辑的无比优越性，只是希望承认接受实无限的人们与专家，千万莫否定、排斥掉了潜无限数学理论，X1，X2，X3，X4，X5，Xa，均为有科学秩序的有理数，并非一堆毫无秩序的有理数，式中的a=1,2,3,4,5,6,…,因此务必运用科学的潜无限数学理论来认识、解决数学矛盾与问题，再次强调说明，符号↓意指（相互）派生子集合，在数值逻辑公理系统各个子系列从第2系列起各个子系列均（相互）派生子集合，具有普遍意义，（相互）派生子集合是指在数学辩证数值逻辑公理系统运算过程中，分数（半整数）±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，…从系统发展变化的过程中产生分化出来占据整数的位置充分地十足地体现其半整性质，因为1/2是最大的分数单位，所以决定着半整数拥有半整性质（实际上无论是在奇数系列还是在偶数系列范畴内系统均派生半整分数的子集合，为了节省版面本文没有反复提出，敬请谅解），换言之，小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…从系统发展变化过程中产生分化出来，占据整数位置，充分地十足地体现其小数的半整性质，为奇数±1，±3，±5，±7，±9，±11，±13，±15，±17，…能被2半整除提供科学的理论依据，系统相互派生子集合，也包涵着整数0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9，±10，…由系统发展变化的过程中从系统的有理数中分化出来占据整数位置体现整数性质，为偶数0,±2，±4，±6，±8，±10，±12，…能被2整除提供科学依据，因此说在数值逻辑公理系统中相互派生子集合，公理系统蕴涵着完整的辩证数值逻辑运算规律、系统蕴涵着完整的数学（算术）公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍数关系、或者说2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…均是数值逻辑公理系统的算术（数学）公理，2是数学公理系统的首要公理，系统具有无穷个子系列、用符号n表示，n=2，3，4，5，6，7，8，9，10，…采纳潜无限的方法去把握，系统的各个子系列具有无穷个自然连锁环节、用符号a表示，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…采纳潜无限的方法去把握，构成永不枯竭的无限的连锁群体和统一体，是数值逻辑对立统一规律的真实体现，是我们人类从数学的必然王国迈向自由王国的有效途径，是我们人类集体智慧的一大体现与结晶，数学数值辩证逻辑公理系统是无限开放着的公理体系，纵、横向上只有起点而无终点！它永远倾听人类实践的呼声、满足人类实践的需求，我们人类实践永远不可能达到实无限的程度；很显然，在数学辩证数值逻辑公理系统中的各个子系列无论是在偶数还是在奇数环节上均相互派生子集合，尤其半整分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或者说半整小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…自告奋勇势不可挡、在发展变化的过程中纷纷产生分化出来担负起半整性质的重任，尽管这样的分数与其对应着的小数极其简单、半整分数（半整小数），然而其基本原理与哲理却深刻、深奥的难以理解与接受、甚至不可理喻，只有运用辩证逻辑进行辩证认识、辩证分析、辩证推理，才能够判断推理出半整数的半整性质，…；概括而言，偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（包括素数）却能被2半整除，奇数与偶数（整数与半整数）相反相成对立统一，蕴涵着哲学的对立统一规律，数值逻辑公理系统为其提供完整地科学依据，这是数学自然观、科学观的重大发现与认识问题，要做出正确选择，要突破传统数学实无限、传统经典数论与集合论的束缚，显然，扩大范畴的数论、扩大范畴的集合论、扩大范畴的算术、哲学（自然辩证法）四位一体、辩证统一，自然辩证法（现代哲学）以对立统一规律为切入点注入初等数学、纯粹数学，为数学真理指明了正确的前进方向，至此，数学（算术）已有科学根据，需要引入数学新概念与定义：譬如半整分数（半整数）的半整性质、半整小数的半整性质、小数单位（单位小数）、最大的小数单位是0.5等等诸多数学概念与定义，有理数属于离散量的范畴，尽管如此，在数轴上、坐标系、在数值逻辑公理系统中得以体现，扩大范畴的整数与无理数一样均客观存在、拥有客观存在性，问题的关键所在就是如果理解接受了派生子集合、半整分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……与半整小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的半整性质，其他数学矛盾与问题便会迎刃而解，或者说难度会大大缩减，…；集合{ }∩{ +{ }∩{ }={ }，{ }∩{ }+ { ∩{ }={ }，其他依次类推 ,公理系统蕴涵着算术的基本法则，关于无理数需要具体问题具体分析、具体对待、具体构造无理数数值，引进实数、实数系千万莫排斥掉了潜无限数学理论，…。 （二）、数学数值辩证逻辑公理系统（以下简称为数值逻辑公理系统或系统）揭示出丰富深刻内涵、数学概念与问题： 1、传统经典的数论与集合论的公理系统凸显巨大的局限性： 很显然，依照传统经典的数论与集合论的理性意识，系统的各个子系列运算规律只有3∑{ }=∑{ }，5∑{ }=∑{ }，7∑{ }=∑{ }，9∑{ }=∑{ }，…即只有奇数3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，…是算术（数学）公理，没有偶数倍数的同一体，经典的数论与集合论无法回答偶数2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，…是否也是系统的算术（数学）公理，传统经典的数论与集论公理的公理系统凸显巨大的局限性，即系统没有偶数倍数的算术（数学）公理，皮亚诺公理与偶数能被2整除，奇数不能被2整除并非算术的全部真理，如何探索寻求数值逻辑公理系统成为算术（数学）的首要问题，提升到哲学与数学的高度，它涉及到人们数学观的认识问题，需要艰难地突破传统经典的数论与集合论的重大束缚，认识、发现数学真理是艰难曲折的，承认接受数学真理更加艰难曲折，因为认识接受真理不仅存在着难度，而且还存在着数学的辩证自然观与朴素的数学自然观的思想矛盾与相互排斥及摩擦，…； 2、双素数：除了能被1和自身整除外，还仅能被2和一个素数互为整除的（仅以正的为代表）偶数，把具有这样性质的偶数称之为双素数，双素数无穷无尽，例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示为两个等值的素数之和，即6=3+3，10=5+5，14=7+7，22=11+11，26=13+13，34=17+17，38=19+19，……，双素数星星点点揭示着哥德巴赫猜想拥有客观存在性，双素数与素数相互对应： 6，10，14，22，26，34，38，46，58，…… 3， 5， 7，11，13，17，19，23，29，……（上下相互对应） 3、偶素数与素数：2既是一个素数又是一个偶数，将2称之为偶素数，偶素数2具有唯一性，那么就可以将奇素数3，5，7，11，13，17，19，...简称为素数，简化奇素数的名称。 4、关于哥德巴赫猜想理论上如何认识？在数值逻辑公理系统中也是不可能回避的数学矛盾与问题： { }1↓{ }3↓ { }5↓…（此结构式上下交错对应莫散开） { }2 ↓ { }4 ↓ { }6 … 或者表达为： { }1↓{ }3↓ { }5↓…（此结构式上下交错对应莫散开） { }2 ↓ { }4 ↓ { }6 … 再表达为： { }1↓{ }5↓{ }a,a=1,2,3,4,5,6,…, { }2↓{ }4↓{ }a 第1环节：1∑{ }1=∑{ }1，第2环节：2∑{ }1=∑{ }2， 第3环节：3∑{ }1=∑{ }3，第4环节：4∑{ }1=∑{ }4， 第5环节：5∑{ }1=∑{ }5，第6环节：6∑{ }1=∑{ }6， 第7环节：7∑{ }1=∑{ }7，第8环节：8∑{ }1=∑{ }8， 第9环节：9∑{ }1=∑{ }9，第10环节：10∑{ }1=∑{ }10，…， ……，…； 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……均为数学（算术）公理，2是公理系统首要公理，…，如果将它们展开为数值逻辑公理的另一种表达形式： 第2环节：1+1=2， 第3环节：1+2=3、2+1=3， 第4环节：1+3=4、2+2=4、3+1=4， 第5环节：1+4=5、2+3=5、3+2=5、4+1=5， 第6环节：1+5=6、2+4=6、（3+3）！=6、4+2=6、5+1=6， 第7环节：1+6=7、2+5=7、3+4=7、4+3=7、5+2=7、6+1=7， 第8环节：1+7=8、2+6=8、 =8、4+4=8、5+3=8、6+2=8、7+1=8， 第9环节：1+8=9、2+7=9、3+6=3+（3+3）！=9、4+5=9、5+4=9、6+3=9、…、8+1=9， 第10环节：1+9=10、2+8=10、 =10、4+6=10、（5+5）！=10、…、8+2=10、9+1=10， 第11环节：1+10=11、2+9=11、3+8=11、4+7=11、5+6=5+（3+3）！=11、…、7++4=11、…， 第12环节：1+11=12、2+10=12、3+9=12、4+8=12、 =12、6+6=12、…、8+4=12、…， 第13环节：1+12=13、2+11=13、3+10=3+（5+5）！=13、…、6+7=（3+3）！+7=13、…， 第14环节：1+13=14、2+12=14、 =14、4+10=14、5+9=14、6+8=14、（7+7）！=14、…， 第15环节：1+14=15、2+13=15、3+12=15、4+11=15、5+10=5+（5+5）！=15、6+9=15、7+8=15、…， 第16环节：1+15=16、2+14=16、 =16、4+12=16、 =16、6+10=16、7+9=16、8+8=16、…，…在1+k=n（k=1，2，3，4，5，6，…，当k=5，6，7，8，9，…，n= 2, 3, 4, 5,6,…）向k+1=n的转换过程中总是蕴涵着哥德巴赫猜想，运算规律不仅具有算术公理1+1=2的数学意义，也蕴涵着经典数论“1+1”的重大意义，我们无法否定它的客观存在性，算术公理1+1=2与数论的“1+1”二者相辅相成，一脉相承，数论的“1+1”其实它就是数值逻辑公理系统中各个子系列偶环节上的特殊算术公理，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统中各个子系列偶数环节上的运算规律，一定要在数值逻辑公理系统中辩证地认识、正确地看待它，数值逻辑公理系统不可能回避如此重大数学矛盾——哥德巴赫猜想： （1）、哥德巴赫偶数猜想：大于等于6的偶数=（一个素数+另一个素数） 