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西南科技大学数学建模校内选拔赛B

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发表于 2011-5-21 11:26 |只看该作者 |倒序浏览

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西南科技大学2011年数学建模竞赛B题题目

我们说，我们不可能做如果没有通胀的情况下，我们可能会怎么生活、工作的假设，但我们可以勇敢地面对这一现实。只要我们正确地认识、应对这一客观现实，采取正当的科学的策略和措施，相信我们以及世界各国均会走出困境，达到更高的腾飞的基点，人们依然幸福地生活。

请根据附录中的和你尽可能查阅的文献，从数学角度完成下面1~3个问题：

问题1.

老百姓认为CPI被低估的根本原因是，不同时期人们的消费结构不同，消费结构不同，计算CPI的加权系数理应不同，可计算CPI时却使用二十年前的加权系数。请你们搜集数据，并根据你们得到的数据，从数学的角度分析计算CPI时的加权系数是如何随消费结构变化的。（50分）

问题2.

附录文中明确指出，不同消费群体对物件上涨的影响的感觉不一样，集中体现在对政府公布的CPI是否被低估。根据问题1的结果与模型，试定量描述不同消费人群认为政府公布的CPI被低估的程度。（30分）

问题3.

请你从数学的角度，给出在政府计算CPI时如何选择具有代表性的消费种类时的最优方案。（20分）

附录1.

本文摘录于《文摘周报.财富（14版）》2011.04.15

为何老百姓总认为通胀被低估了

大多数经济学家认为通胀的实际情况了，也不止中国如此，其他国家也如此。尽管如何提供准确无误的经济统计数据是世界各国面临的共同难题，但我们不能知难而不进。

通胀的预期已变成现实，而且有加速的趋势。老百姓无论购物还是租房看病出行都感到通胀的压力。政府把CPI的指标从去年的3%调整为今年的4%，央行今年二次加息，存款准备金达到20%的新高，这一切都表明通胀真真切切的来临了。

在经济学家所下的定义中，物价上升要成为通胀还必须有两个条件，第一，是物价总水平上升，而不是个别商品价格的上升。第二，这种物价总水平的上升要持续一段时期，一般来说要持续三个月以上。

那么，物价总水平如何衡量？现在地球人都知道消费者物价指数(CPI)这个词。不过老百姓总觉得政府公布的CPI低于他们实际感觉到得实际通胀情况。2月份政府公布的通胀率为4.9%，老百姓则认为，实际的通胀要远远大于10%，甚至更多。为什么政府公布的数字与老百姓的感觉不同？这里既有老百姓自己感觉失误，又有政府统计工作的失误。

消费品包括非耐用品（食物、衣物等）、耐用品（汽车、家电等）以及劳务（教育、医疗、文娱等），在计算CPI时，又把这些消费品分为八大类。老百姓对消费品物价上升的敏感程度并不相同，一般来说对非耐用消费品和劳务的物价变动更敏感一些，而对耐用消费品的物价变动敏感差一些。而且，不同的消费者对相同的消费品的物价变动感觉也不同。

比如汽车、家电的价格下降了，但你并不天天买这些东西，对这些物品的价格下降没有感觉。食品、蔬菜天天要买，一旦它们价格上升，你马上就会感觉到。把汽车、家电的价格下降物和食品蔬菜的价格上升放在一起计算，CPI仍然是稳定的，但你感到物价上升了，对政府公布的CPI未变不相信。同样，汽油的价格下降了，有汽车的人才会感觉到，而坐公共交通的人感觉不到。老百姓只能从自己的日常生活的角度来感觉通胀，这不能苛求老百姓，但我们必须承认，个人感觉的角度不一定正确，仅从个人感觉的角度来评价政府公布的CPI是不科学的。

不过，老百姓认为CPI被低估的感觉也有一定的合理性。这就在于CPI的计算中有一些技术性的缺陷。CPI的计算中把所包括的物品非为八类，每一类在CPI中占一定的比例，即专家说的加权数。这个加权数是在二十多年前确定的，至今没有进行根本的调整。例如，食品的加权数占三分之一左右，而以来哦、教育、住房等占的加权数相当低。。二十年前这种加权数的确是合理的，因为当时吃是人们主要支出，而医疗、教育、住房都有政府补贴，人们支出很少。而今人们的消费结构发生了很大变化，食物的支出比例有所下降，但医疗、教育、住房等的支出大大增加了。按以前的加权数难以计算出今天的CPI，也难以反映出不同商品对人民生活的影响。

计算CPI时，每类商品与劳务中都选择有代表性的商品或劳务。但这种商品不一定能代表同类商品的价格变动水平。常见的情况是，统计部门往往选择价格小甚至价格下跌的商品或劳务作为代表，或者刻意稳定这种商品或劳务的价格，这就会低估CPI。再之，统计部门的人力有限，也难以及时掌握代表性商品的变化，所以，大多数经济学家也认为CPI被低估了，通胀率被低估了。不止中国如此，其他国家也如此。

（据《东方早报.上海书评》梁小民/文）

附录2.

CPI有关概念与计算公式

键字：CPI定义什么是CPI CPI计算公式 CPI参考指标

据世界经济学人报道http://economist.icxo.com讯，消费者物价指数(Consumer Price Index)，英文缩写为CPI，是反映与居民生活有关的商品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。如果消费者物价指数升幅过大，表明通胀已经成为经济不稳定因素，央行会有紧缩货币政策和财政政策的风险，从而造成经济前景不明朗。因此，该指数过高的升幅往往不被市场欢迎。例如，在过去12个月，消费者物价指数上升2.3％，那表示，生活成本比12个月前平均上升2.3％。当生活成本提高，你的金钱价值便随之下降。也就是说，一年前收到的一张100元纸币，今日只可以买到价值97.75元的商品或服务。一般说来当CPI>3%的增幅时我们称为Inflation，就是通货膨胀；而当CPI>5%的增幅时，我们把它称为Serious Inflation，就是严重的通货膨胀。

CPI即消费者物价指数

消费者价格指数(Consumer Price Index)，是对一个固定的消费品篮子价格的衡量，主要反映消费者支付商品和劳务的价格变化情况，也是一种度量通货膨胀水平的工具，以百分比变化为表达形式。在美国构成该指标的主要商品共分七大类，其中包括：食品、酒和饮品住宅；衣着；交通；医药健康；娱乐；其他商品及服务。在美国，消费物价指数由劳工统计局每月公布，有两种不同的消费物价指数。一是工人和职员的消费物价指数，简称CPI-W。二是城市消费者的消费物价指数，简称CPI-U。

参考指标

（CPI）是一个滞后性的数据，但它往往是市场经济活动与政府货币政策的一个重要参考指标。CPI稳定、就业充分及GDP增长往往是最重要的社会经济目标。不过，从中国的现实情况来看，CPI的稳定及其重要性并不像发达国家所认为的那样“有一定的权威性，市场的经济活动会根据CPI的变化来调整”。近几年来欧美国家GDP增长一直在2%左右波动，CPI也同样在0%～3%的范围内变化，而中国的情况则完全不同。首先是国内经济快速增长，近两年来GDP增长都在9%以上，CPI却没有多少波动，表面看来这可以说得上是“政府对经济运行调控自如，市场行为反映十分理性”。二是一年之内CPI大起大落，前后相差几个百分点；一般情况下，除非经济生活中有重大的突发事件（如1997年的亚洲金融危机），CPI是不可能大起大落的，所以2004年中国的CPI大幅波动有些异常。三是随着CPI大幅波动，国内经济一时间通货膨胀率过高，民众储蓄负利率严重，一时间居民储蓄又告别负收益，通货紧缩阴影重现。这样一种经济环境令人担忧，因此，如何理解CPI指数便成为一个十分重要的问题。

计算公式

CPI的计算公式是 CPI=（一组固定商品按当期价格计算的价值）除以（一组固定商品按基期期价格计算的价值）乘以100。 CPI告诉人们的是，对普通家庭的支出来说，购买具有代表性的一组商品，在今天要比过去某一时间多花费多少，例如，若1995年某国普通家庭每个月购买一组商品的费用为800元，而2000年购买这一组商品的费用为1000元，那么该国2000年的消费价格指数为（以1995年为基期）CPI= 1000/800*100=125，也就是说上涨了25%。在日常中我们更关心的是通货膨胀率，它被定义为从一个时期到另一个时期价格水平变动的百分比，公式为T=（P1—P0）/P0，式子中T为1时期的通货膨胀率，P1和P0分别表示1时期和0时期的价格水平。如果用上面介绍的消费价格指数来衡量价格水平，则通货膨胀率就是不同时期的消费价格指数变动的百分比。假如一个经济体的消费价格指数从去年的100增加到今年的112，那么这一时期的通货膨胀率就为 T=（112—100）/100*100%=12%，就是说通货膨胀率为12%，表现为物价上涨12%。

通货膨胀的定义

据世界经济学人报道http://economist.icxo.com讯，通货膨胀是指纸币的发行量超过商品流通中所需要的货币量而引起的货币贬值、物价上涨的状况。通货膨胀是纸币流通条件下特有的一种社会经济现象。