数论的“1+1” 与算术的1+1=2在数值逻辑公理系统中一脉相承，在算术公理1+1=2的数值逻辑公理系统中蕴涵着数论的“1+1”，数论的“1+1”是数值逻辑公理系统各个子系列偶数环节上的算术公理、是数值逻辑公理系统中偶数环节上的运算规律：譬如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7, 14=3+11，16=5+11，18=5+13，……，无穷无尽，拥有客观存在性（当然是辩证推理），既不肯定也不否定其真实性、模棱两可、不置可否，这背离了数学（逻辑）排中律，很显然，传统经典的数论要证明的“1+1”亦是算术公理，依然属于算术的范畴与算术问题，经典的数论要证明的“1+1”是完美地，…，弄一个足够多的素数表意义非凡——素数分布规律、其意义不亚于证明了“1+1”真实性； （2）、哥德巴赫奇数猜想的特殊规律：大于等于9的奇数=（一个素数+一个双素数）=3个素数之和：譬如：9=3+6=3+3+3，11=5+6=5+3+3，13=3+10=3+5+5，15=5+10=5+5+5，17=7+10=7+5+5，19=5+14=5+7+7，…；很显然，哥德巴赫奇数猜想亦是辩证数值逻辑公理系统中奇数环节上的算术公理，是系统奇数环节上的运算规律但属于特殊运算规律，拥有客观存在性，这当然是运用逻辑辩证推理； 哥德巴赫猜想——数论的“1+1”所证明的真实性、以及逻辑上所要摘取的是十分完美地！…。 （3）、“1+2”有争议：“1+2”是指大于等于12的偶数=（一个素数）+（一个素数*另一个素数）=（一个素数+一个奇合数），例如：12=3+3*3=3+9，14=5+3*3=5+9，16=7+3*3=7+9，18=3+3*5=3+15，20=5+3*5=5+15，22=7+3*5=7+15，24=3+3*7=3+21，26=5+3*7=5+21，……等等因为9、15、21、……是奇合数，难怪有人指责“1+2”是所答非所问，究竟回答了什么数学问题是有争议的，“1+2”并非“1+1”，“1+1”也不是“1+2”，弄一个足够多的素数表意义也非常重大——素数分布规律，…； 5、分数整（分数形式的整数）：譬如0/1=0，1/1=1，-1/1=-1，2/1=2，-2/1=-2，3/1=3，-3/1=-3，4/1=4，-4/1=-4，5/1=5，-5/1=-5，6/1=6，-6/1=-6，…尽管是分数形式，数值逻辑公理系统揭示着依然体现整数性质、是系统的特殊规律，因此将其统称为分数形式的整数（整数内涵的分数），分数形式的整数与整数相互对应，分数形式的整数是公理系统的一个特殊规律，均可书写为a/1。 6、小数形式的整数（整数意义的小数）：无限循环小数0.9(•)=1，小数形式依然体现整数性质，将其统称为小数整数（整数意义的小数）。 7、分数单位：简言之，分子是1、分母是等于、大于2的正整数的分数就是分数单位，譬如1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，……就是分数单位，最大的分数单位是1/2，在数轴上、坐标系、数值逻辑公理系统中得以体现，分数单位、最大的分数单位1/2是一个基本单位与相对整体； 8、小数单位（单位小数）：什么是单位小数目前尚未形成统一认识，如果将分数单位1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9，1/10，…对应下的小数0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.1，…界定为单位小数（小数单位），那么就可以将小数0.5，0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.01，…统称为小数单位（单位小数），小数单位涵盖着小数计数单位，小数单位的意义比小数计数单位的意义更广泛，很显然，最大的小数单位是0.5，小数单位与最大的小数单位是0.5，是数学真理最新发现之一；小数单位、最大的小数单位0.5的数学与哲学意义，就是最大的小数单位0.5为半整小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…拥有半整性质提供科学理论根据与支持，半整小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…拥有半整性质又为奇数（含素数）能被2半整除提供科学理论根据与支持，这就是小数单位、最大的小数单位0.5的数学与哲学意义！因此，引进小数单位、最大的小数单位0.5是正确的、科学的、切合实际的、是非常必要的！小数单位、最大的小数单位是0.5拥有客观存在性，在数轴上、坐标系中、数值逻辑公理系统中得以体现，是不可分割的相对整体。 9、小数计数单位：小数计数单位是指小数计数方法中，小数点右边十分位、百分位、千分位、…上的最具代表性的小数单位，分别为：0.1（1/10），0.01（1/100），0.001（1/1000），…，因为最大的小数计数单位0.1小于最大的单位小数0.5与最大的分数单位1/2，所以不能够揭示出小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的半整性质，导致数学真理复杂化与更加抽象化，这就是小数计数单位的局限性，因此务必引入小数单位、最大的小数单位0.5，小数计数单位属于小数单位的范畴，很显然，小数单位涵盖着小数计数单位，小数单位的意义比小数计数单位的含义更广泛；小数计数单位与小数计数单位的个数、小数单位、小数单位的个数是变化的，蕴含着类似于高等数学的变量、极限的最原始的因素，…。 