原因：纸币是一种纯粹的货币符号，没有价值，只是代替金属货币执行流通手段的职能；纸币的发行量应以流通中需要的金属货币量为限度，如果纸币的发行量超过了流通中需要的金属货币量，纸币就会贬值，物价就要上涨。因此，纸币发行量过多引起的货币贬值、物价上涨，是造成通货膨胀的直接原因。

特点：

①纸币因发行过多而急剧贬值。在流通中所需的金属货币量已定的情况下，纸币发行越多，单位纸币所能代表的金属货币量就越少，纸币的贬值程度就越大。纸币的贬值程度即纸币贬值率的计算公式是：纸币贬值率＝(1－)×100％例如，一个国家某个时期流通中所需要的金属货币量是100亿元，实际发行的纸币是200亿元，纸币贬值率

②物价因纸币贬值而全面上涨。纸币贬值率越高，物价上涨率也就越高，物价上涨率的计算公式是：物价上涨率＝(－1)×100％例如，一个国家某个时期流通中所需要的金属货币量为100亿元，实际发行的纸币是200亿元，物价上涨率＝(－1)×100％＝100％。

类型：①需求拉动型通货膨胀。总需求过度增长超过了现有价格水平下的商品总供给，引起了物价普遍上涨。总需求的过度增长表现为由于投资膨胀和消费膨胀所导致的持续的货币供应量超过社会商品可供量的增长，因而又称过量需求通货膨胀。②成本推进型通货膨胀。由于成本上升所引起的物价普遍上涨。导致成本上升的因素一是物耗增多，二是工资的提高超过劳动生产率的增长。③结构性通货膨胀。由于社会经济部门结构失衡而引起的物价普遍上涨。这种类型的通货膨胀一般在发展中国家较为突出。主要表现为3种情况：一是国内某些部门，甚至某些大宗关键产品需求过多而供给不足，导致价格猛涨，并且只涨不跌，进而扩散到其他部门产品的价格，从而使一般物价水平持续上涨；二是国内各部门劳动生产率发展不平衡，导致劳动生产率提高较快的部门货币工资增长后，其他部门的货币工资也会随之增长，引起价格上涨，从而使一般物价水平普遍上涨；三是开放型经济部门的产品价格，受国际市场价格水平影响而趋于提高时，会波及到非开放型经济部门，从而导致一般物价水平的上涨。④输入型通货膨胀。由于输入品价格上涨而引起国内物价的普遍上涨。这种类型一般出现在世界性通货膨胀的情况下，并通过国际贸易、跨国公司、开放型经济部门等途径在国际间传播。⑤抑制性通货膨胀。在市场上存在着总供给小于总需求，或供求结构性失衡的情况下，国家通过控制物价和商品定额配给的办法，强制性地抑制价格总水平的稳定，这是一种实际上存在，但没有发生的通货膨胀现象。

后果：从不同的角度来看，通货膨胀对一国国民经济发展的影响有：①对经济发展的影响。通货膨胀的物价上涨，使价格信号失真，容易使生产者误入生产歧途，导致生产的盲目发展，造成国民经济的非正常发展，使产业结构和经济结构发生畸形化，从而导致整个国民经济的比例失调。当通货膨胀所引起的经济结构畸形化需要矫正时，国家必然会采取各种措施来抑制通货膨胀，结果会导致生产和建设的大幅度下降，出现经济的萎缩，因此，通货膨胀不利于经济的稳定、协调发展。②对收入分配的影响。通货膨胀的货币贬值，使一些收入较低的居民的生活水平不断下降，使广大的居民生活水平难以提高。当通货膨胀持续发生时，就有可能造成社会的动荡与不安宁。③对对外经济关系的影响。通货膨胀会降低本国产品的出口竞争能力，引起黄金外汇储备的外流，从而使汇率贬值。

抑制通货膨胀的措施：西方国家抑制通货膨胀的主要措施一般是通货紧缩和收入政策。通货紧缩就是从流通中回笼一部分过多的纸币，通常采用的办法是：①增加税收。②提高贴现率和减少信贷总额。通过这些办法抑制总需求，使之接近于总供给，从而抑制通货膨胀。收入政策主要是通过限制工资、物价的上升来抑制通货膨胀，采用的办法主要是：①颁布价格指导线。②以减税等手段刺激企业实行低价。③对工资、物价实行强制性的控制或管理。在西方国家的经济发展过程中，这些措施的采用，在一定程度上抑制了通货膨胀；但是，由于资本主义国家采取措施的目的不在于从根本上抑制或消除通货膨胀，而只是把它作为对通货膨胀实行国家垄断资本主义调节的一种手段；因此，其结果不但不能真正抑制或消除通货膨胀，相反却进一步加剧了通货膨胀。