10、分数的内涵：所谓分数的内涵地地道道、千真万确包括着分数的绝对值（数值）、分数单位、分数单位的个数（份数）、最大的分数单位是1/2、半整性质、半整数等等概念，因此分数的绝对值（数值）仅仅是分数内涵的一部分，分数的绝对值包含着分数单位与分数单位的个数、这是至关重要的，要充分运用好分数单位、最大的分数单位1/2、分数单位的个数（份数）等等概念进行辩证认识、辩证分析分数的深刻内涵，深化提升对有理数的理性认识，有必要深刻剖析分数的内涵，…。 11、半整分数的性质（半整数的半整性质）：其他分数的绝对值对比分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，…的绝对值更零散，换言之，分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，…对比其他分数的绝对值而言相对整装，在数值逻辑公理系统中，把这一相比较而得到的相对整性质统称为分数1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，9/2，-9/2，…的半整性质，简称为半整性质，为什么会拥有分数的半整性质、因为分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，±19/2， 的绝对值的分数单位均是最大的分数单位1/2，最大的分数单位1/2决定着它们的绝对值拥有半整性质，可以一次全部确定下来，因为这是规律，无需逐一验证，其他分数不具备半整性质——因为其他分数的分数单位1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9，1/10,…均小于最大的分数单位1/2，所以其他分数的绝对值更零散，因此可以一次彻底排除，无需逐一验证，这也是规律，千万莫产生误解，并非所有的分数都具有半整性质、更不是分数的绝对值越大才越具有半整性质，只有半整分数（半整数）±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，±19/2， 的绝对值拥有半整性质，这是由最大的分数单位1/2决定着分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，…的绝对值拥有半整性质，分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，…的半整性质是数学真理最新发现之一，在数值逻辑公理系统中占据整数的位置充分地十足地体现其半整分数的半整性质，半整分数的性质的内涵与外延仅仅适用于分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，…的范畴，不能超越了此范畴，否则就是对半整数的半整性质的误读、误解，…；半整分数性质是部分分数的特殊性质、特殊规律，是最抽象、最深奥、最为“弯弯绕”的算术（数学）真理；务必需要说明，半整数的性质与整数（分数形式的整数）的性质是具有差异性、它们是异中之同、差异中的共性与同一性，并非等同的共性，因此既要认识到半整分数性质与整数性质的差异性、又要认识到半整分数性质与整数性质的差异中的共性与同一性，半整分数（半整数）性质是数学真理最新发现之一；…。 12、半整分数（半整数）：将分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，±15/2，±17/2，±19/2， 以及其绝对值所拥有的半整•性质统称为半整分数（半整数），也就是把正半整分数与负半整分数统称为半整分数（半整数），半整数拥有相互矛盾的双重性质，其一是分数性质，其二是半整性质，…。 13、小数的内涵：所谓小数的内涵地地道道、千真万确包涵着小数的绝对值、小数单位、小数单位的个数、最大的小数单位是0.5、半整性质、小数计数单位、小数计数单位的个数、最大的小数计数单位是0.1、半整小数（半整数）等等概念，因此小数的绝对值（数值）仅仅是小数内涵的一部分，需要了解理解消化小数单位、小数单位的个数、最大的小数单位是0.5等等概念与含义，小数的绝对值不仅包含着小数计数单位与小数计数单位的个数，最大的小数计数单位是0.1，而且小数的绝对值还包含着单位小数与单位小数的个数、最大的小数单位是0.5，这是至关重要的，要充分运用好小数单位、小数单位的个数、最大的小数单位0.5等等概念辩证认识、辩证分析小数的深刻内涵，深化提升对有理数的理性认识，有必要深度剖析小数的深刻内涵，…。 14、半整小数的性质（半整数的半整性质）： 先举例说明，例如（以十进制分数、十进制小数为例）：为了便于理解接受在举例之前先以小数计数单位为例：譬如小数0.9、0.87、0.988、0.7778888、…,小数0.9=9×0.1，即小数0.9包含9个0.1，小数0.87=87×0.01即0.87包含87个0.01，小数0.988=988×0.001即0.988包含988个0.001，小数0.7778888=7778888×0.0000001即0.7778888包括7778888个0.0000001，…这些小数的小数计数单位分别是0.1、0.01、0.001、0.0000001、…,最大的小数计数单位是0.1；以分数单位与小数单位举例说明（与小数计数单位以及小数计数单位的个数相类似）即： 1/2=0.5=1×1/2=1×0.5，即0.5包括1个0.5、1/2包括1个1/2； 2/3=0.6=2×1/3=2×0.3…，即0.6…包括2个0.3…、2/3包括2个1/3； 3/4=0.75=3×1/4=3×0.25，即0.75包括3个0.25、3/4包括3个1/4； 3/5=0.6=3×1/5=3×0.2，即0.6包括3个0.2、3/5包括3个1/5； 5/6=0.8333…=5×1/6=5×0.1666…，即0.8333…包括5个0.1666…、5/6包括5个1/6； 3/7=0.428571…=3×1/7=3×0.142857…，即0.428571…包括3个0.142857…、3/7包括3个1/7； 5/8=0.625=5×1/8=5×0.125，即0.625包括5个0.125、5/8包括5个1/8； 7/9=0.7…=7×1/9=7×0.1…,即0.7…包括7个0.1…、7/9包括7个1/9； 9/10=0.9==9×1/10=9×0.1，即0.9包括9个0.1、9/10包括9个1/10；…很显然，小数单位0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.01，……均小于最大的小数单位0.5，所以小数0.6…，0.75，0.6，0.8333…，0.428571…，0.625，0.7…,0.9，…的绝对值均比±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的绝对值更零散，换言之，小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的绝对值均比其他小数的绝对值相对整装，在数值逻辑公理系统中将这一相比较而言得到的相对整性质统称为小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的绝对值的半整性质，为什么它们会拥有半整性质，因为小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的绝对值的小数单位均是最大的小数单位0.5，最大的小数单位0.5决定着小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的绝对值拥有半整性质，半整小数的性质可以一次全部确定下来，无需逐一验证，这是规律，其他小数不具备半整性质、因为其他小数的小数单位0.3…，0.25，0.2，0.1666…，0.142857…，0.125，0.1…，0.01，…均小于最大的小数单位0.5，可以一次全部排除，无需逐一验证，这也是规律，本文为了便于人们理解，在前面才如此举例如此说明的，因此，小数的内涵不仅包括小数的绝对值还包含着小数单位、小数单位的个数、半整性质、最大的小数单位是0.5，而且小数单位与分数单位相互对应、最大的小数单位0.5与最大的分数单位1/2互相对应（因为1/2=0.5所以最大的小数单位0.5并非凭空而来的，需要理性认识）、小数单位的个数与分数单位个数（份数）相互对应，最大的小数单位0.5以及公理系统为小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的绝对值拥有半整性质提供理论依据与支持，因为0.5是最大的小数单位无与伦比，小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…绝对值的半整性质又为奇数±1，±3，±5，±7，±9，±11，…能被2半整除提供理论依据与支持，再次说明，并非所有的小数也不是小数的绝对值越大越体现半整性质，小数的半整性质的内涵与外延仅仅适用于小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…的范畴，否则就是对半整小数性质的误读、误解，…。 15、半整小数（半整数）：将小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，±7.5，±8.5，±9.5，±10.5， 以及其绝对值所拥有的半整性质统称为半整小数（半整数），也就是将正的半整小数与负的半整小数统称为半整小数（半整数），半整小数（半整数）其绝对值具有相互矛盾的双重性质，一是半整性质，二是普通小数性质，…。 16、广义整数：将整数与半整分数（半整数）统称为广义整数，即本文将0，±1/2，±1，±3/2，±2，±5/2，±3，±7/2，±4，±9/2，±5，±11/2，±6，±13/2， { ,Z=0,1.2,3,4,5,6,7,8,9，10，……}统称为广义整数；亦可以将整数和半整小数（半整数）统称为广义整数，换言之，即本文将0，±0.5 ，±1 ，±1.5，± 2，±2.5，±3，±3.5，±4，±4.5，±5，±5.5，±6，±6.5， 统称为广义整数；广义整数蕴涵着整数与正、负分数形式的半整数，正、负小数形式的半整数的意义；广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础、揭示着大宇宙中微观世界的原子、中子、质子、核外电子，费米子、玻色子等等粒子的某些运动（自旋）规律，...；在量子力学中将分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或者说小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，……统称为半整数或者叫作量子数，实际上它们就是初等数学中的有理数（离散量），因此说：量子力学中半整数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……与数学中半整分数±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，±13/2，……或半整小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，……内涵与外延是完全等价的，没有什么差异，是完全等同的，一脉相承，就如同质数就是素数、素数就是质数其内涵完全等价相类同，因此半整数包含半整分数与半整小数，半整分数与半整小数就是量子力学中的半整数，…，费米子的自旋规律分别遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…的规律、玻色子的自旋规律分别遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…规律，因此量子力学证明将0，±1/2，±1，±3/2，±2，±5/2，±3，±7/2，±4，±9/2，±5，±11/2，±6，±13/2， { ,Z=0,1.2,3,4,5,6,7,8,9，10，……}或0，±0.5 ，±1 ，±1.5，± 2，±2.5，±3，±3.5，±4，±4.5，±5，±5.5，±6，±6.5， 统称为广义整数是切合实际的、是完全正确的。 17、为什么1+1=2： 偶数能被2（在抽象意义下自然）整除，奇数不能被2（在抽象意义下自然）整除、奇数（包括素数）却能被2（在抽象意义下）半整除，因为小数形式的半整数（半整数）±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…拥有半整性质，为奇数（包括素数）能被2半整除提供科学的理论依据，1+1=2或者说2是数学首要公理，哥德巴赫猜想——数论的“1+1”是数值逻辑公理系统中偶环节上的算术公理拥有客观存在性，既不肯定也不否定模棱两可，不置可否，这不符合排中律；其哲学意义（哲理）：偶数能被2在抽象意义下自然整除，奇数不能被2在抽象意义下自然整除、奇数（含素数）却着实能被2在抽象意义下半整除，传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除、奇数却能被2在抽象意义下半整除是指奇数和偶数的异中之同、差异中的共性与同一性，恰好与哲学的对立统一规律相吻合，因此说，奇数与偶数的性质（整数与分数形式的半整数或整数与小数形式的半整数、整数与半整数）相反相成对立统一， 1+1=2蕴涵着极其深刻的数值逻辑对立统一规律，换言之奇数与偶数（整数与半整数）蕴涵着哲学的对立统一规律，以上所谈就是算术公理1+1=2蕴涵着的基本原理与哲理，哲学（自然辩证法）以对立统一规律为切入点注入纯粹数学、注入初等数学，为算术（数学）公理1+1=2与数论的“1+1”指明了正确的前进方向！ 为什么1+1=2，并非质疑算术（数学）公理1+1=2的正确性，而是科学地回答算术（数学）公理1+1=2蕴涵着的基本原理与哲理；应用数学顺应了1+1=2的客观规律，并得到人类无数次实践的检验与证明，早已被实践证明了是正确的自然科学真理，纯粹数学（数学基础）的理论依然处于探索之中，这就是纯粹数学（数学基础）的基本现状，…；常言道，最简单的、最质朴恰恰是最深奥的，数学被应验了，为什么1+1=2，一个最简单的数值逻辑，蕴涵着最深刻的真理对立统一规律、广义整数、广义数学真理。 数学中的整数拥有科学抽象的广义单位“1”， 分数形式的半整数（半整数）拥有广义的科学抽象最大的分数单位“1/2”、小数形式的半整数（半整数）拥有广义科学抽象最大的单位小数 “0.5”，这就是数学（算术）的最为抽象的数学意义，依照逻辑、概念、定义分数就是分数、拥有分数性质、小数就是小数、拥有小数性质，然而却偏偏冒出一个半整数的半整性质来，考验人类科学的勇气与智慧！…。 为什么1+1=2：深入浅出，简言之，偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数能被2半整除，2是数学公理，为什么奇数能被2半整除、因为半整数0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，4.5，-4.5，5.5，-5.5，。。。。。拥有半整性质，所以奇数能被2半整除，需要学习，提升理性认识，突破传统的数学思维观念的束缚，其他的言论都是理论基础与前提条件，。。。！ 18、狭义•数学真理：偶数能被2整除、奇数不能被2整除、实无限、实数系、数理逻辑高等数学、经典的数论与集合论等等统称为狭义内涵的数学真理，狭义内涵的数学真理很有必要突破传统经典数论、集合论的束缚！发展成为广义整数、广义数学真理，...。 19、广义数学真理：偶数能被2整除，奇数不能被2整除、奇数（包括素数）却能被2半整除、奇数与偶数的性质（整数与半整数）相反相成、对立统一，蕴涵着对立统一规律，为什么1+1=2、潜无限理性认识、实无限理性认识、广义整数、数值辩证逻辑、数理逻辑等等内涵的数学真理统称为广义数学真理，广义整数是数学真理最新发现之一。 20、潜无限：简言之，理解为处于不断发展变化中的无限，如像n→∞或n→0的极限过程那样称为潜无限，也可理解成未完成的无限、无穷无尽，数学潜无限与人文无限、哲学无限一脉相承、并不相悖，潜无限依然是初等数学的基础，潜无限依然是广泛意义上的数学真理、无处不在，承认接受实无限的数学真理，千万不能排斥、丢掉了潜无限数学真理，潜无限为初等数学数值逻辑奠定基础，人们要知道、了解掌握潜无限排斥实无限、实无限也排斥潜无限，事实上二者互相排斥，因此承认接受潜无限的数学真理莫排斥丢掉了实无限数学真理，承认接受实无限千万莫排斥丢掉了潜无限的数学真理，...。 21、实无限：简言之，理解为经完成的无限，我们的前人将其称之为实无限，...，如自然数的全体、实数全体是指实无限，务必明确指出实无限排斥潜无限、潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，实无限为高等数学、数理逻辑、集合论等等方面奠定基础、实无限是被理想化的无限，只有如此理解方能合乎大道理，才有存在的理由、缘由，同时务必明确指出承认接受实无限千万莫排斥丢掉了潜无限的数学真理，…。 22、有理数：将广义整数与分数统称为有理数，广义整数包含着整数（分数形式的整数）、半整分数，分数包含着半整分数、普通分数；也可以将广义整数与半整小数统称为有理数，广义整数包含着整数与半整小数，小数包含着半整小数、无限循环小数、有限循环小数、有限不循环小数（潜无限•不循环小数）、普通小数，因为半整分数与半整小数拥有相互矛盾的双重性质。 23、有理数系：事实证明，完全有必要把有理数（域）提升到有理数系统高度去把握，将有理数数值逻辑公理系统和深刻内涵统称为初等数学有理数系统、简称为有理数系（统），有理数系是无限开放着的数值•逻辑•公理体系、永远不会终极、永远不会枯竭的数值•逻辑•公理体系，纵横向上只有起点而无终点，正如人文无限和哲学无限的内涵——无穷无尽，一脉相承；有理数系并无什么缺憾，因为有理数系蕴涵着潜无限•不循环小数，尽管潜无限•不循环小数还不是真正的无理数，它却是无理数的化身、拥有无理数的要素和成分，潜无限•不循环小数具有无理数的应用价值，实际上是有理数与潜无限•不循环小数为初等数学与应用数学奠定着坚实的基础，数学也要实事求是，当然有理数（域）系不能替代实数系，…。 24、实数：把有理数和无理数统称为实数，…。 25、实数系：参见数学词典，……. 26、广义整数、广义数学真理的客观科学证据：广义整数、广义数学真理究竟是正确的还是错误的？是数学真理还是数学谬论？如果属于数学真理会有什么应用价值？它困扰、困惑着许多的人们、乃至全人类，广义整数有何意义？以往的确无法正确回答如此数学问题，… ；不久前，一次偶然的机遇我看到了量子力学，泡利不相容原理等等，我发现了科学证据，数学潜无限、离散量、广义整数原来是量子力学的基础，原来广义整数揭示着宇宙中微观世界的原子、中子、质子、核外电子等等粒子、费米子、玻色子的自旋规律，整数与半整数（半整分数、半整小数）的数值逻辑对立统一规律揭示着无论是宏观世界还是微观世界都蕴含着对立统一规律，对立统一规律是宇宙的普遍规律，费米子与玻色子的自旋运动规律亦蕴涵着对立统一规律，譬如费米子的自旋规律分别遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…半整数的规律、玻色子的自旋规律分别遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…整数的规律，因此广义整数、广义数学真理为量子力学奠定坚实基础，量子力学的半整数又为广义整数、广义数学真理提供客观上的科学证据与客观支持，…，潜无限、广义整数、广义数学真理的确派上了用场，尽管我们的前人在量子力学中对形如（Z+1/2）的数称之为半整数的确亦尚未对半整数形成完整的理性认识，因为半整数拥有半整性质，半整数从直觉上已意识到了是介于整数与普通分数的中间数或者说是介于整数与普通小数的中间数，潜意识中已带有“半整性质”了、但没有用术语表达出来，半整性质不同于整数的性质，广义整数、广义数学真理拥有多方位实际的应用价值，半整数拥有先天的半整性质，半整数与半整分数、半整小数相吻合、巧合，不仅如出一辙，半整数拥有半整性质，数学的半整性质与量子力学的半整性质一脉相承，半整数与半整分数、半整小数其内涵与外延、数值完全等价，半整数与整数相反相成对立统一，蕴含着的对立统一规律，本文将半整分数与半整小数统称为半整数，均带有半整性质，…。 人们生活中的用语：半小时、半点新闻、半天、半月、半年、东半球、西半球、半个世纪等等、即半整数如此都是直觉认识，如果对半整数1/2或0.5提升理性认识，半整数1/2或0.5拥有半整性质或拥有相对整•性质，便会形成理性认识；广义数学真理为量子力学奠定坚实基础，量子力学的半整数又为广义整数、广义数学真理提供客观上的科学理论证据与支持，为什么1+1=2并非空谈数学理论，而是拥有实实在在的应用价值，…。 27、有限不循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限不循环小数有限数字或者小数点右边至少有两位或两位以上不循环数字的小数统称为有限不循环小数，譬如小数：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……等等就是有限不循环小数，有限不循环小数是无穷无尽的，有无限不循环小数必然存在着有限不循环小数，在数值逻辑公理系统中，非常容易发现有限不循环小数，而且有限不循环小数与潜无限不循环小数拥有替代无理数数值的巨大意义与作用，有限小数中的小数再如此细致地划分出有限不循环小数、有限循环小数、整小数、普通有限小数等等，才更切合实际，这的确是数学的一个重大认识问题，有限不循环小数可表达为分数形式，因此有限不循环小数是有理数，同时还是超越无理数的有限形式，譬如 + + + + +……+ 是超越无理数的有限形式，具有十分重要的典型代表意义，因此可替代无理数数值（无理数的近似值），只谈无限不循环小数，没有涉及到有限不循环小数是不切实际的，因为有限不循环小数与潜无限不循环小数客观存在着、无穷无尽，有限不循环小数尽管依然属于有理数的范畴然而的确又是无理数的化身、拥有无理数的重要因素、成分，尤其是，它实质上真正的起着替代无理数数值巨大的数学实际意义与应用作用， 它真正支撑着初等数学与应用数学的基础，有限不循环小数与潜无限不循环小数的概念未被提出是初等数学的一个缺陷与不足，因为潜无限不循环小数它有很高的应用价值，数学的实际就是如此，因此，有限不循环小数是数学真理最新发现之一，…。 28、有限循环小数：为了便于理解，简言之，我们把无限循环小数有限个循环节或者说小数点右边至少有两个或两个以上数字循环节的小数统称为有限循环小数，譬如：0.1616（2个循环节），0.161616（3个循环节），0.666（3个循环节），0.666666（6个循环节），0.787878（3个循环节），0.99999（5个循环节），等等就是有限循环小数，有限循环小数是无穷无尽的，有无限循环小数必然存在着有限循环小数，有限循环小数客拥有客观存在性，它也可替代无限循环小的数值，这也是一个认识问题，有限循环小数可表达为分数形式，因此有限循环小数是有理数，有限循环小数是数学真理最新发现之一。 29、数值逻辑公理系统揭示出产生逻辑悖论的原因：试图让逻辑包罗万象、竭尽所有，矛盾的特殊性与矛盾的普遍性不加以人为区分试图共享一个逻辑，谬误与真理不加以人为区分试图共享一个逻辑，必定遭遇逻辑悖论而不可思议，因为再好的逻辑自身不会加以区分限制，数学基础发展史上不乏其例，比如“乡村理发师”的逻辑悖论（逻辑比喻）,就是一个特殊矛盾与普遍矛盾不加以区分的典型例子，“理发师”他自己是特殊矛盾，他必须唯一地将自己排除在外，具体问题具体分析，才是正确的选择，…等等；数学中也有范例可举，例如在数理逻辑中：m/n,式中n≠0，n=0是特殊矛盾，所以在该式中数理逻辑将n=0排斥在外，人为处理得恰到好处，世上无十全十美的万能逻辑可供人类选择与使用，…。 30、推论：实无限、实数系辩证数值逻辑公理系统依然是连锁形式的（辩证推理）： 潜无限向纵深发展的过程中有限不循环小数、尤其是潜无限不循环小数将会接近或者达到无理数数值实无限的程度（这当然是推论），实无限、实数系辩证数值逻辑公理系统的内容与形式依然是自然连锁形式的，依然相互派生子集合，半整数±1/2，±3/2，±5/2，±5/2，±7/2，±9/2，…依然从系统发展变化的过程中分化出来，充分地体现其半整性质，或者说、半整数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…依然会从系统发展变化的过程中产生分化出来，充分地十足地体现其半整性质，为奇数（包括素数）±1，±3，±5，±7，±9，±11，…能被2半整除提供客观的科学理论依据，蕴涵着完整的数学（算术）运算公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…的倍数关系，实无限、实数系辩证数值逻辑公理系统如下，{ }1与{ }2的基数均为实数与数轴上的点一一对应、其他依次类推，符号↓依然是指相互派生子集合（推论仅以正的为代表）： { }1↓{ }5↓{ }a,a=1,2,3,4,5,6,……, { }2↓{ }4↓{ }a 1∑{ }1=∑{ }1，2∑{ 1= ∑{ }2， 3∑{ }1=∑{ }3，4∑{ }1=∑{ }4， 5∑{ }1=∑{ }5，6∑{ 1=∑ }6， a∑{ }1=∑{ }a,a=1,2,3,4,5,6,7,8,……；……。 四、结语：费米子的自旋规律分别遵循±1/2，±3/2，±5/2，±7/2，±9/2，±11/2，…半整数的规律、玻色子的自旋规律分别遵循0，±1，±2，±3，±4，±5，…整数规律，因此事实证明引进广义整数0，±1/2，±1，±3/2，±2，±5/2，±3，±7/2，±4，±9/2，±5，±11/2，±6，±13/2， { ,Z=0,1.2,3,4,5,6,7,8,9，10，……}或0，±0.5 ，±1 ，±1.5，± 2，±2.5，±3，±3.5，±4，±4.5，±5，±5.5，±6，±6.5， 是完全正确的，因为量子力学是检验广义整数、广义数学真理的标准，为什么1+1=2，与时俱进开拓创新，纯粹数学（数学基础）基本理论的深刻变革必将揭开广义数学真理的新篇章，…。 以上所谈，需要人们的理解与支持，更需要数学教师、专家的理解与鼎力支持！本文作为数学学术最新观点，仅供参考、并不强加于人，但是半整数（半整分数、半整小数）先天带有半整性质——或者拥有相对整性质或者拥有哲理整性质、广义整数呼唤地球人类的智慧与勇气，需要以崇高的勇气与科学智慧突破传统数论、集合论观念和玄学的重大束缚，人们不能消灭数学规律，也不能创造数学规律，只能遵循数学规律，这就是数学逻辑自然大法则，坚信，为什么1+1=2、广义整数、广义数学真理终有一天一定会大众化，普通化，衷心希望率先得到量子学家、数学家、数学教师的鼎力支持！…。（该文多字、漏字、谐音字等等问题存在所难免，敬请谅解） 参考文献： 、原作者：（美国数学家）M.克莱因著，《古今数学思想》，（北京大学数学系数学史翻译组译）， ，上海科学技术出版社出版，1981年7月。 、主编，李秀林，《辩证唯物主义和历史唯物主义原理》： ，中国人民大学出版社出版，2000年。 、主编：吴家国，《普通逻辑原理》， ，高等教育出版社出版，1992年9月。 、主编：谷超豪，《数学词典》 ，上海辞书出版社出版，1993年11月。 （作者：爱君，奇东，润东，安东，单位：山东省东营市河口区孤岛采油厂孤三区， 邮码：257200）。 注：1、本文可作为小学生、初中生、高中生、数学教师的课外数学参考资料。 2、论文中的哲理整性质——相对整性质——半整性质三者的内涵与外延完全等价，特此说明。 3、哲理整数、相对整数、半整数三者的内涵与外延完全等价，特此说明。 4、半整分数与半整小数统称为半整数，特此说明。
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